Un mesaj pe tema trigonometriei în medicină. Trigonometria în lumea din jurul nostru și viața umană

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Funcțiile trigonometrice sunt folosite pentru a descrie proprietățile diferitelor unghiuri, triunghiuri și funcții periodice. Studierea trigonometriei vă va ajuta să înțelegeți aceste proprietăți. Activități școlare și muncă independentă vă va ajuta să învățați elementele de bază ale trigonometriei și să înțelegeți multe procese periodice.

Pași

Aflați elementele de bază ale trigonometriei

Familiarizați-vă cu conceptul de triunghi.În esență, trigonometria se ocupă cu studiul diferitelor relații în triunghiuri. Un triunghi are trei laturi și trei unghiuri. Suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de grade. Când învățați trigonometria, este necesar să vă familiarizați cu triunghiurile și conceptele aferente, cum ar fi:

ipotenuza este cea mai lungă latură triunghi dreptunghic;
unghi obtuz - un unghi mai mare de 90 de grade;
un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90 de grade.

Învață să desenezi un cerc unitar. Cercul unitar face posibilă construirea oricărui triunghi dreptunghic astfel încât ipotenuza să fie egală cu unu. Acest lucru este util atunci când lucrați cu funcții trigonometrice, cum ar fi sinus și cosinus. După ce stăpânești cercul unitar, poți găsi cu ușurință valorile funcțiilor trigonometrice pentru anumite unghiuri și poți rezolva probleme în care apar triunghiuri cu aceste unghiuri.
- Exemplul 1. Sinusul unui unghi de 30 de grade este 0,50. Aceasta înseamnă că lungimea catetei opusă unghiului dat este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
- Exemplul 2. Folosind acest raport, puteți calcula lungimea ipotenuzei unui triunghi în care există un unghi de 30 de grade, iar lungimea catetei opusă acestui unghi este de 7 centimetri. În acest caz, lungimea ipotenuzei va fi de 14 centimetri.
Familiarizați-vă cu funcțiile trigonometrice. Există șase funcții trigonometrice de bază pe care trebuie să le cunoașteți atunci când învățați trigonometria. Aceste funcții reprezintă relațiile dintre diferitele laturi ale unui triunghi dreptunghic și vă ajută să înțelegeți proprietățile oricărui triunghi. Aceste șase funcții sunt:
- sine (păcat);
- cosinus (cos);
- tangentă (tg);
- secant (sec);
- cosecant (cosec);
- cotangent (ctg).
Amintiți-vă relațiile dintre funcții. Când studiezi trigonometria, este extrem de important să înțelegem că toate funcțiile trigonometrice sunt interconectate. Deși sinus, cosinus, tangentă și alte funcții sunt utilizate în moduri diferite, ele sunt utilizate pe scară largă datorită faptului că există anumite relații între ele. Aceste relații sunt ușor de înțeles folosind cerc unitar. Învață să folosești cercul unității, iar cu ajutorul relațiilor pe care le descrie vei putea rezolva multe probleme.

Aplicarea trigonometriei
1. Aflați despre principalele domenii ale științei care folosesc trigonometria. Trigonometria este utilă în multe ramuri ale matematicii și alte științe exacte. Trigonometria poate fi folosită pentru a găsi unghiuri și segmente de linie. În plus, funcțiile trigonometrice pot descrie orice proces ciclic.
  - De exemplu, vibrațiile unui arc pot fi descrise printr-o funcție sinusoidală.
2. Gândiți-vă la procesele pe lot. Uneori, conceptele abstracte ale matematicii și ale altor științe exacte sunt greu de înțeles. Cu toate acestea, ele sunt prezente în lumea exterioară, iar acest lucru le poate face mai ușor de înțeles. Aruncă o privire mai atentă la fenomenele periodice din jurul tău și încearcă să le conectezi cu trigonometria.
  - Luna are un ciclu previzibil de aproximativ 29,5 zile.
3. Imaginează-ți cum pot fi studiate ciclurile naturale. Când înțelegeți că există multe procese periodice în natură, gândiți-vă la cum puteți studia aceste procese. Imaginează-ți mental cum arată imaginea unor astfel de procese pe un grafic. Folosind un grafic, puteți scrie o ecuație care descrie fenomenul observat. Aici sunt utile funcțiile trigonometrice.
  - Imaginează-ți fluxul și refluxul mării. La maree înaltă, apa se ridică la un anumit nivel, apoi marea este scăzută, iar nivelul apei scade. După maree scăzută, urmează din nou mareea, iar nivelul apei crește. Acest proces ciclic poate continua pe termen nelimitat. Poate fi descris printr-o funcție trigonometrică, cum ar fi cosinusul.
Studiați materialul din timp
1. Citiți secțiunea relevantă. Unii oameni le este greu să înțeleagă ideile de trigonometrie prima dată. Dacă vă familiarizați cu materialul relevant înainte de curs, îl veți absorbi mai bine. Încercați să repetați mai des subiectul studiat - în acest fel veți găsi mai multe relații între diferite concepte și concepte de trigonometrie.
  - În plus, vă va permite să identificați în prealabil punctele neclare.
2. Păstrați un contur.În timp ce răsfoirea unui manual este mai bine decât nimic, învățarea trigonometriei necesită o lectură lentă și atentă. Când studiați orice secțiune, păstrați o notă detaliată. Amintiți-vă că cunoștințele de trigonometrie se acumulează treptat și material nou se bazează pe ceea ce ai învățat până acum, așa că notând ceea ce ai învățat te va ajuta să mergi mai departe.
  - Printre altele, notează întrebările pe care trebuie să le adresezi profesorului tău mai târziu.
3. Rezolvați problemele prezentate în manual. Chiar dacă trigonometria este ușoară pentru tine, trebuie să rezolvi probleme. Pentru a vă asigura că înțelegeți cu adevărat ceea ce ați învățat, încercați să rezolvați câteva probleme înainte de curs. Dacă aveți probleme în a face acest lucru, veți stabili ce anume trebuie să aflați în timpul orelor.
  - În multe manuale, răspunsurile la probleme sunt date la sfârșit. Cu ajutorul lor, puteți verifica dacă ați rezolvat corect problemele.
4. Luați tot ce aveți nevoie la cursuri. Nu uitați de notele și rezolvarea problemelor. Aceste materiale la îndemână vă vor ajuta să periați ceea ce ați învățat deja și să mergeți mai departe cu studiul materialului. De asemenea, clarificați orice întrebări pe care le aveți în timp ce citiți manualul.

INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT MUNICIPAL

"GIMNAZUL №1"

„TRIGONOMETRIE ÎN VIAȚA REALĂ”

proiect de informare

Efectuat:

Krasnov Egor

elev de clasa a IX-a

supraveghetor:

Borodkina Tatyana Ivanovna

Jeleznogorsk

Introducere…………………………………………………………..……3

Relevanța…………………………………………………….3

Scopul …………………………………………………………………… 4

Sarcini………………………………………………………….4

1.4 Metode…………………………………………………………………….4

2. Trigonometria și istoria dezvoltării sale…………………………………………..5

2.1.Trigonometrie și etape de formare…………….5

2.2.Trigonometria ca termen. Caracteristica……………….7

2.3.Apariția sinusului…………….………….7

2.4.Apariția cosinusului………….……………….8

2.5.Apariția tangentei și cotangentei……………….9

2.6 Dezvoltarea ulterioară a trigonometriei………………..9

3. Trigonometrie și viața reală…………..……………..12

3.1.Navigație………………………………..…………….....12

3.2 Algebră…………………………………..………….....14

3.3.Fizica………………………………..………….....14

3.4.Medicina, biologie si bioritmuri…..………….....15

3.5.Muzica……………………………….…..…………....19

3.6.Informatică..………….…..…………....21

3.7.Sfera construcției și geodeziei…………………………....22

3.8 Trigonometrie în artă și arhitectură……..…....22

Concluzie. ……………………………..…………………………..…..25

Referințe……………………………………………………………………27

Anexa 1 …………………………………………………….………29

Introducere

ÎN lumea modernă o atenție semnificativă este acordată matematicii, ca una dintre domenii activitate științifică si studiu. După cum știm, una dintre componentele matematicii este trigonometria. Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice. Consider că acest subiect este, în primul rând, relevant din punct de vedere practic. Terminăm școala și înțelegem că pentru multe profesii, cunoștințele de trigonometrie sunt pur și simplu necesare, pentru că. vă permite să măsurați distanțe față de stelele din apropiere în astronomie, între repere din geografie, controlați sistemele de navigație prin satelit. Principiile trigonometriei sunt, de asemenea, utilizate în domenii precum teoria muzicii, acustica, optică, analiza pieței financiare, electronică, teoria probabilității, statistică, biologie, medicină (inclusiv ultrasunete și tomografie computerizată), farmaceutică, chimie, teoria numerelor (și, după cum urmează rezultat, criptografie), seismologie, meteorologie, oceanologie, cartografie, multe ramuri ale fizicii, topografie și geodezie, arhitectură, fonetică, economie, inginerie electronică, inginerie mecanică, grafică pe computer, cristalografie.

În al doilea rând, relevanţă subiecte „Trigonometrie în viata reala„Este că cunoştinţele de trigonometrie vor deschide noi căi de rezolvare a diverselor probleme din multe domenii ale ştiinţei şi vor simplifica înţelegerea unor aspecte ale diverselor ştiinţe.

Este o practică stabilită de mult timp în care elevii se confruntă cu trigonometria de trei ori. Deci putem spune că trigonometria are trei părți. Aceste părți sunt interconectate și depind de timp. În același timp, ele sunt absolut diferite, nu au trăsături similare atât în ceea ce privește semnificația care este stabilită atunci când se explică conceptele de bază, cât și în ceea ce privește funcțiile.

Prima cunoștință are loc în clasa a VIII-a. Aceasta este perioada în care școlarii studiază: „Raporturile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic”. În procesul de studiu a trigonometriei, este dat conceptul de cosinus, sinus și tangentă.

Următorul pas este să continui cunoștințele cu trigonometria în clasa a 9-a. Nivelul de complexitate crește, se schimbă modalitățile și metodele de rezolvare a exemplelor. Acum, în locul cosinusului și tangentelor vine cercul și posibilitățile sale.

Ultima etapă este clasa a X-a, în care trigonometria devine mai complexă, se schimbă modalitățile de rezolvare a problemelor. Este introdus conceptul de măsurare radianică a unghiului. Sunt introduse grafice ale funcțiilor trigonometrice. În această etapă, elevii încep să rezolve și să învețe ecuații trigonometrice. Dar nu ca geometria. Pentru a înțelege pe deplin trigonometria, trebuie să vă familiarizați cu istoria originii și dezvoltării sale. După ce am cunoscut referință istoricăși studiind activitățile lucrărilor marilor figuri, matematicieni și oameni de știință, putem înțelege cum ne afectează trigonometria viața, cum ajută la crearea de noi obiecte, la realizarea unor descoperiri.

scop Proiectul meu este de a studia influența trigonometriei în viața umană și de a dezvolta interesul pentru aceasta. După rezolvarea acestui obiectiv, vom putea înțelege ce loc ocupă trigonometria în lumea noastră, ce probleme practice rezolvă.

Pentru a atinge acest obiectiv, am identificat următoarele sarcini:

1. Familiarizați-vă cu istoria formării și dezvoltării trigonometriei;

2. Luați în considerare exemple de impactul practic al trigonometriei în diverse domenii de activitate;

3. Arată cu exemple, posibilitățile trigonometriei și aplicarea ei în viața umană.

Metode: Căutare și colectare de informații.

1. Trigonometria și istoria dezvoltării ei

Ce este trigonometria? Acest termen implică o secțiune în matematică care studiază relația dintre diferite unghiuri, studiază lungimile laturilor unui triunghi și identitățile algebrice ale funcțiilor trigonometrice. Este greu de imaginat că această zonă a matematicii ne apare în Viata de zi cu zi.

1.1.Trigonometria și etapele formării acesteia

Să ne întoarcem la istoria dezvoltării sale, etapele formării. Din cele mai vechi timpuri, trigonometria și-a câștigat începuturile, s-a dezvoltat și a arătat primele rezultate. Primele informații despre apariția și dezvoltarea acestei zone le putem vedea în manuscrisele care se află în Egiptul antic, Babilon, China antică. Examinând cea de-a 56-a problemă din Papirusul Rhinda (mileniul II î.Hr.), se poate observa că aceasta propune să se găsească panta piramidei, a cărei înălțime este de 250 de coți. Lungimea laturii bazei piramidei este de 360 de coți (Fig. 1). Este curios că egiptenii în rezolvarea acestei probleme au folosit simultan două sisteme de măsurare - „coate” și „palme”. Astăzi, la rezolvarea acestei probleme, am găsi tangenta unghiului: cunoscând jumătate din bază și apotema (Fig. 1).

Următorul pas a fost etapa de dezvoltare a științei, care este asociată cu astronomul Aristarh din Samos, care a trăit în secolul al III-lea î.Hr. e. Tratatul, care ia în considerare mărimile și distanțele Soarelui și Lunii, și-a propus o sarcină specifică. S-a exprimat în necesitatea de a determina distanța până la fiecare corp ceresc. Pentru a face astfel de calcule, a fost necesar să se calculeze raportul laturilor unui triunghi dreptunghic cu o valoare cunoscută a unuia dintre unghiuri. Aristarh a considerat un triunghi dreptunghic format de Soare, Lună și Pământ în timpul cuadraturii. Pentru a calcula valoarea ipotenuzei, care a stat la baza distanței de la Pământ la Soare, folosind piciorul, care stă la baza distanței de la Pământ la Lună, cu o valoare cunoscută a unghiului inclus (87 °), ceea ce este echivalent cu calcularea valorii unghiul sin 3. Potrivit lui Aristarh, această valoare se află în intervalul de la 1/20 la 1/18. Acest lucru sugerează că distanța de la Soare la Pământ este de douăzeci de ori mai mare decât de la Lună la Pământ. Cu toate acestea, știm că Soarele este de 400 de ori mai departe decât locația Lunii. O judecată eronată a apărut din cauza unei inexactități în măsurarea unghiului.

Câteva decenii mai târziu, Claudius Ptolemeu, în Ethnogeography, Analemma, and Planisferium, oferă o expunere detaliată a adăugărilor trigonometrice la cartografie, astronomie și mecanică. Printre altele, este prezentată o proiecție stereografică, sunt studiate o serie de aspecte de fapt, de exemplu: pentru a seta înălțimea și unghiul unui corp ceresc în funcție de declinația și unghiul orar al acestuia. Din punct de vedere al trigonometriei, aceasta înseamnă că este necesară găsirea laturii triunghiului sferic în funcție de celelalte 2 fețe și unghiul opus (Fig. 2)

În mod colectiv, se poate observa că trigonometria a fost folosită pentru:

Stabilirea clară a orei din zi;

Calculul locației viitoare a corpurilor cerești, episoade de răsărire și apus, eclipsele de Soare și de Lună;

Găsirea coordonatelor geografice ale locației curente;

Calculul distanței dintre megaorașe cu coordonate geografice cunoscute.

Gnomonul este un mecanism astronomic străvechi, un obiect vertical (stela, coloană, stâlp), care permite utilizarea celei mai mici lungimi a umbrei sale la amiază pentru a determina înălțimea unghiulară a soarelui (Fig. 3).

Astfel, cotangenta ne-a fost prezentată ca lungimea umbrei de la un gnomon vertical înalt de 12 (uneori 7) unități. Rețineți că în versiunea originală, aceste definiții au fost folosite pentru a calcula cadranul solar. Tangenta era reprezentată de o umbră care cădea dintr-un gnomon orizontal. Cosecantele și secantele sunt înțelese ca ipotenuze, care corespund triunghiurilor dreptunghiulare.

1.2.Trigonometria ca termen. Caracteristică

Pentru prima dată, termenul specific „trigonometrie” apare în 1505. A fost publicat și folosit în cartea teologului și matematicianului german Bartholomeus Pitiscus. În timp ce știința era deja folosită pentru a rezolva probleme astronomice, arhitecturale.

Termenul de trigonometrie este caracterizat de rădăcini grecești. Și este format din două părți: „triunghi” și „măsură”. Studiind traducerea, putem spune că avem în fața noastră o știință care studiază schimbările în triunghiuri. Apariția trigonometriei este asociată cu topografia terenului, astronomia și procesul de construcție. Deși numele a apărut relativ recent, multe dintre definițiile și datele atribuite în prezent trigonometriei erau cunoscute înainte de anul 2000.

1.3. Apariția sinusului

Reprezentarea sinusului are o istorie lungă. De fapt, diverse relații între segmentele unui triunghi și un cerc (și, în esență, funcții trigonometrice) se găsesc mai devreme în secolul al III-lea. î.Hr. în lucrările unor matematicieni celebri ai Greciei antice - Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga. În perioada romană, aceste relații erau deja destul de regulat studiate de Menelau (secolul I d.Hr.), deși nu au primit un nume special. Sinusul modern al unghiului α, de exemplu, este studiat ca o jumătate de coardă pe care se sprijină unghiul central de mărime α, sau ca o coardă a unui arc dublat.

În perioada următoare, matematica a fost multă vreme formată cel mai rapid de oamenii de știință indieni și arabi. În secolele IV-V, în special, un termen special a apărut mai devreme în lucrările de astronomie ale celebrului om de știință indian Aryabhata (476-cca. 550), după care poartă numele primului satelit hindus al Pământului. El a numit segmentul ardhajiva (ardha-jumătate, jiva-rupere a coardei arcului, care seamănă cu o axă). Mai târziu, un nume mai prescurtat jiva a prins rădăcini. matematicienii arabi în secolul IX. termenul jiva (sau jiba) a fost înlocuit cu cuvântul arab jaib (concavitate). În timpul tranziției textelor matematice arabe în secolul al XII-lea. acest cuvânt a fost înlocuit cu latinescul sinus (sinus-bend) (Fig. 4).

1.4. Apariția cosinusului

Definiția și apariția termenului „cosinus” este de natură mai scurtă și mai îngustă la minte. Prin cosinus se înțelege „sinus suplimentar” (sau altfel „sinus al arcului suplimentar”; amintiți-vă cosα= sin(90° - a)). Un fapt interesant este că primele modalități de a rezolva triunghiuri, care se bazează pe relația dintre laturile și unghiurile unui triunghi, găsite de un astronom din Grecia antică Hipparchus în secolul al II-lea î.Hr. Acest studiu a fost realizat și de Claudius Ptolemeu. Treptat, au apărut noi fapte despre relația dintre raporturile laturilor unui triunghi și unghiurile sale, a început să se aplice o nouă definiție - funcția trigonometrică.

O contribuție semnificativă la formarea trigonometriei au avut-o experții arabi Al-Batani (850-929) și Abu-l-Wafa, Mohamed-bin Mohamed (940-998), care au întocmit tabele de sinusuri și tangente folosind 10 'cu precizie de până la 1/604. Teorema sinusului era cunoscută anterior de profesorul indian Bhaskara (n. 1114, anul morții este necunoscut) și de astrologul și savantul azer Nasireddin Tusi Mukhamed (1201-1274). În plus, Nasireddin Tusi, în lucrarea sa „Lucrul la patrulaterul complet”, a descris trigonometria directă și sferică ca o disciplină independentă (Fig. 4).

1.5. Apariția tangentei și cotangentei

Tangentele au apărut în legătură cu încheierea problemei stabilirii lungimii umbrei. Tangenta (și pe lângă cotangente) a fost stabilită în secolul al X-lea de către aritmeticianul arab Abul-Wafa, care a alcătuit și tabelele originale pentru găsirea tangentelor și cotangentelor. Dar aceste descoperiri au rămas necunoscute oamenilor de știință europeni multă vreme, iar tangentele au fost redescoperite abia în secolul al XIV-lea de către aritmetica germană, astronomul Regimontan (1467). El a argumentat teorema tangentei. Regiomontanus a întocmit și tabele trigonometrice detaliate; Datorită muncii sale, trigonometria plană și sferică a devenit o disciplină independentă și în Europa.

Denumirea „tangentă”, care provine din latinescul tanger (a atinge), a apărut în 1583. Tangens este tradus prin „afectare” (linia tangentelor este tangentă la cercul unitar).
Trigonometria a fost dezvoltată în continuare în lucrările remarcabililor astrologi Nicolaus Copernic (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) și Johannes Kepler (1571-1630), precum și în lucrările matematicianului Francois Vieta (1540-1603) , care a rezolvat complet problema în determinarea absolută a tuturor componentelor unui triunghi plat sau sferic după trei date (Fig. 4).

1.6 Dezvoltarea ulterioară a trigonometriei

Multă vreme, trigonometria a avut o formă exclusiv geometrică, adică datele pe care le formulăm în prezent în definițiile funcțiilor trigonometrice au fost formulate și argumentate cu sprijinul conceptelor și afirmațiilor geometrice. Ea a existat ca atare chiar și în Evul Mediu, deși în ea se foloseau uneori metode analitice, mai ales după apariția logaritmilor. Poate că stimulentele maxime pentru formarea trigonometriei au apărut în legătură cu soluționarea problemelor astronomice, ceea ce a dat un mare interes pozitiv (de exemplu, pentru a rezolva problemele de stabilire a locației unei nave, prognoza întreruperi etc.). Astrologii erau ocupați cu relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor sferice. Și aritmetica antichității a făcut față cu succes întrebărilor puse.

Încă din secolul al XVII-lea, funcțiile trigonometrice au fost folosite pentru a rezolva ecuații, probleme de mecanică, optică, electricitate, inginerie radio, pentru a afișa acțiuni oscilatorii, propagarea undelor, deplasarea elemente diferite, pentru studiul curentului galvanic alternativ etc. Din acest motiv, funcțiile trigonometrice au fost studiate cuprinzător și profund și au devenit esențiale pentru întreaga matematică.

Teoria analitică a funcțiilor trigonometrice a fost creată în principal de remarcabilul matematician din secolul al XVIII-lea Leonhard Euler (1707-1783) membru Academia din PetersburgȘtiințe. Vasta moștenire științifică a lui Euler include rezultate strălucitoare legate de calcul, geometrie, teoria numerelor, mecanică și alte aplicații ale matematicii. Euler a fost cel care a introdus pentru prima dată binecunoscutele definiții ale funcțiilor trigonometrice, a început să ia în considerare funcțiile unui unghi arbitrar și a obținut formule de reducere. După Euler, trigonometria a căpătat forma calculului: diverse fapte au început să fie dovedite prin aplicarea formală a formulelor de trigonometrie, dovezile au devenit mult mai compacte, mai simple,

Astfel, trigonometria, care a apărut ca știință a rezolvării triunghiurilor, s-a dezvoltat în cele din urmă în știința funcțiilor trigonometrice.

Mai târziu, partea de trigonometrie, care studiază proprietățile funcțiilor trigonometrice și relațiile dintre ele, a început să fie numită goniometrie (în traducere - știința măsurării unghiurilor, din grecescul gwnia - unghi, metew - măsoară). Termenul de goniometrie în În ultima vreme practic nu este folosit.

2. Trigonometrie și viața reală

Societate modernă caracterizat prin schimbări constante, descoperiri, crearea de invenții de înaltă tehnologie care ne îmbunătățesc viața. Trigonometria intalneste si interactioneaza cu fizica, biologia, matematica, medicina, geofizica, navigatia, informatica.

Să ne cunoaștem în ordine cu interacțiunea din fiecare industrie.

2.1 Navigare

Primul punct care ne explică utilizarea și beneficiile trigonometriei este relația acesteia cu navigația. Prin navigație înțelegem știința al cărei scop este studierea și crearea celor mai convenabile și utile căi de navigație. Așadar, oamenii de știință dezvoltă o navigație simplă, care înseamnă construirea unui traseu dintr-un punct în altul, evaluându-l și alegând cea mai bună opțiune dintre toate cele oferite. Aceste rute sunt necesare pentru navigatorii care, pe parcursul călătoriei lor, se confruntă cu multe dificultăți, obstacole și întrebări cu privire la cursul mișcării. Navigația este, de asemenea, necesară: piloții care zboară cu avioane complexe de înaltă tehnologie se orientează, uneori în situații foarte extreme; cosmonauți, a căror activitate este asociată cu un risc pentru viață, cu construcția complexă a traseului și dezvoltarea acestuia. Să studiem următoarele concepte și sarcini mai detaliat. Ca sarcină, ne putem imagina următoarea condiție: știm coordonate geografice: latitudine și longitudine între punctele A și B suprafața pământului. Este necesar să se găsească calea cea mai scurtă între punctele A și B de-a lungul suprafeței pământului (raza Pământului este considerată cunoscută: R = 6371 km).

Putem prezenta și o soluție la această problemă și anume: mai întâi lămurim că latitudinea punctului M al suprafeței pământului este valoarea unghiului format de raza OM, unde O este centrul Pământului, cu planul. a ecuatorului: ≤ , iar la nord de ecuator, latitudinea este considerată pozitivă, iar sudul este negativ. Pentru longitudinea punctului M luam valoarea unghiului diedric care trece in planurile COM si SON. Prin C înțelegem Polul Nord al Pământului. Ca H, înțelegem punctul corespunzător observatorului Greenwich: ≤ (la est de meridianul Greenwich, longitudinea este considerată pozitivă, la vest - negativă). După cum știm deja, cea mai scurtă distanță dintre punctele A și B de pe suprafața pământului este reprezentată de lungimea celui mai mic dintre arcele de cerc mare care leagă A și B. Putem numi acest tip de arc ortodrom. Tradus din greacă, acest termen este înțeles ca unghi drept. Din acest motiv, sarcina noastră este să determinăm lungimea laturii AB a triunghiului sferic ABC, unde C este înțeles ca polisul nordic.

Un exemplu interesant este următorul. Atunci când se creează un traseu de către marinari, este necesară o muncă precisă și minuțioasă. Deci, pentru a așeza cursul navei pe hartă, care a fost făcută în proiecția lui Gerhard Mercator în 1569, a fost nevoie urgentă de a determina latitudinea. Cu toate acestea, la mers pe mare, în locații până în secolul al XVII-lea, navigatorii nu au indicat latitudinea. Pentru prima dată, Edmond Gunther (1623) a aplicat calcule trigonometrice în navigație.

Cu ajutorul trigonometriei, piloții ar putea calcula erorile de vânt pentru o manevrare cea mai precisă și sigură a aeronavei. Pentru a efectua aceste calcule, ne întoarcem la triunghiul vitezelor. Acest triunghi exprimă viteza aerului formată (V), vectorul vântului (W), vectorul viteza la sol(Vp). PU - unghiul pistei, SW - unghiul vântului, KUV - unghiul vântului îndreptat (Fig. 5) .

Pentru a vă familiariza cu tipul de dependență dintre elementele triunghiului de navigație al vitezelor, trebuie să vă uitați mai jos:

Vp \u003d V cos US + W cos SW; sin US = * sin SW, tg SW

Pentru a rezolva triunghiul de navigație al vitezelor, se folosesc dispozitive de numărare care folosesc rigla de navigație și calcule mentale.

2.2 Algebră

Următoarea zonă de interacțiune a trigonometriei este algebra. Datorită funcțiilor trigonometrice, sunt rezolvate ecuații și sarcini foarte complexe care necesită calcule mari.

După cum știm, în toate cazurile în care este necesară interacțiunea cu procese și oscilații periodice, ajungem la utilizarea funcțiilor trigonometrice. Nu contează ce este: acustică, optică sau balansare cu pendul.

2.3 Fizica

Pe lângă navigație și algebră, trigonometria oferă influență directăși impact în fizică. Când obiectele sunt scufundate în apă, acestea nu își schimbă în niciun fel forma sau volumul. Secretul deplin este efectul vizual care ne obligă viziunea să perceapă subiectul într-un mod diferit. Formulele trigonometrice simple și valorile sinusului unghiului de incidență și refracție a semiliniei oferă probabilitatea de a calcula un indice de refracție constant pe măsură ce fasciculul de lumină trece de la sferă la sferă. De exemplu, apare un curcubeu pentru că lumina soarelui experimentează refracția în picăturile de apă suspendate în aer conform legii refracției:

sinα / sinβ = n1 / n2

unde: n1 este indicele de refracție al primului mediu; n2 este indicele de refracție al celui de-al doilea mediu; α-unghi de incidență, β-unghi de refracție a luminii.

Intrarea elementelor încărcate ale vântului solar în straturile superioare ale atmosferei planetelor este determinată de interacțiune. camp magnetic teren cu vânt solar.

Forța care acționează asupra unei particule încărcate care se mișcă într-o regiune magnetică se numește forță Lorentz. Este proporțional cu sarcina particulei și produsul vectorial al câmpului și viteza particulei.

Dezvăluind aspectele practice ale aplicării trigonometriei în fizică, dăm un exemplu. Aceasta sarcina trebuie rezolvate folosind formule trigonometrice si metode de rezolvare. Condiții de sarcină: plan înclinat, al cărui unghi este de 24,5o, este un corp cu masa de 90 kg. Este necesar să găsim ce forță exercită corpul presiune pe planul înclinat (adică ce presiune exercită corpul pe acest plan) (Fig. 6).

După ce am desemnat axele X și Y, vom începe să construim proiecții ale forțelor pe axe, mai întâi folosind această formulă:

ma = N + mg, apoi uită-te la imagine,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N - mg cos24,50

înlocuim masa, aflăm că forța este de 819 N.

Raspuns: 819 N

2.4 Medicina, biologie si bioritmuri

Al patrulea domeniu în care trigonometria are o influență și ajutor serios este două domenii simultan: medicină și biologie.

Una dintre proprietățile fundamentale ale naturii vii este ciclicitatea majorității proceselor care au loc în ea. Între mișcare corpuri cereștiși organismele vii de pe Pământ există o legătură. Organismele vii nu numai că captează lumina și căldura Soarelui și Lunii, dar au și diverse mecanisme care determină cu exactitate poziția Soarelui, răspund la ritmul mareelor, fazele Lunii și mișcarea planetei noastre.

Ritmurile biologice, bioritmurile, sunt modificări mai mult sau mai puțin regulate ale naturii și intensității proceselor biologice. Capacitatea pentru astfel de schimbări în activitatea vitală este moștenită și se găsește în aproape toate organismele vii. Ele pot fi observate în celule individuale, țesuturi și organe, organisme întregi și populații. Bioritmurile sunt împărțite în fiziologic, având perioade de la fracţiuni de secundă la câteva minute şi de mediu,în durată, care coincide cu un fel de ritm mediu inconjurator. Acestea includ ritmurile zilnice, sezoniere, anuale, mareelor și lunare. Principalul ritm pământesc este zilnic, datorită rotației Pământului în jurul axei sale, prin urmare, aproape toate procesele dintr-un organism viu au o periodicitate zilnică.

O multime de factori de mediu pe planeta noastră, în primul rând, regimul de lumină, temperatura, presiunea și umiditatea aerului, câmpurile atmosferice și electromagnetice, mareele marine, sub influența acestei rotații se schimbă în mod natural.

Suntem șaptezeci și cinci la sută de apă, iar dacă în momentul lunii pline apele oceanelor se ridică la 19 metri deasupra nivelului mării și începe marea, atunci apa din corpul nostru se năpustește și ea în părțile superioare ale corpului nostru. Și oameni cu tensiune arterială crescută exacerbări ale bolii sunt adesea observate în aceste perioade, iar naturaliștii care culeg plante medicinale știu exact în ce fază a lunii să colecteze „vârfurile – (fructe)”, și în care – „rădăcinile”.

Ai observat că în anumite perioade Viața ta face salturi inexplicabile? Dintr-o dată, de nicăieri - emoțiile debordează. Sensibilitatea crește, care poate fi înlocuită brusc cu o apatie completă. Zile creative și sterile, momente fericite și nefericite, schimbări de dispoziție. Se observă că capacitățile corpului uman se schimbă periodic. Această cunoaștere stă la baza „teoria celor trei bioritmuri”.

Bioritmul fizic – reglează activitatea fizică. În prima jumătate a ciclului fizic, o persoană este energică și obține cele mai bune rezultate în activitatea sa (a doua jumătate - energia este inferioară lenei).

Ritmul emoțional - în perioadele de activitate, sensibilitatea crește, starea de spirit se îmbunătățește. O persoană devine excitabilă la diferite cataclisme externe. Dacă are bună dispoziție, construiește castele în aer, visează să se îndrăgostească și se îndrăgostește. Odată cu o scădere a bioritmului emoțional, are loc o scădere a puterii mentale, dorința și starea de bucurie dispar.

Bioritm inteligent - el gestionează memoria, capacitatea de a învăța, gandire logica. În faza de activitate, există o creștere, iar în a doua fază, o scădere a activității creative, nu există noroc și succes.

Teoria celor trei ritmuri:

· Ciclul fizic -23 zile. Determină energia, forța, rezistența, coordonarea mișcărilor

Ciclul emoțional - 28 de zile. Stat sistem nervosși starea de spirit

· Ciclul intelectual - 33 de zile. Definește creativitate personalități

Trigonometria se găsește și în natură. Mișcarea peștilor în apă are loc conform legii sinusului sau cosinusului, dacă fixați un punct pe coadă și apoi luați în considerare traiectoria mișcării. Când înot, corpul peștelui ia forma unei curbe care seamănă cu graficul funcției y=tgx.

În timpul zborului unei păsări, traiectoria clapetei aripilor formează o sinusoidă.

Trigonometria în medicină. În urma unui studiu realizat de un student de la Universitatea iraniană din Shiraz, Wahid-Reza Abbasi, medicii au reușit pentru prima dată să eficientizeze informațiile legate de activitatea electrică a inimii sau, cu alte cuvinte, electrocardiografia.

Formula, numită Teheran, a fost prezentată comunității științifice generale la a 14-a Conferință de Medicină Geografică și apoi la a 28-a Conferință privind Aplicarea Tehnologiei Calculatoarelor în Cardiologie, desfășurată în Țările de Jos.

Această formulă este o ecuație algebrică-trigonometrică complexă, formată din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie. Potrivit medicilor, această formulă facilitează foarte mult procesul de descriere a principalelor parametri ai activității inimii, accelerând astfel diagnosticul și începerea tratamentului propriu-zis.

Mulți oameni trebuie să facă un ECG al inimii, dar puțini știu că ECG al inimii umane este o diagramă sinus sau cosinus.

Trigonometria ajută creierul nostru să determine distanțele până la obiecte. Oamenii de știință americani susțin că creierul estimează distanța până la obiecte prin măsurarea unghiului dintre planul solului și planul vizual. La această concluzie s-a ajuns după o serie de experimente în care participanții au fost rugați să se uite lumea prin prisme care măresc acest unghi.

O astfel de distorsiune a dus la faptul că purtătorii experimentali de prisme au perceput obiectele îndepărtate ca fiind mai apropiate și nu au putut face față celor mai simple teste. Unii dintre participanții la experimente chiar s-au aplecat în față, încercând să-și alinieze corpurile perpendicular pe suprafața de pământ denaturată. Cu toate acestea, după 20 de minute, s-au obișnuit cu percepția distorsionată și toate problemele au dispărut. Această circumstanță indică flexibilitatea mecanismului prin care creierul adaptează sistemul vizual la condițiile externe în schimbare. Este interesant de observat că, după ce prismele au fost îndepărtate, s-a observat de ceva timp efectul opus - o supraestimare a distanței.

Rezultatele noului studiu, așa cum v-ați putea aștepta, vor fi de interes pentru inginerii care proiectează sisteme de navigație pentru roboți, precum și pentru specialiștii care lucrează la crearea celor mai realiste modele virtuale. Aplicații sunt posibile și în domeniul medicinei, în reabilitarea pacienților cu afectare a anumitor zone ale creierului.

2.5.Muzica

Câmpul muzical interacționează și cu trigonometria.

Vă prezint atenției informații interesante despre o metodă care oferă cu exactitate o legătură între trigonometrie și muzică.

Această metodă de analiză a operelor muzicale se numește „teoria geometrică a muzicii”. Cu ajutorul acestuia, principalele structuri și transformări muzicale sunt traduse în limbajul geometriei moderne.

Fiecare nota din interior noua teorie este reprezentat ca logaritmul frecvenței sunetului corespunzător (nota „do” a primei octave, de exemplu, corespunde cu numărul 60, octava cu numărul 12). O coardă este astfel reprezentată ca un punct cu coordonate date în spațiul geometric. Acordurile sunt grupate în diferite „familii” care corespund diferitelor tipuri de spații geometrice.

La dezvoltarea unei noi metode, autorii au folosit 5 tipuri cunoscute de transformări muzicale care nu au fost luate în considerare anterior în teoria muzicii la clasificarea secvențelor de sunet - permutarea octavei (O), permutarea (P), transpunerea (T), inversarea (I) și modificarea cardinalității (C) . Toate aceste transformări, după cum scriu autorii, formează așa-numitele simetrii OPTICE în spațiul n-dimensional și stochează informații muzicale despre acord - în ce octavă sunt notele sale, în ce secvență sunt interpretate, de câte ori sunt repetate. , și așa mai departe. Folosind simetrii OPTICE, se clasifică acorduri similare dar nu identice și secvențele lor.

Autorii articolului arată că diverse combinații ale acestor 5 simetrii formează multe structuri muzicale diferite, dintre care unele sunt deja cunoscute în teoria muzicii (o secvență de acorduri, de exemplu, va fi exprimată în termeni noi ca OPC), în timp ce altele sunt concepte fundamental noi care, probabil, vor fi adoptate de compozitorii viitorului.

Ca exemplu, autorii oferă o reprezentare geometrică a diferitelor tipuri de acorduri a patru sunete - un tetraedru. Sferele de pe grafic reprezintă tipurile de acorduri, culorile sferelor corespund mărimii intervalelor dintre sunetele acordurilor: albastru - intervale mici, tonuri mai calde - sunete de acord mai „rare”. Sfera roșie este cel mai armonios acord cu intervale egale între note, care a fost popular la compozitorii secolului al XIX-lea.

Metoda „geometrică” de analiză a muzicii, potrivit autorilor studiului, poate duce la crearea de noi instrumente muzicaleși noi modalități de vizualizare a muzicii, precum și de a face schimbări în metodele moderne de predare a muzicii și modalități de studiere a diferitelor stiluri muzicale (muzică clasică, muzică pop, muzică rock etc.). Noua terminologie va ajuta, de asemenea, la compararea mai profundă a operelor muzicale ale compozitorilor din diferite epoci și la prezentarea rezultatelor cercetării într-o formă matematică mai convenabilă. Cu alte cuvinte, se propune să se evidențieze esența lor matematică din lucrările muzicale.

Frecvențele corespunzătoare aceleiași note în prima, a doua etc. octave, se raportează ca 1:2:4:8... Conform legendelor care au venit din antichitate, primii care au încercat să facă acest lucru au fost Pitagora și studenții săi.

Scara diatonica 2:3:5 (Fig. 8).

2.6.Informatica

Trigonometria cu influența sa nu a ocolit informatica. Deci, funcțiile sale sunt aplicabile pentru calcule precise. Mulțumită momentul prezent, putem aproxima orice funcție (într-un anumit sens „bună”) prin extinderea acesteia într-o serie Fourier:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Procesul de selectare a unui număr în cel mai adecvat mod numerele a0, a1, b1, a2, b2, ..., pot fi reprezentate sub forma unei astfel de sume (infinite) prin aproape orice funcție dintr-un computer cu precizia necesară .

Trigonometria are un rol serios și asistență în dezvoltarea și în procesul de lucru cu informații grafice. Dacă trebuie să simulați un proces, cu o descriere în formă electronică, cu rotirea unui anumit obiect în jurul unei anumite axe. Există o rotație printr-un anumit unghi. Pentru a determina coordonatele punctelor, va trebui să înmulțiți cu sinusuri și cosinusuri.

Așadar, îl puteți cita ca exemplu pe Justin Windell, un programator și designer care lucrează la Google Grafika Lab. El a postat o demonstrație care arată un exemplu de utilizare a funcțiilor trigonometrice pentru a crea animații dinamice.

2.7.Sfera construcției și geodeziei

O ramură interesantă care interacționează cu trigonometria este domeniul construcțiilor și geodeziei. Lungimile laturilor și unghiurile unui triunghi arbitrar pe plan sunt interconectate prin anumite relații, dintre care cele mai importante sunt numite teoreme cosinus și sinus. Formulele care conțin a, b, c implică faptul că literele sunt reprezentate de laturile triunghiului, care se află, respectiv, împotriva unghiurilor A, B, C. Aceste formule permit cele trei elemente ale triunghiului - lungimile laturilor și unghiuri - pentru a restabili cele trei elemente rămase. Ele sunt utilizate în rezolvarea problemelor practice, de exemplu, în geodezie.

Toată geodezia „clasică” se bazează pe trigonometrie. De fapt, încă din cele mai vechi timpuri, topografii au fost fascinați de faptul că „rezolvă” triunghiuri.

Procesul de ridicare a clădirilor, pistelor, podurilor și a altor clădiri începe cu sondajul și munca de proiectare. Fără excepție, toate măsurătorile pe șantier sunt efectuate cu ajutorul instrumentelor geodezice, cum ar fi o stație totală și un nivel trigonometric. Cu nivelarea trigonometrică se stabilește diferența de înălțime între mai multe puncte de pe suprafața pământului.

2.8 Trigonometrie în artă și arhitectură

Din momentul în care omul a început să existe pe pământ, știința a devenit baza pentru îmbunătățirea vieții de zi cu zi și a altor domenii ale vieții. Bazele a tot ceea ce este creat de om sunt diverse direcții în științele naturale și matematice. Una dintre ele este geometria. Arhitectura nu este singurul domeniu al științei în care se folosesc formule trigonometrice. Cele mai multe dintre deciziile compoziționale și construcția desenelor au avut loc tocmai cu ajutorul geometriei. Dar datele teoretice înseamnă puțin. Luați în considerare un exemplu de construcție a unei sculpturi de către maestrul francez al Epocii de Aur a Artei.

Relația proporțională în construcția statuii a fost perfectă. Cu toate acestea, când statuia a fost ridicată la un piedestal înalt, arăta urât. Sculptorul nu a ținut cont de faptul că multe detalii sunt reduse în perspectivă spre orizont, iar privite de jos în sus nu se mai creează impresia idealității sale. Au fost efectuate o mulțime de calcule, astfel încât cifra de la o înălțime mare să pară proporțională. Practic, s-au bazat pe metoda de ochire, adică pe o măsurare aproximativă, cu ochiul. Cu toate acestea, coeficientul de diferență a anumitor proporții a făcut posibilă apropierea figurii de ideal. Astfel, cunoscând distanța aproximativă de la statuie la punct de vedere, și anume de la vârful statuii până la ochii omului și înălțimea statuii, putem calcula sinusul unghiului de incidență al privirii folosind tabelul, găsindu-se astfel punctul de vedere (Fig. 9).

În Figura 10, situația se schimbă, deoarece statuia este ridicată la înălțimea AC și crește HC, putem calcula cosinusul unghiului C, folosind tabelul găsim unghiul de incidență al privirii. În acest proces, puteți calcula AH, precum și sinusul unghiului C, ceea ce vă va permite să verificați rezultatele utilizând principalul identitate trigonometrică cos 2 a + păcat 2 a = 1.

Comparând măsurătorile lui AH în primul și al doilea caz, se poate găsi coeficientul de proporționalitate. Ulterior, vom primi un desen, iar apoi o sculptură, atunci când este ridicată, figura se va apropia vizual de ideal.

Clădirile iconice din întreaga lume au fost proiectate cu matematică care poate fi considerată geniul arhitecturii. Câteva exemple celebre de astfel de clădiri sunt Școala de Copii Gaudí din Barcelona, Mary Axe din Londra, Crama Bodegas Isios din Spania și Restaurantul Los Manantiales din Argentina. Designul acestor clădiri nu a fost lipsit de trigonometrie.

Concluzie

După ce am studiat aspectele teoretice și aplicate ale trigonometriei, mi-am dat seama că această ramură este strâns legată de multe științe. La început, trigonometria a fost esențială pentru efectuarea și efectuarea măsurătorilor între unghiuri. Cu toate acestea, mai târziu, o simplă măsurare a unghiurilor a devenit o știință cu drepturi depline care studiază funcțiile trigonometrice. Putem identifica următoarele domenii în care există o legătură strânsă între trigonometrie și fizica arhitecturii, naturii, medicinei și biologiei.

Așadar, datorită funcțiilor trigonometrice din medicină, a fost descoperită formula inimii, care este o egalitate algebrică-trigonometrică complexă, care constă din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv posibilitatea unor erori de calcul suplimentare în caz de aritmie. . Această descoperire îi ajută pe medici să ofere îngrijiri medicale mai calificate și de înaltă calitate.

Să notăm, de asemenea. că toată geodezia clasică se bazează pe trigonometrie. De fapt, din cele mai vechi timpuri, geodezii s-au angajat în „rezolvarea” triunghiurilor. Procesul de construire a clădirilor, drumurilor, podurilor și a altor structuri începe cu lucrări de cercetare și proiectare. Toate măsurătorile de pe șantier sunt efectuate folosind instrumente de topografie precum teodolitul și nivelul trigonometric. Cu nivelarea trigonometrică se determină diferența de înălțime dintre mai multe puncte de pe suprafața pământului.

Familiarizându-ne cu influența sa în alte domenii, putem concluziona că trigonometria afectează în mod activ viața umană. Legătura matematicii cu lumea exterioară vă permite să „materializați” cunoștințele școlarilor. Datorită acestui fapt, putem percepe și asimila mai adecvat cunoștințele și informațiile pe care ni le predau la școală.

Scopul proiectului meu a fost îndeplinit cu succes. Am studiat influența trigonometriei în viață și dezvoltarea interesului pentru ea.

Pentru a atinge acest obiectiv, am îndeplinit următoarele sarcini:

1. Ne-am familiarizat cu istoria formării și dezvoltării trigonometriei;

2. Exemple luate în considerare de impactul practic al trigonometriei în diverse domenii de activitate;

3. Au arătat cu exemple posibilitățile trigonometriei și aplicarea ei în viața umană.

Studierea istoriei apariției acestei industrii va ajuta la trezirea interesului în rândul școlarilor, la formarea viziunii corecte asupra lumii și la îmbunătățirea culturii generale a unui elev de liceu.

Această lucrare va fi utilă elevilor de liceu care nu au văzut încă frumusețea trigonometriei și nu sunt familiarizați cu domeniile de aplicare a acesteia în viața din jur.

Bibliografie

Glazer G.I.

Rybnikov K.A.

Bibliografie

UN. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin et al. „Algebra și începuturile analizei” Manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ, M., Educație, 2013.

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala: clasa VII-VIII. - M.: Educație, 2012.

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala: celule IX-X. - M.: Educație, 2013.

Rybnikov K.A. Istoria matematicii: manual. - M.: Editura Universității de Stat din Moscova, 1994 Și. - M.: facultate, 2016. - 134 p.

Olechnik, S.N. Probleme de algebră, trigonometrie și funcții elementare / S.N. Olekhnik. - M.: Liceu, 2013. - 645 p.

Potapov, M.K. Algebră, trigonometrie și funcții elementare / M.K. Potapov. - M.: Liceu, 2014. - 586 p.

Potapov, M.K. Algebră. Trigonometrie și funcții elementare / M.K. Potapov, V.V. Aleksandrov, P.I. Pașicenko. - M.: [nespecificat], 2015. - 762 p.

Anexa 1

Fig.1Imaginea unei piramide. Calculul pantei b / h .

Goniometru Seked

În general, formula egipteană pentru calcularea seked-ului piramidei arată ca

Asa de:.

Termen egiptean antic căutat” denota unghiul de înclinare. Era peste înălțime, împărțit în jumătate de bază.

„Lungimea piramidei de pe partea de est este de 360 (coți), înălțimea este de 250 (coți). Trebuie să calculați panta laturii de est. Pentru a face acest lucru, luați jumătate din 360, adică 180. Împărțiți 180 la 250. Primești: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 cot. Rețineți că un cot este egal cu 7 lățimi ale mâinii. Acum înmulțiți numerele rezultate cu 7, după cum urmează: "

Fig.2Gnomon

Fig.3 Determinarea înălțimii unghiulare a soarelui

Fig.4 Formule de bază ale trigonometriei

Fig.5 Navigarea în trigonometrie

Fig.6 Fizica în trigonometrie

Fig.7 Teoria celor trei ritmuri

( Ciclul fizic este de 23 de zile. Determină energia, forța, rezistența, coordonarea mișcării; Ciclul emoțional este de 28 de zile. Starea sistemului nervos și starea de spirit; Ciclul intelectual - 33 de zile. Determină capacitatea creativă a individului)

Orez. 8 Trigonometrie în muzică

Fig.9, 10 Trigonometria în arhitectură

align=center>

Trigonometrie- o microsecțiune de matematică care studiază relația dintre unghiurile și lungimile laturilor triunghiurilor, precum și identitățile algebrice ale funcțiilor trigonometrice.
Există multe domenii în care se aplică trigonometria și funcțiile trigonometrice. Funcțiile trigonometrice sau trigonometrice sunt utilizate în astronomie, navigație maritimă și aeriană, acustică, optică, electronică, arhitectură și alte domenii.

Istoria creării trigonometriei

Istoria trigonometriei, ca știință a relației dintre unghiurile și laturile unui triunghi și altele forme geometrice se întinde pe peste două milenii. Majoritatea acestor relații nu pot fi exprimate folosind operații algebrice obișnuite și, prin urmare, a fost necesară introducerea unor funcții trigonometrice speciale, prezentate inițial sub formă de tabele numerice.
Istoricii cred că trigonometria a fost creată de astronomii antici, iar puțin mai târziu a început să fie folosită în arhitectură. De-a lungul timpului, domeniul de aplicare al trigonometriei s-a extins în mod constant, astăzi include aproape toate Stiintele Naturii, tehnologie și o serie de alte domenii de activitate.

Primele secole

Din matematica babiloniană, suntem obișnuiți să măsurăm unghiuri în grade, minute și secunde (introducerea acestor unități în matematica greacă veche este de obicei atribuită secolului al II-lea î.Hr.).

Principala realizare a acestei perioade a fost raportul catetelor și ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic, numit mai târziu teorema lui Pitagora.

Grecia antică

O prezentare generală și coerentă din punct de vedere logic a relațiilor trigonometrice a apărut în geometria greacă veche. Matematicienii greci nu au identificat încă trigonometria ca o știință separată, pentru ei ea făcea parte din astronomie.
Principala realizare a teoriei trigonometrice antice a fost rezolvarea într-o formă generală a problemei „rezolvarii triunghiurilor”, adică găsirea unor elemente necunoscute ale unui triunghi, pe baza a trei elemente date (dintre care cel puțin unul este o latură).
Problemele trigonometrice aplicate sunt foarte diverse - de exemplu, se pot seta rezultate măsurabile ale operațiilor pe mărimile enumerate (de exemplu, suma unghiurilor sau raportul lungimilor laturilor).
În paralel cu dezvoltarea trigonometriei plane, grecii, sub influența astronomiei, au avansat mult trigonometria sferică. În „Principiile” lui Euclid pe această temă, există doar o teoremă privind raportul dintre volumele de bile de diferite diametre, dar nevoile astronomiei și cartografiei au cauzat dezvoltare rapidă trigonometrie sferică și domenii aferente - sisteme coordonatele cerești, teoria proiecțiilor cartografice, tehnologiile instrumentelor astronomice.

Evul mediu

În secolul al IV-lea, după moartea științei antice, centrul de dezvoltare a matematicii s-a mutat în India. Au schimbat unele dintre conceptele de trigonometrie, aducându-le mai aproape de cele moderne: de exemplu, au fost primii care au introdus cosinusul în uz.

Primul tratat de specialitate de trigonometrie a fost lucrarea omului de știință din Asia Centrală (sec. X-XI) „Cartea cheilor științei astronomiei” (995-996). Întregul curs de trigonometrie conținea principala lucrare a lui Al-Biruni - „Canonul lui Mas’ud” (Cartea a III-a). Pe lângă tabelele de sinusuri (cu un pas de 15 "), Al-Biruni a dat tabele de tangente (cu un pas de 1 °).

După ce tratatele arabe au fost traduse în latină în secolele XII-XIII, multe idei ale matematicienilor indieni și persani au devenit proprietatea științei europene. Aparent, prima cunoaștere a europeilor cu trigonometria a avut loc datorită zij-ului, ale cărui două traduceri au fost făcute în secolul al XII-lea.

Prima lucrare europeană dedicată în întregime trigonometriei este adesea numită cele patru tratate despre acorduri directe și inversate de către astronomul englez Richard de Wallingford (circa 1320). Tabelele trigonometrice, adesea traduse din arabă, dar uneori originale, sunt conținute în lucrările unui număr de alți autori din secolele XIV-XV. Atunci trigonometria și-a luat locul printre cursurile universitare.

timp nou

Dezvoltarea trigonometriei în timpurile moderne a devenit extrem de importantă nu numai pentru astronomie și astrologie, ci și pentru alte aplicații, în primul rând artilerie, optică și navigație în timpul călătoriilor maritime pe distanțe lungi. Prin urmare, după secolul al XVI-lea, mulți oameni de știință de seamă s-au ocupat de acest subiect, printre care Nicolaus Copernic, Johannes Kepler, Francois Viet. Copernic a dedicat două capitole trigonometriei în tratatul său Despre revoluțiile sferelor cerești (1543). Curând (1551) au apărut tabele trigonometrice cu 15 cifre ale lui Rheticus, un student al lui Copernic. Kepler a publicat Optical Astronomy (1604).

Vieta în prima parte a „Canonului său matematic” (1579) a plasat diverse tabele, inclusiv trigonometrice, iar în partea a doua a făcut o prezentare detaliată și sistematică, deși fără dovezi, a trigonometriei plane și sferice. În 1593 Vieta a pregătit o ediție extinsă a acestei lucrări capitale.
Datorită muncii lui Albrecht Dürer, s-a născut o sinusoidă.

secolul al 18-lea

El a dat un aspect modern trigonometriei. În tratatul Introducere în analiza infinitelor (1748), Euler a dat o definiție a funcțiilor trigonometrice echivalentă cu cea modernă și a definit funcțiile inverse în consecință.

Euler a considerat unghiurile negative și unghiurile mai mari de 360° ca fiind admisibile, ceea ce a făcut posibilă determinarea funcțiilor trigonometrice pe întreaga dreaptă numerică reală și apoi extinderea lor la planul complex. Când s-a pus problema extinderii funcțiilor trigonometrice la unghiuri obtuze, semnele acestor funcții înainte de Euler au fost adesea alese în mod eronat; mulți matematicieni au considerat, de exemplu, cosinusul și tangenta unui unghi obtuz ca fiind pozitive. Euler a determinat aceste semne pentru unghiuri din diferite cadrane de coordonate pe baza formulelor de reducere.
Euler nu a studiat teoria generală a seriilor trigonometrice și nu a investigat convergența seriei obținute, dar a obținut câteva rezultate importante. În special, el a derivat expansiunile puterilor întregi ale sinusului și cosinusului.

Aplicarea trigonometriei

Cei care spun că trigonometria nu este necesară în viața reală au dreptate în felul lor. Ei bine, care sunt sarcinile sale aplicate obișnuite? Măsurați distanța dintre obiectele inaccesibile.
De mare importanță este tehnica de triangulare, care face posibilă măsurarea distanțelor față de stelele din apropiere în astronomie, între repere în geografie și controlul sistemelor de navigație prin satelit. De asemenea, este de remarcat aplicarea trigonometriei în domenii precum tehnologia de navigație, teoria muzicii, acustică, optică, analiza pieței financiare, electronică, teoria probabilității, statistică, biologie, medicină (inclusiv ultrasunete și tomografie computerizată), farmaceutică, chimie, teoria numerelor. (și, în consecință, criptografie), seismologie, meteorologie, oceanologie, cartografie, multe ramuri ale fizicii, topografie și geodezie, arhitectură, fonetică, economie, inginerie electronică, inginerie mecanică, grafică computerizată, cristalografie etc.
Concluzie: trigonometria este un ajutor imens în viața noastră de zi cu zi.

Trigonometrie în astronomie:

Necesitatea rezolvării triunghiurilor a fost descoperită pentru prima dată în astronomie; prin urmare, pentru o lungă perioadă de timp trigonometria a fost dezvoltată și studiată ca una dintre ramurile astronomiei.

Tabelele de poziții ale Soarelui și Lunii întocmite de Hiparh au făcut posibilă prezicerea momentelor declanșării eclipselor (cu o eroare de 1-2 ore). Hipparchus a fost primul care a folosit metodele trigonometriei sferice în astronomie. El a îmbunătățit acuratețea observațiilor utilizând fire în instrumentele goniometrice - sextanți și cadrane - pentru a îndrepta steaua spre stea. Omul de știință a întocmit un catalog al pozițiilor a 850 de stele, uriașe la acea vreme, împărțindu-le după luminozitate în 6 grade (magnitudini). Hipparchus a introdus coordonatele geografice - latitudine și longitudine și poate fi considerat fondatorul geografiei matematice. (c. 190 î.Hr. - c. 120 î.Hr.)

Soluție completă probleme de determinare a tuturor elementelor unui triunghi plat sau sferic din trei elemente date, expansiuni importante ale sin nx și cos nx în puterile cos x și sinx. Cunoașterea formulei pentru sinusurile și cosinusurile arcelor multiple ia permis lui Viet să rezolve ecuația de gradul 45 propusă de matematicianul A. Roomen; Viet a arătat că soluția acestei ecuații se reduce la împărțirea unghiului în 45 de părți egale și că există 23 de rădăcini pozitive ale acestei ecuații. Viet a rezolvat problema lui Apollonius cu o riglă și o busolă.
Rezolvarea triunghiurilor sferice este una dintre sarcinile astronomiei.Calculează laturile și unghiurile oricărui triunghi sferic din trei laturi sau unghiuri date corespunzător folosind următoarele teoreme: (teorema sinusului) (teorema cosinusului pentru unghiuri) (teorema cosinusului pentru laturi).

Trigonometrie în fizică:

tipuri de fenomene oscilatorii.

Oscilatia armonica este un fenomen de modificare periodica a unei marimi, in care dependenta de argument are caracterul unei functii sinus sau cosinus. De exemplu, o cantitate care variază în timp, după cum urmează, fluctuează armonic:

Unde x este valoarea mărimii în schimbare, t este timpul, A este amplitudinea oscilațiilor, ω este frecvența ciclică a oscilațiilor, este faza completă a oscilațiilor, r este faza inițială a oscilațiilor.

Vibrații mecanice . Vibrații mecanice

Trigonometrie în natură.

Adesea punem o întrebare

Unul dintre proprietăți fundamentale
sunt modificări mai mult sau mai puțin regulate ale naturii și intensității proceselor biologice.
Ritmul de bază al pământului- zilnic.

Trigonometrie în biologie

Trigonometria joacă un rol important în medicină. Cu ajutorul ei, oamenii de știință iranieni au descoperit formula inimii - o egalitate algebrică-trigonometrică complexă, constând din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie.

scara diatonica 2:3:5

Trigonometria în arhitectură

Swiss Re Insurance Corporation din Londra

Interpretare

Am dat doar o mică parte din unde puteți găsi funcții trigonometrice .. Am aflat

Am demonstrat că trigonometria este strâns legată de fizică, apare în natură, în medicină. Este posibil să oferim infinite exemple de procese periodice de natură animată și neînsuflețită. Toate procesele periodice pot fi descrise folosind funcții trigonometrice și reprezentate pe grafice

Credem că trigonometria se reflectă în viețile noastre și în sfere

în care joacă un rol important se va extinde.

Aflat că trigonometria a fost adusă la viață de nevoia de a măsura unghiurile, dar în timp s-a dezvoltat în știința funcțiilor trigonometrice.
Demonstrat
Noi gândim

Vizualizați conținutul documentului
„Danilova T.V.-scenariu”

MKOU „Școala secundară Nenets - internat care poartă numele. A.P. Pyrerki"

Proiect educațional

" "

Danilova Tatyana Vladimirovna

Profesor de matematică

Justificarea relevanței proiectului.

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice. Este greu de imaginat, dar această știință o întâlnim nu numai la lecțiile de matematică, ci și în viața noastră de zi cu zi. Poate că nu știți acest lucru, dar trigonometria se găsește în științe precum fizica, biologia, joacă un rol important în medicină și, cel mai interesant, nici muzica și arhitectura nu s-ar putea descurca fără ea.
Cuvântul trigonometrie apare pentru prima dată în 1505 în titlul unei cărți a matematicianului german Pitiscus.
Trigonometrie este un cuvânt grecesc și înseamnă literal măsurarea triunghiurilor (trigonan - triunghi, metreo - măsoară).
Apariția trigonometriei a fost strâns legată de topografie, astronomie și construcții.

Un școlar la vârsta de 14-15 ani nu știe întotdeauna unde va merge să studiezi și unde să lucrezi.
Pentru unele profesii, cunoștințele sale sunt necesare, deoarece. vă permite să măsurați distanțe față de stelele din apropiere în astronomie, între repere din geografie, controlați sistemele de navigație prin satelit. Principiile trigonometriei sunt, de asemenea, utilizate în domenii precum teoria muzicii, acustica, optică, analiza pieței financiare, electronică, teoria probabilității, statistică, biologie, medicină (inclusiv ultrasunete și tomografie computerizată), farmaceutică, chimie, teoria numerelor (și, după cum urmează rezultat, criptografie), seismologie, meteorologie, oceanologie, cartografie, multe ramuri ale fizicii, topografie și geodezie, arhitectură, fonetică, economie, inginerie electronică, inginerie mecanică, grafică pe computer, cristalografie.

Definirea subiectului de cercetare

3. Obiectivele proiectului.

intrebare problematica
1. Ce concepte de trigonometrie sunt cele mai des folosite în viața reală?
2. Ce rol joacă trigonometria în astronomie, fizică, biologie și medicină?
3. Cum sunt conectate arhitectura, muzica și trigonometria?

Ipoteză

Testarea ipotezelor

Trigonometrie (din greaca.trigonon - triunghi,metroul - metru) -

Istoria trigonometriei:

Oamenii antici calculau înălțimea unui copac comparând lungimea umbrei acestuia cu lungimea umbrei unui stâlp a cărui înălțime era cunoscută. Stelele au calculat locația navei pe mare.

Următorul pas în dezvoltarea trigonometriei a fost făcut de indieni în perioada dintre secolele V-XII.

Termenul cosinus însuși a apărut mult mai târziu în lucrările oamenilor de știință europeni pentru prima dată la sfârșitul secolului al XVI-lea din așa-numitul „sinus complementar”, adică. sinusul unghiului care completează unghiul dat până la 90°. „Sine complement” sau (în latină) sinus complementi a început să fie prescurtat ca sinus co sau co-sinus.

În secolele XVII - XIX. trigonometria devine unul dintre capitolele analizei matematice.

Găsește o mare aplicație în mecanică, fizică și tehnologie, în special în studiul mișcărilor oscilatorii și al altor procese periodice.

Jean Fourier a demonstrat că orice mișcare periodică poate fi reprezentată (cu orice grad de precizie) ca o sumă de oscilații armonice simple.

în sistemul de analiză matematică.

Unde se folosește trigonometria?

Calculele trigonometrice sunt folosite în aproape toate domeniile vieții umane. De remarcat aplicarea în domenii precum: astronomie, fizică, natură, biologie, muzică, medicină și multe altele.

Trigonometrie în astronomie:

Realizările lui Vieta în trigonometrie
O soluție completă la problema determinării tuturor elementelor unui triunghi plat sau sferic din trei elemente date, expansiuni importante ale sin nx și cos nx în puterile cos x și sinx. Cunoașterea formulei pentru sinusurile și cosinusurile arcelor multiple ia permis lui Viet să rezolve ecuația de gradul 45 propusă de matematicianul A. Roomen; Viet a arătat că soluția acestei ecuații se reduce la împărțirea unghiului în 45 de părți egale și că există 23 de rădăcini pozitive ale acestei ecuații. Viet a rezolvat problema lui Apollonius cu o riglă și o busolă.
Rezolvarea triunghiurilor sferice este una dintre sarcinile astronomiei.Calculează laturile și unghiurile oricărui triunghi sferic din trei laturi sau unghiuri date corespunzător folosind următoarele teoreme: (teorema sinusului) (teorema cosinusului pentru unghiuri) (teorema cosinusului pentru laturi).

Trigonometrie în fizică:

În lumea din jurul nostru, avem de a face cu procese periodice care se repetă la intervale regulate. Aceste procese sunt numite oscilatorii. Fenomene oscilatorii de diverse natura fizica respectă legile generale și sunt descrise prin aceleași ecuații. Sunt diferite tipuri de fenomene oscilatorii.

oscilație armonică- fenomenul unei modificări periodice a unei mărimi, în care dependenţa de argument are caracterul unei funcţii sinus sau cosinus. De exemplu, o cantitate care variază în timp, după cum urmează, fluctuează armonic:

Generalizat oscilație armonicăîn formă diferenţială x'' + ω²x = 0.

Vibrații mecanice . Vibrații mecanice numite mişcări ale corpurilor care se repetă exact la aceleaşi intervale de timp. Imagine grafică Această funcție oferă o reprezentare vizuală a cursului procesului oscilator în timp. Exemple de sisteme oscilatorii mecanice simple sunt o greutate pe un arc sau un pendul matematic.

Trigonometrie în natură.

Adesea punem o întrebare De ce vedem uneori lucruri care nu sunt cu adevărat acolo?. Următoarele întrebări sunt propuse spre cercetare: „Cum apare un curcubeu? Northern Lights?”, „Ce este iluzii optice? „Cum poate ajuta trigonometria să răspundă la aceste întrebări?”.

Teoria curcubeului a fost dată pentru prima dată în 1637 de René Descartes. El a explicat curcubeul ca fiind un fenomen asociat cu reflexia și refracția luminii în picăturile de ploaie.

Aurora Borealis Pătrunderea particulelor încărcate ale vântului solar în atmosfera superioară a planetelor este determinată de interacțiunea câmpului magnetic al planetei cu vântul solar.

Forța care acționează asupra unei particule încărcate care se mișcă într-un câmp magnetic se numește forță Lorentz. Este proporțională cu sarcina particulei și produsul vectorial al câmpului și viteza particulei.

Oamenii de știință americani susțin că creierul estimează distanța până la obiecte prin măsurarea unghiului dintre planul solului și planul vizual.

În plus, biologia folosește un astfel de concept precum sinusul carotidian, sinusul carotidian și sinusul venos sau cavernos.

Trigonometria joacă un rol important în medicină. Cu ajutorul ei, oamenii de știință iranieni au descoperit formula inimii - o egalitate algebrică-trigonometrică complexă, constând din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie.

Unul dintre proprietăți fundamentale natura vie este ciclicitatea majorității proceselor care au loc în ea.

Ritmuri biologice, bioritmuri

Ritmul de bază al pământului- zilnic.

Modelul bioritmurilor poate fi construit folosind funcții trigonometrice.

Trigonometrie în biologie

Ce procese biologice sunt asociate cu trigonometria?

Ritmuri biologice, bioritmuri asociate cu trigonometria

Un model de bioritmuri poate fi construit folosind grafice ale funcțiilor trigonometrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți data nașterii persoanei (zi, lună, an) și durata prognozei

Mișcarea peștilor în apă are loc conform legii sinusului sau cosinusului, dacă fixați un punct pe coadă și apoi luați în considerare traiectoria mișcării.

Apariția armoniei muzicale

Potrivit legendelor care au venit din antichitate, primii care au încercat să facă acest lucru au fost Pitagora și studenții săi.

Frecvențele corespunzătoare aceleiași note în prima, a doua etc. octavele sunt legate ca 1:2:4:8...

scara diatonica 2:3:5

Trigonometria în arhitectură

Școala de copii Gaudí din Barcelona

Swiss Re Insurance Corporation din Londra

Restaurantul Felix Candela din Los Manantiales

Interpretare

Am dat doar o mică parte din locurile unde pot fi găsite funcțiile trigonometrice .. Am aflat că trigonometria a fost adusă la viață de nevoia de a măsura unghiurile, dar în timp s-a dezvoltat în știința funcțiilor trigonometrice.

Credem că trigonometria se reflectă în viețile noastre și în sfere

în care joacă un rol important se va extinde.

Aflat că trigonometria a fost adusă la viață de nevoia de a măsura unghiurile, dar în timp s-a dezvoltat în știința funcțiilor trigonometrice.

Demonstrat că trigonometria este strâns legată de fizică, întâlnită în natură, muzică, astronomie și medicină.

Noi gândim că trigonometria se reflectă în viețile noastre, iar domeniile în care joacă un rol important se vor extinde.

7. Literatură.

Program Maple6 care implementează imaginea graficelor

„Wikipedia”

Studiu.ru

„Biblioteca” Math.ru

Vizualizați conținutul prezentării
„Danilova T.V.”

" Trigonometria în lumea din jurul nostru și viața umană "

Obiectivele cercetării:

Legătura trigonometriei cu viața reală.

intrebare problematica 1. Ce concepte de trigonometrie sunt cele mai des folosite în viața reală? 2. Ce rol joacă trigonometria în astronomie, fizică, biologie și medicină? 3. Cum sunt legate arhitectura, muzica și trigonometria?

Ipoteză

Cele mai multe dintre fenomenele fizice ale naturii, procesele fiziologice, modelele din muzică și artă pot fi descrise folosind trigonometrie și funcții trigonometrice.

Ce este trigonometria???

Trigonometrie (din greaca trigonon - triunghi, metrou - metru) - o microsecțiune de matematică care studiază relația dintre unghiuri și lungimile laturilor triunghiurilor, precum și identitățile algebrice ale funcțiilor trigonometrice.

Istoria trigonometriei

Originile trigonometriei se întorc în Egiptul antic, Babilonia și Valea Indusului cu peste 3.000 de ani în urmă.

Cuvântul trigonometrie apare pentru prima dată în 1505 în titlul unei cărți a matematicianului german Pitiscus.

Pentru prima dată, metodele de rezolvare a triunghiurilor bazate pe dependențele dintre laturile și unghiurile unui triunghi au fost găsite de astronomii greci antici Hiparh și Ptolemeu.

Oamenii antici calculau înălțimea unui copac comparând lungimea umbrei acestuia cu lungimea umbrei unui stâlp a cărui înălțime era cunoscută.

Stelele au calculat locația navei pe mare.

Următorul pas în dezvoltarea trigonometriei a fost făcut de indieni în perioada dintre secolele V-XII.

ÎN diferenta fata de greci eytsy a început să ia în considerare și să folosească în calcule nu întregul acord MM  unghiul central corespunzător, dar numai jumătatea lui MP, adică sinusul  jumătate din colţul central.

Termenul cosinus în sine a apărut mult mai târziu în lucrările oamenilor de știință europeni pentru prima dată la sfârșitul secolului al XVI-lea din așa-numitul « supliment sinus » , adică sinusul unghiului care completează unghiul dat la 90  . « Adăugarea sinusurilor » sau (în latină) sinus complementi a devenit abreviat ca sinus co sau co-sinus.

Odată cu sinusul, indienii s-au introdus în trigonometrie cosinus , mai exact, au început să folosească linia cosinus în calculele lor. Ei cunoșteau și rapoartele cos  =păcat(90  -  ) și păcatul 2  + cos 2  =r 2 , precum și formule pentru sinusul sumei și diferenței a două unghiuri.

În secolele XVII - XIX. trigonometria devine

unul dintre capitolele analizei matematice.

Găsește o mare aplicație în mecanică,

fizică și tehnologie, mai ales când studiezi

mișcări oscilatorii și altele

procese periodice.

Viet cunoștea proprietățile periodicității funcțiilor trigonometrice, ale căror primele studii matematice erau legate de trigonometrie.

S-a dovedit că fiecare periodică

mișcarea poate fi

prezentat (cu orice grad

precizie) ca o sumă de simple

vibratii armonice.

Fondator analitic

teorii

trigonometric funcții .

Leonard Euler

În „Introducere în analiza infinitului” (1748)

tratează sinus, cosinus etc. nu ca

linii trigonometrice, necesare

legat de cerc, dar cum

funcţii trigonometrice, care

privită ca o relație

triunghi dreptunghic ca numeric

cantități.

Exclus din formulele mele

R este un sinus întreg, luând

R = 1 și simplificat astfel

mod de a scrie și de a calcula.

Elaborează o doctrină

despre funcțiile trigonometrice

orice argument.

În secolul al XIX-lea a continuat

dezvoltarea teoriei

trigonometric

funcții.

N.I. Lobaciovski

„Considerațiile geometrice”, scrie Lobachevsky, „sunt necesare până la începutul trigonometriei, până când servesc la descoperirea unei proprietăți distincte a funcțiilor trigonometrice... Prin urmare, trigonometria devine complet independentă de geometrie și are toate avantajele analizei.”

Etapele dezvoltării trigonometriei:

Trigonometria a fost adusă la viață de nevoia de a măsura unghiurile.

Primii pași în trigonometrie au fost stabilirea relațiilor între mărimea unghiului și raportul segmentelor de linie special construite. Rezultatul este capacitatea de a rezolva triunghiuri plate.

Necesitatea de a tabula valorile funcțiilor trigonometrice introduse.

Funcțiile trigonometrice transformate în obiecte independente de cercetare.

În secolul al XVIII-lea. funcțiile trigonometrice au fost activate

în sistemul de analiză matematică.

Unde se folosește trigonometria?

Trigonometrie în astronomie

Trigonometria a atins, de asemenea, cote considerabile printre astronomii medievali indieni.

Principala realizare a astronomilor indieni a fost înlocuirea acordurilor

sinusuri, care au făcut posibilă intrarea diverse funcții legate de

cu laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic.

Astfel, în India s-a pus începutul trigonometriei.

ca doctrina mărimilor trigonometrice.

Tabelele de poziții ale Soarelui și Lunii întocmite de Hiparh au făcut posibilă prezicerea momentelor declanșării eclipselor (cu o eroare de 1-2 ore). Hipparchus a fost primul care a folosit metodele trigonometriei sferice în astronomie. El a îmbunătățit acuratețea observațiilor folosind fire în instrumentele goniometrice - sextante și cadrane - pentru a îndrepta steaua spre stea. Omul de știință a întocmit un catalog al pozițiilor a 850 de stele, uriașe la acea vreme, împărțindu-le după luminozitate în 6 grade (magnitudini). Hipparchus a introdus coordonatele geografice - latitudine și longitudine și poate fi considerat fondatorul geografiei matematice. (c. 190 î.Hr. - c. 120 î.Hr.)

Hipparchus

Trigonometrie în fizică

În lumea din jurul nostru, avem de a face cu procese periodice care se repetă la intervale regulate. Aceste procese sunt numite oscilatorii. Fenomenele oscilatorii de natură fizică diferită se supun unor legi comune și sunt descrise prin aceleași ecuații. Sunt diferite tipuri de fenomene oscilatorii, de exemplu:

Vibrații mecanice

Vibrații armonice

Vibrații armonice

oscilație armonică - fenomenul unei modificări periodice a unei mărimi, în care dependenţa de argument are caracterul unei funcţii sinus sau cosinus. De exemplu, o cantitate care variază în timp, după cum urmează, fluctuează armonic:

sau

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala x'' + ω²x = 0.

Vibrații mecanice

Vibrații mecanice numite mişcări ale corpurilor care se repetă exact la aceleaşi intervale de timp. Reprezentarea grafică a acestei funcții oferă o reprezentare vizuală a cursului procesului oscilator în timp.

Exemple de sisteme oscilatorii mecanice simple sunt o greutate pe un arc sau un pendul matematic.

Pendul matematic

Figura prezintă oscilațiile unui pendul, acesta se mișcă de-a lungul unei curbe numită cosinus.

Traiectoria glonțului și proiecțiile vectoriale pe axele X și Y

Din figură se poate observa că proiecțiile vectorilor pe axele X și respectiv Y sunt egale cu

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Trigonometrie în natură

Adesea punem o întrebare De ce vedem uneori lucruri care nu sunt cu adevărat acolo?. Următoarele întrebări sunt propuse spre cercetare: „Cum apare un curcubeu? Northern Lights?”, „Ce sunt iluziile optice?” „Cum poate ajuta trigonometria să răspundă la aceste întrebări?”.

iluzii optice

natural

artificial

amestecat

teoria curcubeului

Un curcubeu se formează datorită faptului că lumina soarelui este refractată de picăturile de apă suspendate în aer de-a lungul legea refractiei:

Teoria curcubeului a fost dată pentru prima dată în 1637 de René Descartes. El a explicat curcubeul ca fiind un fenomen asociat cu reflexia și refracția luminii în picăturile de ploaie.

păcat α / păcat β =n 1 /n 2

unde n 1 \u003d 1, n 2 ≈1,33 sunt indicii de refracție ai aerului și, respectiv, apei, α este unghiul de incidență, iar β este unghiul de refracție a luminii.

Auroră boreală

Pătrunderea particulelor încărcate ale vântului solar în atmosfera superioară a planetelor este determinată de interacțiunea câmpului magnetic al planetei cu vântul solar.

Oamenii de știință americani susțin că creierul estimează distanța până la obiecte prin măsurarea unghiului dintre planul solului și planul vizual.

În plus, biologia folosește un astfel de concept precum sinusul carotidian, sinusul carotidian și sinusul venos sau cavernos.

Trigonometria joacă un rol important în medicină. Cu ajutorul ei, oamenii de știință iranieni au descoperit formula inimii - o egalitate algebrică-trigonometrică complexă, constând din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie.

Unul dintre proprietăți fundamentale natura vie este ciclicitatea majorității proceselor care au loc în ea.

Ritmuri biologice, bioritmuri sunt modificări mai mult sau mai puțin regulate ale naturii și intensității proceselor biologice.

Ritmul de bază al pământului- zilnic.

Modelul bioritmurilor poate fi construit folosind funcții trigonometrice.

Trigonometrie în biologie

Ce procese biologice sunt asociate cu trigonometria?

Trigonometria joacă un rol important în medicină. Cu ajutorul ei, oamenii de știință iranieni au descoperit formula inimii - o egalitate algebrică-trigonometrică complexă, constând din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie.
Ritmurile biologice, bioritmurile sunt asociate cu trigonometria.

Un model de bioritmuri poate fi construit folosind grafice ale funcțiilor trigonometrice.

Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți data nașterii persoanei (ziua, luna, anul) și durata prognozei.

Trigonometrie în biologie

Mișcarea peștilor în apă are loc conform legii sinusului sau cosinusului, dacă fixați un punct pe coadă și apoi luați în considerare traiectoria mișcării.

Când înot, corpul peștelui ia forma unei curbe care seamănă cu graficul funcției y=tgx.

Apariția armoniei muzicale

Potrivit legendelor care au venit din antichitate, primii care au încercat să facă acest lucru au fost Pitagora și studenții săi.

Frecvențele corespunzătoare

aceeași notă în prima, a doua etc. octavele sunt legate ca 1:2:4:8...

scara diatonica 2:3:5

Muzica are propria ei geometrie

Tetraedru de diferite tipuri de acorduri a patru sunete:

albastru - intervale mici;

tonuri mai calde - sunete de acord mai „descărcate”; sfera roșie este cel mai armonios acord cu intervale egale între note.

cos 2 C + sin 2 C = 1

AC- distanța de la vârful statuii până la ochii unei persoane,

UN- înălțimea statuii,

păcatul C este sinusul unghiului de incidență.

Trigonometria în arhitectură

Școala de copii Gaudí din Barcelona

Swiss Re Insurance Corporation în Londra

y = f(λ)cos θ

z = f(λ)sin θ

Felix Candela Restaurant în Los Manantiales

Aflat că trigonometria a fost adusă la viață de nevoia de a măsura unghiurile, dar în timp s-a dezvoltat în știința funcțiilor trigonometrice.

Demonstrat că trigonometria este strâns legată de fizică, întâlnită în natură, muzică, astronomie și medicină.

Noi gândim că trigonometria se reflectă în viețile noastre, iar domeniile în care joacă un rol important se vor extinde.

Trigonometria a parcurs un drum lung în dezvoltare. Și acum, putem spune cu încredere că trigonometria nu depinde de alte științe, iar alte științe depind de trigonometrie.

Maslova T.N. „Manualul de matematică al elevului”
Program Maple6 care implementează imaginea graficelor
„Wikipedia”
Studiu.ru
„Biblioteca” Math.ru
Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri la începutul XIX secol în 3 volume// ed. A.P. Iuşkevici. Moscova, 1970 - volumul 1-3 E. T. Bell Creatori de matematică.
Predecesorii matematicii moderne// ed. S. N. Niro. Moscova, 1983 A. N. Tihonov, D. P. Kostomarov.
Povești despre matematică aplicată//Moscova, 1979. A. V. Voloşinov. Matematică și artă // Moscova, 1992. Ziarul de matematică. Supliment la ziarul din 1.09.98.

Instituție de învățământ bugetar municipal

in medie şcoală cuprinzătoare №10

cu studiul aprofundat al subiectelor individuale

Proiectul a fost finalizat de:

Pavlov Roman

elev de clasa 10b

supraveghetor:

profesor de matematică

Boldyreva N. A

Yelets, 2012

1. Introducere.

3. Lumea trigonometriei.

· Trigonometrie în fizică.

· Trigonometrie în planimetrie.

· Trigonometrie în artă și arhitectură.

· Trigonometrie în medicină și biologie.

3.2 Reprezentări grafice ale transformării funcțiilor trigonometrice „putin interesante” în curbe originale (folosind program de calculator„Funcții și grafice”).

· Curbe în coordonate polare (rozete).

· Curbe în coordonate carteziene (curbe Lissajous).

· Ornamente matematice.

4. Concluzie.

5. Lista referințelor.

Obiectivul proiectului - dezvoltarea interesului pentru studiul temei „Trigonometrie” în cursul algebrei și începerea analizei prin prisma valorii aplicate a materialului studiat; extinderea reprezentărilor grafice care conțin funcții trigonometrice; aplicarea trigonometriei în științe precum fizica, biologia. Joacă un rol important în medicină și, cel mai interesant, nici muzica și arhitectura nu s-ar putea descurca fără el.

Obiect de studiu - trigonometrie

Subiect de studiu - orientarea aplicată a trigonometriei; grafice ale unor funcții, folosind formule trigonometrice.

Obiectivele cercetării:

1. Luați în considerare istoria apariției și dezvoltării trigonometriei.

2. Arătați aplicații practice ale trigonometriei în diverse științe cu exemple concrete.

3.Explicați pe exemple concrete posibilitățile de utilizare a funcțiilor trigonometrice, care permit transformarea funcțiilor „putin interesante” în funcții ale căror grafice au un aspect foarte original.

Ipoteza – ipoteze: Legătura trigonometriei cu lumea exterioară, importanța trigonometriei în rezolvarea multor probleme practice, capacitățile grafice ale funcțiilor trigonometrice fac posibilă „materializarea” cunoștințelor școlarilor. Acest lucru vă permite să înțelegeți mai bine nevoia vitală de cunoștințe dobândite în studiul trigonometriei, crește interesul pentru studiul acestui subiect.

Metode de cercetare - analiza literaturii matematice pe tema; selectarea sarcinilor specifice cu caracter aplicativ pe această temă; modelare pe calculator bazat pe un program de calculator. matematică deschisă„Funcții și grafice” (Physicon).

1. Introducere

„Un lucru rămâne clar că lumea este aranjată

groaznic și minunat.”

N. Rubtsov

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază relația dintre unghiurile și lungimile laturilor triunghiurilor, precum și identitățile algebrice ale funcțiilor trigonometrice. Este greu de imaginat, dar această știință o întâlnim nu numai la lecțiile de matematică, ci și în viața noastră de zi cu zi. Poate că nu știți acest lucru, dar trigonometria se găsește în științe precum fizica, biologia, joacă un rol important în medicină și, cel mai interesant, nici muzica și arhitectura nu s-ar putea descurca fără ea. Problemele cu conținut practic joacă un rol semnificativ în dezvoltarea abilităților de a aplica în practică cunoștințele teoretice dobândite în studiul matematicii. Fiecare student la matematică este interesat de cum și unde sunt aplicate cunoștințele dobândite. Această lucrare oferă un răspuns la această întrebare.

2.Istoria dezvoltării trigonometriei.

Cuvânt trigonometrie a fost compus din două cuvinte grecești: τρίγονον (trigonon-triunghi) și și μετρειν (metru - a măsura) în traducere literală înseamnă măsurarea triunghiului.

Aceasta este sarcina - măsurarea triunghiurilor sau, după cum se spune acum, soluția triunghiurilor, adică determinarea tuturor laturilor și unghiurilor unui triunghi în funcție de cele trei elemente cunoscute ale sale (o latură și două unghiuri, două laturi și o unghi sau trei laturi) - din cele mai vechi timpuri a stat la baza aplicațiilor practice ale trigonometriei.

Ca orice altă știință, trigonometria a crescut din practica umană, în procesul de rezolvare a unor probleme practice specifice. Primele etape ale dezvoltării trigonometriei sunt strâns legate de dezvoltarea astronomiei. O mare influență asupra dezvoltării astronomiei și trigonometriei, strâns legate de aceasta, a fost exercitată de nevoile de dezvoltare a navigației, care necesita capacitatea de a determina corect cursul unei nave în marea liberă prin poziția corpurilor cerești. Un rol semnificativ în dezvoltarea trigonometriei l-a jucat nevoia de a compila harti geograficeși nevoia strâns legată definiție corectă distanțe mari pe suprafața pământului.

Lucrările astronomului grec antic au avut o importanță fundamentală pentru dezvoltarea trigonometriei în epoca înființării acesteia. Hipparchus(mijlocul secolului al II-lea î.Hr.). Trigonometria ca știință, în sensul modern al cuvântului, a lipsit nu numai din Hiparh, ci și din alți oameni de știință ai antichității, deoarece ei încă nu aveau idee despre funcțiile unghiurilor și nici măcar nu au pus problema relației dintre unghiurile și laturile unui triunghi într-o formă generală. Dar, în esență, folosind mijloacele de geometrie elementară cunoscute de ei, au rezolvat problemele cu care se ocupă trigonometria. În același timp, principalul mijloc de obținere rezultatele dorite a existat o capacitate de a calcula lungimile coardelor circulare pe baza relațiilor cunoscute dintre laturile unui trei, patru, cinci și decagon obișnuit și raza cercului circumscris.

Hipparchus a alcătuit primele tabele de acorduri, adică tabele care exprimă lungimea coardei pentru diferite unghiuri centrale într-un cerc cu rază constantă. Acestea erau, în esență, tabele de sinusuri duble cu jumătate de unghi central. Cu toate acestea, tabelele originale ale lui Hipparh (ca aproape tot ce a scris el) nu au ajuns la noi și ne putem forma o idee despre ele în principal din compoziția „Marea construcție” sau (în traducerea arabă) „Almagest”. ” de celebrul astronom Claudius Ptolemeu care a trăit la mijlocul secolului al II-lea d.Hr. e.

Ptolemeu a împărțit circumferința în 360 de grade și diametrul în 120 de părți. El a considerat că raza este de 60 de părți (60¢). El a împărțit fiecare dintre părți în 60 ¢, fiecare minut în 60 ¢, fiecare secundă în 60 de treimi (60 ¢ ¢), etc., folosind diviziunea indicată, Ptolemeu a exprimat latura unui hexagon inscripționat regulat sau a unei coarde scăzând un arc de 60 ° sub forma a 60 de părți ale unei raze (60h) și a echivalat latura unui pătrat înscris sau a unei coarde de 90 ° cu numărul 84h51¢10². , egal cu diametrul unui cerc, el a scris pe baza teoremei lui Pitagora: (cord a) 2 + (cord | 180-a |) 2 \u003d (diametru) 2, care corespunde formulei moderne sin2a + cos2a \u003d 1.

Almagestul conține un tabel de acorduri la jumătate de grad de la 0° la 180°, care din punctul nostru de vedere modern reprezintă un tabel de sinusuri pentru unghiuri de la 0° la 90° la fiecare sfert de grad.

Baza tuturor calculelor trigonometrice în rândul grecilor a fost teorema lui Ptolemeu cunoscută de Hiparh: „un dreptunghi construit pe diagonalele unui patrulater înscris într-un cerc este egal cu suma dreptunghiurilor construite pe laturile opuse” (adică produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor opuse). Folosind această teoremă, grecii au putut (cu ajutorul teoremei lui Pitagora) să calculeze coarda sumei (sau coarda diferenței) acestor unghiuri sau coarda jumătății unui unghi dat din coardele a două unghiuri. , adică au putut să obțină rezultatele pe care le obținem acum folosind formulele pentru sinusul sumei (sau diferenței) a două unghiuri sau jumătate de unghi.

Noi pași în dezvoltarea trigonometriei sunt asociați cu dezvoltarea culturii matematice a popoarelor India, Asia Centralași Europa (V-XII).

Un important pas înainte în perioada dintre secolul al V-lea până în secolul al XII-lea l-au făcut hindușii, care, spre deosebire de greci, au început să ia în considerare și să folosească în calcule nu întregul acord MM¢ (vezi desenul) unghiului central corespunzător, ci doar jumătatea lui MP, adică ceea ce numim acum linia sinusului jumătății unghiului central.

Odată cu sinusul, indienii au introdus cosinusul în trigonometrie, mai exact, au început să folosească linia cosinusului în calculele lor. (Termenul cosinus în sine a apărut mult mai târziu în lucrările oamenilor de știință europeni pentru prima dată la sfârșitul secolului al XVI-lea de la așa-numitul „sinus de complement”, adică sinusul unghiului care completează un unghi dat până la 90 °. „Sinusul complementului” sau (în latină) sinus complementi a început să fie prescurtat ca sinus co sau co-sinus).

Ei cunoșteau și raporturile cosa=sin(90°-a) și sin2a+cos2a=r2 , precum și formulele pentru sinusul sumei și diferenței a două unghiuri.

Următoarea etapă în dezvoltarea trigonometriei este asociată cu țările

Asia Centrală, Orientul Mijlociu, Transcaucazia(VII-secolul 15)

Dezvoltându-se în strânsă legătură cu astronomia și geografia, matematica din Asia Centrală avea un „caracter computațional” pronunțat și avea ca scop rezolvarea problemelor aplicate de măsurare a geometriei și trigonometriei, iar trigonometria s-a transformat într-o disciplină matematică specială în mare măsură tocmai în lucrările de Oameni de știință din Asia Centrală. Printre cele mai importante succese pe care le-au realizat, în primul rând, trebuie să remarcăm introducerea tuturor celor șase drepte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secante și cosecante, dintre care doar primele două erau cunoscute de greci și hinduși.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj a unui stâlp de o anumită lungime (a=12) pentru j= 1°,2°,3°……

Abu-l-Wafa din Khorasan, care a trăit în secolul al X-lea (940-998), a alcătuit un „tabel de tangente” similar, adică a calculat lungimea umbrei b=a×=a×tgj aruncată de un stâlp orizontal de o anumită lungime (a =60) pe un perete vertical (vezi desen).

Trebuie remarcat faptul că termenii „tangent” (în traducere literală - „atingere”) și „cotangent” provin din latinși a apărut în Europa mult mai târziu (secolele XVI-XVII). Oamenii de știință din Asia Centrală au numit liniile corespunzătoare „umbre”: cotangentă - „prima umbră”, tangentă - „a doua umbră”.

Abu-l-Wafa a dat o definiție geometrică absolut precisă a dreptei tangente într-un cerc trigonometric și a adăugat liniile secantei și cosecantei la liniile tangentei și cotangentei. De asemenea, a exprimat (verbal) relații algebrice între toate funcțiile trigonometrice și, în special, pentru cazul în care raza unui cerc este egală cu unu. Acest caz extrem de important a fost luat în considerare de oamenii de știință europeni 300 de ani mai târziu. În cele din urmă, Abu-l-Wafa a întocmit un tabel de sinusuri la fiecare 10 ¢.

În lucrările oamenilor de știință din Asia Centrală, trigonometria s-a transformat dintr-o știință care servește astronomiei într-o disciplină matematică specială de interes independent.

Trigonometria se separă de astronomie și devine stiinta independenta. Această ramură este de obicei asociată cu numele matematicianului azer Nasiraddin Tusi ().

Pentru prima dată în știința europeană, o prezentare armonioasă a trigonometriei este dată în cartea „On Triangles of Different Kinds”, scrisă de Johann Müller, mai cunoscut în matematică ca Regiomontana(). Generalizează în el metode de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare și oferă tabele de sinusuri cu o precizie de 0,0000001. În același timp, este remarcabil că a presupus că raza cercului este egală, adică a exprimat valorile funcțiilor trigonometrice în fracții zecimale, trecând de fapt de la sistemul numeric sexagesimal la zecimal.

Savant englez din secolul al XIV-lea Bradwardine() a fost primul din Europa care a introdus o cotangentă numită „umbră directă” și o tangentă numită „umbră inversă” în calculele trigonometrice.

În pragul secolului al XVII-lea. În dezvoltarea trigonometriei, se conturează o nouă direcție - analitică. Dacă înainte de aceasta scopul principal al trigonometriei era considerat a fi soluția triunghiurilor, calculul elementelor formelor geometrice și doctrina funcțiilor trigonometrice s-a bazat pe baza geometrica, apoi în secolele XVII-XIX. trigonometria devine treptat unul dintre capitolele analizei matematice. Știam și despre proprietățile periodicității funcțiilor trigonometrice viet, ale căror primele studii matematice au fost legate de trigonometrie.

matematician elvețian Johann Bernoulli () au folosit deja simbolurile funcţiilor trigonometrice.

În prima jumătate a secolului al XIX-lea. om de știință francez J. Fourier a demonstrat că orice mișcare periodică poate fi reprezentată ca o sumă de oscilații armonice simple.

De mare importanță în istoria trigonometriei a fost lucrarea celebrului academician din Petersburg Leonhard Euler(), a dat tuturor trigonometriei un aspect modern.

În lucrarea sa „Introducere în analiză” (1748), Euler a dezvoltat trigonometria ca știință a funcțiilor trigonometrice, i-a oferit o prezentare analitică, derivând întregul set de formule trigonometrice din câteva formule de bază.

Euler deține soluția finală a întrebării semnelor funcțiilor trigonometrice în toate sferturile de cerc, derivarea formulelor de reducere pentru cazuri generale.

După ce au introdus noi funcții în matematică - cele trigonometrice, a devenit oportun să se ridice problema extinderii acestor funcții într-o serie infinită. Se pare că astfel de extinderi sunt posibile:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Aceste serii fac mult mai ușoară compilarea tabelelor cu mărimi trigonometrice și găsirea lor cu orice grad de precizie.

Construcția analitică a teoriei funcțiilor trigonometrice, începută de Euler, a fost finalizată în lucrări. , Gauss, Cauchy, Fourier și alții.

În zilele noastre, trigonometria nu mai este considerată o ramură independentă a matematicii. Partea sa cea mai importantă, doctrina funcțiilor trigonometrice, face parte dintr-o doctrină mai generală a funcțiilor studiată în analiza matematică, construită dintr-un punct de vedere unitar; cealaltă parte - soluția triunghiurilor - este considerată drept cap al geometriei.

3. Lumea trigonometriei.

3.1 Aplicarea trigonometriei în diverse științe.

Calculele trigonometrice sunt folosite în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei.

De mare importanță este tehnica triangulației, care face posibilă măsurarea distanțelor față de stelele din apropiere în astronomie, între repere în geografie și controlul sistemelor de navigație prin satelit. De remarcat utilizarea trigonometriei în următoarele domenii: tehnologia navigației, teoria muzicii, acustică, optică, analiza pieței financiare, electronică, teoria probabilității, statistică, biologie, medicină (inclusiv ultrasunete), tomografie computerizată, farmaceutică, chimie, număr. teorie, seismologie, meteorologie, oceanologie, cartografie, multe ramuri ale fizicii, topografie, geodezie, arhitectură, fonetică, economie, inginerie electronică, inginerie mecanică, grafică pe computer, cristalografie.

Trigonometrie în fizică.

Vibrații armonice.

Când un punct se mișcă în linie dreaptă alternativ într-o direcție sau în alta, atunci ei spun că punctul face fluctuatii.

Unul dintre cele mai simple tipuri de oscilații este mișcarea de-a lungul axei de proiecție a punctului M, care se rotește uniform în jurul circumferinței. Legea acestor oscilații are forma x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

De obicei, în loc de această frecvență, se ia în considerare frecventa ciclicaw=, indicând viteza unghiulară de rotație, exprimată în radiani pe secundă. În aceste notații avem: x=Rcos(wt+A). (2)

Număr A numit faza iniţială a oscilaţiei.

Studiul oscilațiilor de orice fel este important deja pentru simplul fapt că întâlnim foarte des mișcări oscilatorii sau unde în lumea din jurul nostru și le folosim cu mare succes (unde sonore, unde electromagnetice).

Vibrații mecanice.

Oscilațiile mecanice sunt mișcările corpurilor care se repetă exact (sau aproximativ) la intervale regulate. Exemple de sisteme oscilatorii simple sunt o greutate pe un arc sau un pendul. Luați, de exemplu, o greutate suspendată pe un arc (vezi fig.) și împingeți-o în jos. Kettlebell-ul va începe să oscileze în sus și în jos..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "left" width="202 height=146" height="146"> Graficul de balansare (2) se obține din graficul de balansare (1) prin deplasarea la stânga

pe . Numărul a se numește faza inițială.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), unde l este lungimea pendulului, iar j0 este unghiul inițial de deviere. Cu cât pendulul este mai lung, cu atât se balansează mai lent (Acest lucru se vede clar în Fig. 1-7 apendicele VIII). Figura 8-16, Anexa VIII arată clar cum o modificare a abaterii inițiale afectează amplitudinea oscilațiilor pendulului, în timp ce perioada nu se modifică. Măsurând perioada de oscilație a unui pendul de lungime cunoscută, se poate calcula accelerația gravitației terestre g în diferite puncte de pe suprafața pământului.

Descărcarea condensatorului.

Nu numai multe vibrații mecanice apar după o lege sinusoidală. Și oscilațiile sinusoidale apar în circuitele electrice. Deci, în circuitul descris în dreapta colțul de sus modele, sarcina de pe plăcile condensatorului variază conform legii q \u003d CU + (q0 - CU) cos ωt, unde C este capacitatea condensatorului, U este tensiunea la sursa de curent, L este inductanța bobină, https://pandia.ru/text/78 /114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=">Mulțumită modelului de condensator disponibil în Funcții și Programul de grafice, puteți seta parametrii circuitului oscilator și puteți construi grafice corespunzătoare g (t) și I (t). Graficele 1-4 arată clar modul în care tensiunea afectează modificarea puterii curentului și a încărcăturii condensatorului, în timp ce acesta este clar că cu o tensiune pozitivă, sarcina ia și valori pozitive.Figura 5-8 din Anexa IX arată că atunci când capacitatea condensatorului se modifică (când se modifică inductanța bobinei în Fig. 9-14 din Anexa IX) iar parametrii rămași rămân neschimbați, se modifică perioada de oscilație, adică se modifică frecvența oscilațiilor curentului în circuit și se modifică frecvența de încărcare a condensatorului .. (vezi. Anexa IX).

Cum se conectează două țevi.

Exemplele date pot da impresia că sinusoidele apar numai în legătură cu oscilații. Cu toate acestea, nu este. De exemplu, sinusoidele sunt utilizate atunci când se conectează două țevi cilindrice într-un unghi una față de cealaltă. Pentru a conecta două țevi în acest fel, trebuie să le tăiați oblic.

Dacă desfaceți o țeavă tăiată oblic, atunci aceasta va fi delimitată de sus de o sinusoidă. Acest lucru poate fi verificat împachetând lumânarea cu hârtie, tăind-o oblic și desfăcând hârtia. Prin urmare, pentru a obține o tăietură uniformă a țevii, puteți mai întâi să tăiați tabla de metal de sus de-a lungul sinusoidei și să o rulați într-o țeavă.

teoria curcubeului.

Teoria curcubeului a fost dată pentru prima dată 1637 de René Descartes. El a explicat curcubeul ca fiind un fenomen asociat cu reflexia și refracția luminii în picăturile de ploaie.

Un curcubeu apare datorită faptului că lumina soarelui este refractată în picături de apă suspendate în aer conform legii refracției:

unde n1=1, n2≈1,33 sunt, respectiv, indicii de refracție ai aerului și apei, α este unghiul de incidență și β este unghiul de refracție a luminii.

Auroră boreală

Pătrunderea particulelor încărcate ale vântului solar în atmosfera superioară a planetelor este determinată de interacțiunea câmpului magnetic al planetei cu vântul solar.

Forța care acționează asupra unei particule încărcate care se mișcă într-un câmp magnetic se numește forță Lorenz. Este proporțională cu sarcina particulei și produsul vectorial al câmpului și viteza particulei

Probleme de trigonometrie cu conținut practic.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Determinarea coeficientului de frecare.

Un corp cu greutatea P este plasat pe un plan înclinat cu un unghi de înclinare a. Corpul sub influența propriei greutăți a accelerat calea S în t secunde. Determinați coeficientul de frecare k.

Forța de presiune a corpului pe un plan înclinat =kPcosa.

Forța care trage corpul în jos este F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Dacă corpul se mișcă de-a lungul unui plan înclinat, atunci accelerația este a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ; deci 2)

Din egalitățile (1) și (2) rezultă că g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Trigonometrie în planimetrie.

Formule de bază pentru rezolvarea problemelor de geometrie folosind trigonometrie:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Raportul laturilor și unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic:

1) Categorul unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul celuilalt catet și tangentei unghiului opus.

2) catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre ipotenuza și sinusul unghiului inclus.

3) catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre ipotenuza și cosinusul unghiului inclus.

4) Categorul unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul celuilalt catet și cotangentea unghiului inclus.

Sarcina 1:Pe laturile AB si CD trapez isoscelABCD punctele M șiN în așa fel încât liniaMN este paralel cu bazele trapezului. Se știe că în fiecare dintre trapezele mici formateMBCN șiAMND este posibil să se înscrie un cerc, iar razele acestor cercuri sunt egaler șiR respectiv. Găsiți temeiuriAD șiî.Hr.

Dat: ABCD-trapez, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, în trapezele MBCN și AMND se poate înscrie un cerc cu raza r și respectiv R.

Găsi: AD și î.Hr.

Soluţie:

Fie O1 și O2 centrele cercurilor înscrise în trapeze mici. Direct O1K||CD.

În ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Deoarece ∆O2FD este dreptunghiular, atunci O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Deoarece AD=2DF=2R*ctg(α/2),

în mod similar BC = 2r*tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), apoi AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), găsim răspunsul.

Răspuns : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Sarcina 2:Într-un triunghi ABC petreceri cunoscute b, c și unghiul dintre mediană și înălțime care emană de la vârf A. Calculați aria unui triunghi ABC.

Dat: ∆ ABC, AD-înălțime, AE-mediană, DAE=α, AB=c, AC=b.

Găsi: S∆ABC.

Soluţie:

Fie CE=EB=x, AE=y, AED=γ. După legea cosinusurilor în ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); iar în ∆ACE, prin teorema cosinusului c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Scăzând egalitățile 2 din 1 obținem c²-b²=4xy*cosγ(3).

Deoarece S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), împărțind 3 egalitate la 4 obținem: (c²-b²)/S=4*ctgγ, dar ctgγ=tgαb, deci S∆ABC= ( c²- b²)/4*tgα.

Răspuns: (s²- b² )/4*tg α .

Trigonometrie în artă și arhitectură.

Arhitectura nu este singurul domeniu al științei în care se folosesc formule trigonometrice. Cele mai multe dintre deciziile compoziționale și construcția desenelor au avut loc tocmai cu ajutorul geometriei. Dar datele teoretice înseamnă puțin. Vreau să dau un exemplu de construcție a unei sculpturi de către maestrul francez al Epocii de Aur a Artei.

Relația proporțională în construcția statuii a fost perfectă. Cu toate acestea, când statuia a fost ridicată la un piedestal înalt, arăta urât. Sculptorul nu a ținut cont de faptul că multe detalii sunt reduse în perspectivă spre orizont, iar privite de jos în sus nu se mai creează impresia idealității sale. Au fost efectuate o mulțime de calcule, astfel încât cifra de la o înălțime mare să pară proporțională. Practic, s-au bazat pe metoda de ochire, adică pe o măsurare aproximativă, cu ochiul. Cu toate acestea, coeficientul de diferență a anumitor proporții a făcut posibilă apropierea figurii de ideal. Astfel, cunoscând distanța aproximativă de la statuie la punct de vedere, și anume de la vârful statuii până la ochii unei persoane și înălțimea statuii, putem calcula sinusul unghiului de incidență al privirii folosind tabel (putem face același lucru cu punctul de vedere inferior), găsind astfel viziunea punctuală (Fig. 1)

Situația se schimbă (Fig. 2), întrucât statuia este ridicată la înălțimea AC și crește HC, putem calcula cosinusul unghiului C, folosind tabelul găsim unghiul de incidență al privirii. În acest proces, puteți calcula AH, precum și sinusul unghiului C, ceea ce vă va permite să verificați rezultatele utilizând identitatea trigonometrică de bază cos 2a+păcatul 2a = 1.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Trigonometrie în medicină și biologie.

Modelul bioritmului

Modelul bioritmurilor poate fi construit folosind funcții trigonometrice. Pentru a construi un model de bioritmuri, trebuie să introduceți data nașterii unei persoane, data de referință (zi, lună, an) și durata prognozei (număr de zile).

Mișcarea peștilor în apă apare conform legii sinusului sau cosinusului, dacă fixați un punct pe coadă și apoi luați în considerare traiectoria mișcării. Când înot, corpul peștelui ia forma unei curbe care seamănă cu graficul funcției y=tgx.

Formula inimii

Ca urmare a unui studiu realizat de un student universitar iranian Shiraz Wahid-Reza Abbasi, pentru prima dată, medicii au reușit să eficientizeze informațiile legate de activitatea electrică a inimii sau, cu alte cuvinte, electrocardiografia.
Formula, numită Teheran, a fost prezentată comunității științifice generale la a 14-a Conferință de Medicină Geografică și apoi la a 28-a Conferință privind Aplicarea Tehnologiei Calculatoarelor în Cardiologie, desfășurată în Țările de Jos. Această formulă este o ecuație algebrică-trigonometrică complexă, formată din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie. Potrivit medicilor, această formulă facilitează foarte mult procesul de descriere a principalelor parametri ai activității inimii, accelerând astfel diagnosticul și începerea tratamentului propriu-zis.

Trigonometria ajută creierul nostru să determine distanțele până la obiecte.

Oamenii de știință americani susțin că creierul estimează distanța până la obiecte prin măsurarea unghiului dintre planul solului și planul vizual. Strict vorbind, ideea de „unghiuri de măsurare” nu este nouă. Mai mulți artiști China antică a atras obiectele îndepărtate mai sus în câmpul vizual, neglijând oarecum legile perspectivei. Alhazen, un om de știință arab din secolul al XI-lea, a formulat teoria determinării distanței prin estimarea unghiurilor. După o lungă uitare la mijlocul secolului trecut, ideea a fost reînviată de psihologul James Gibson, care și-a bazat concluziile pe baza experienței cu piloții. aviaţia militară. Cu toate acestea, după ce am vorbit despre teorie

uitat din nou.

3.2 Reprezentări grafice ale transformării funcțiilor trigonometrice „putin interesante” în curbe originale.

Curbe în coordonate polare.

Cu. 16is. 19 Prize.

În coordonatele polare, este selectat un singur segment e, polul O și axa polară Ox. Poziția oricărui punct M este determinată de raza polară OM și de unghiul polar j format de fasciculul OM și fasciculul Ox. Numărul r care exprimă lungimea OM în termeni de e(OM=re) și valoarea numerică a unghiului j, exprimată în grade sau în radiani, se numesc coordonatele polare ale punctului M.

Pentru orice alt punct decât O, putem presupune 0≤j<2p и r>0. Cu toate acestea, atunci când se construiesc curbe corespunzătoare ecuațiilor de forma r=f(j), este firesc să se atribuie orice valori variabilei j (inclusiv cele negative și cele care depășesc 2p), iar r se poate dovedi a fi atât pozitive cât și negative.

Pentru a găsi punctul (j, r), desenăm o rază din punctul O, formând un unghi j cu axa Ox, și trasăm pe ea (pentru r>0) sau pe continuarea ei în sens invers (pentru r>0) segmentul ½ r ½e.

Totul va fi foarte simplificat dacă construiți mai întâi o grilă de coordonate constând din cercuri concentrice cu raze e, 2e, 3e etc. (centrate la polul O) și raze pentru care j = 0 °, 10 °, 20 °, .. ,340°,350°; aceste raze vor fi potrivite și pentru j<0°, и при j>360°; de exemplu, la j=740° și la j=-340° vom lovi un fascicul pentru care j=20°.

Studiul acestor grafice ajută program de calculator Funcții și grafice. Folosind capacitățile acestui program, explorăm câteva grafice interesante ale funcțiilor trigonometrice.

1 .Se consideră curbele date de ecuațiile:r=a+păcat3j

I. r=sin3j (trifoiul ) (fig.1)

II. r=1/2+sin3j (Fig. 2), III. r=1+ sin3j (fig.3), r=3/2+ sin3j (fig.4) .

Curba IV are cea mai mică valoare r=0,5 iar petalele au aspect nefinisat. Astfel, când a > 1, petalele de trifoi au un aspect neterminat.

2. Luați în considerare curbelecând a=0; 1/2; 1;3/2

La a=0 (Fig. 1), la a=1/2 (Fig. 2), la a=1 (Fig. 3) petalele sunt finisate, la a=3/2 vor fi cinci petale nefinisate., (Fig. .4).

3. În general, curbar=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), deoarece în acest sector 0°≤≤180 °.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> o singură petală ar necesita un „sector” mai mare de 360°.

Figura 1-4 arată aspectul petalelor cu =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" height="41 src=">.

4. Ecuații găsite de un matematician naturalist german Habenicht Pentru forme geometrice găsite în lumea plantelor. De exemplu, ecuațiile r=4(1+cos3j) și r=4(1+cos3j)+4sin23j corespund curbelor prezentate în Figura 1.2.

Curbe în coordonate carteziene.

curbe Lissajous.

Multe curbe interesante pot fi construite și în coordonate carteziene. Deosebit de interesante sunt curbele ale căror ecuații sunt date sub formă parametrică:

Unde t este o variabilă auxiliară (parametru). De exemplu, luăm în considerare curbele Lissajous, caracterizate în cazul general prin ecuațiile:

Dacă luăm timpul ca parametru t, atunci cifrele Lissajous vor fi rezultatul adunării a două mișcări oscilatorii armonice efectuate în direcții reciproc perpendiculare. În cazul general, curba este situată în interiorul unui dreptunghi cu laturile 2a și 2c.

Să aruncăm o privire la următoarele exemple

I.x=sin3t; y=sin 5t (fig.1)

II. x=sin3t; y=cos 5t (fig.2)

III. x=sin3t; y=sin 4t.(Fig. 3)

Curbele pot fi închise sau deschise.

De exemplu, înlocuirea ecuațiilor I cu ecuații: x=sin 3t; y=sin5(t+3) transformă o curbă deschisă într-o curbă închisă (Fig. 4).

Interesante și deosebite sunt liniile corespunzătoare ecuațiilor de formă

la=arcsin(sin k(x-A)).

Din ecuația y=arcsin(sinx) rezultă:

1) și 2) siny=sinx.

În aceste două condiții, funcția y=x satisface. Reprezentând-o grafic în interval (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> vom avea y=p-x, deoarece sin( p-x )=sinx si in acest interval

. Aici graficul va fi reprezentat de segmentul BC.

Deoarece sinx este o funcție periodică cu o perioadă de 2p, linia întreruptă ABC construită în intervalul (,) se va repeta în alte secțiuni.

Ecuația y=arcsin(sinkx) va corespunde unei linii întrerupte cu o perioadă https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

satisface coordonatele punctelor care se află simultan deasupra sinusoidei (pentru ele, y>sinx) și sub curba y=-sinx, adică „domeniul soluțiilor” al sistemului va consta din zonele umbrite în Fig. .

2. Luați în considerare inegalitățile

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Pentru a rezolva această inegalitate, construim mai întâi grafice ale funcțiilor: y=sinx; y=-sinx.

Apoi pictăm peste zonele în care y>sinx și în același timp y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Această inegalitate va satisface zonele umbrite în Fig. 2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Să trecem la următoarea inegalitate:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Pentru a rezolva această inegalitate, construim mai întâi grafice de funcții: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Să facem un tabel cu posibile soluții.

1 multiplicator are un semn	2 multiplicator are un semn	3 multiplicator are un semn	4 multiplicator are un semn

Apoi luăm în considerare și pictăm soluțiile următoarelor sisteme.

)| și |y|>|sin(x-)|.

2) Al doilea multiplicator este mai mic decât zero, adică gif" width="17" height="41">)|.

3) Al treilea factor este mai mic decat zero, i.e. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| și |y|>|sin(x+Discipline academice" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">discipline academice, tehnologie, viața de zi cu zi.

Utilizarea programului de modelare „Funcții și grafice” a extins semnificativ posibilitățile de realizare a cercetării, a făcut posibilă materializarea cunoștințelor atunci când se iau în considerare aplicațiile trigonometriei în fizică. Datorită acestui program, s-au realizat studii de laborator pe computer ale oscilațiilor mecanice folosind exemplul oscilațiilor pendulului și au fost luate în considerare oscilațiile într-un circuit electric. Utilizarea unui program de calculator a făcut posibilă investigarea unor curbe matematice interesante definite folosind ecuații trigonometriceși trasarea în coordonate polare și carteziene. Soluția grafică a inegalităților trigonometrice a condus la luarea în considerare a ornamentelor matematice interesante.

5. Lista literaturii folosite.

1. ., Atanasov al problemelor matematice cu continut practic: Cartea. pentru profesor.-M.: Educaţie, p.

2. .Vilenkin în natură și tehnologie: Carte. pentru lectură extracurriculară celule IX-X - M .: Educație, 5s (World of Knowledge).

3. Jocuri de uz casnic și divertisment. Stat. ed. fizica si matematica aprins. M, 9str.

4. .Trigonometrie Kozhurov pentru școlile tehnice. Stat. ed. tehnico-teoretic lit. M., 1956

5. Cartea. Pentru lectura extracurriculara matematica in liceu. Stat. educativ-ped. ed. Min. Prosv. RF, M., p.

6. Trigonometrie Tarakanov. 10 celule ..-M .: Dropia, p.

7. Despre trigonometrie și nu numai despre ea: un ghid pentru elevii din clasele 9-11. -M .: Educație, 1996-80.

8. Probleme Shapiro cu conținut practic în predarea matematicii. Carte. pentru profesor.-M.: Educaţie, 1990-96s.

Un mesaj pe tema trigonometriei în medicină. Trigonometria în lumea din jurul nostru și viața umană

Pași

Aflați elementele de bază ale trigonometriei

Aplicarea trigonometriei

Studiați materialul din timp

Istoria creării trigonometriei

Primele secole

Grecia antică

Evul mediu

timp nou

secolul al 18-lea

Aplicarea trigonometriei

Vizualizați conținutul documentului „Danilova T.V.-scenariu”

Vizualizați conținutul prezentării „Danilova T.V.”

Vizualizați conținutul documentului
„Danilova T.V.-scenariu”

Vizualizați conținutul prezentării
„Danilova T.V.”