Tibbiyotda trigonometriya mavzusi bo'yicha xabar. Atrofimizdagi va inson hayotidagi trigonometriya

Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarni va ularning geometriyada qo'llanilishini o'rganadigan matematikaning bo'limi. Trigonometrik funktsiyalar turli burchaklar, uchburchaklar va davriy funktsiyalarning xususiyatlarini tavsiflash uchun ishlatiladi. Trigonometriyani o'rganish sizga ushbu xususiyatlarni tushunishga yordam beradi. Maktab faoliyati va mustaqil ish trigonometriya asoslarini o'rganishga va ko'plab davriy jarayonlarni tushunishga yordam beradi.

Qadamlar

Trigonometriya asoslarini bilib oling

Uchburchak tushunchasi bilan tanishing. Aslini olganda, trigonometriya uchburchaklardagi turli munosabatlarni o'rganish bilan shug'ullanadi. Uchburchakning uch tomoni va uchta burchagi bor. Har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi 180 ga teng. Trigonometriyani o'rganishda uchburchaklar va ular bilan bog'liq tushunchalar bilan tanishish kerak, masalan:

gipotenuzaning eng uzun tomoni to'g'ri uchburchak;
o'tmas burchak - 90 darajadan ortiq burchak;
o'tkir burchak 90 darajadan kichik burchakdir.

Birlik doirasini chizishni o'rganing. Birlik doirasi har qanday to'g'ri burchakli uchburchakni qurishga imkon beradi, shunda gipotenuza bittaga teng bo'ladi. Bu sinus va kosinus kabi trigonometrik funktsiyalar bilan ishlashda foydalidir. Birlik doirasini o'zlashtirib, siz ma'lum burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini osongina topishingiz va bu burchakli uchburchaklar paydo bo'ladigan muammolarni hal qilishingiz mumkin.
- Misol 1. 30 graduslik burchakning sinusi 0,50 ga teng. Demak, berilgan burchakka qarama-qarshi oyoq uzunligi gipotenuzaning yarmiga teng.
- Misol 2. Ushbu nisbatdan foydalanib, siz 30 graduslik burchak mavjud bo'lgan uchburchakning gipotenuzasi uzunligini hisoblashingiz mumkin va bu burchakka qarama-qarshi oyog'ining uzunligi 7 santimetrga teng. Bunday holda, gipotenuzaning uzunligi 14 santimetrga teng bo'ladi.
Trigonometrik funktsiyalar bilan tanishing. Trigonometriyani o'rganishda bilishingiz kerak bo'lgan oltita asosiy trigonometrik funktsiya mavjud. Bu funktsiyalar to'g'ri burchakli uchburchakning turli tomonlari o'rtasidagi munosabatlarni ifodalaydi va har qanday uchburchakning xususiyatlarini tushunishga yordam beradi. Bu oltita funktsiya:
- sinus (gunoh);
- kosinus (cos);
- tangens (tg);
- sekant (sek);
- kosekant (kosek);
- kotangent (ctg).
Funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni eslang. Trigonometriyani o'rganayotganda, barcha trigonometrik funktsiyalar o'zaro bog'liqligini tushunish juda muhimdir. Sinus, kosinus, tangens va boshqa funksiyalar turlicha qoʻllanilsa-da, ular oʻrtasida maʼlum bogʻlanishlar mavjudligi sababli keng qoʻllaniladi. Ushbu munosabatlarni tushunish oson birlik doirasi. Birlik doirasidan foydalanishni o'rganing va unda tasvirlangan munosabatlar yordamida siz ko'plab muammolarni hal qila olasiz.

Trigonometriyani qo'llash
1. Trigonometriyadan foydalanadigan fanning asosiy sohalari haqida bilib oling. Trigonometriya matematikaning ko'plab sohalarida va boshqa aniq fanlarda foydalidir. Trigonometriya burchak va chiziq segmentlarini topish uchun ishlatilishi mumkin. Bundan tashqari, trigonometrik funktsiyalar har qanday tsiklik jarayonni tavsiflashi mumkin.
  - Masalan, prujinaning tebranishlarini sinusoidal funktsiya bilan tasvirlash mumkin.
2. Ommaviy jarayonlar haqida o'ylab ko'ring. Ba'zan matematika va boshqa aniq fanlarning mavhum tushunchalarini tushunish qiyin. Biroq, ular tashqi dunyoda mavjud va bu ularni tushunishni osonlashtirishi mumkin. Atrofingizdagi davriy hodisalarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ularni trigonometriya bilan bog'lashga harakat qiling.
  - Oyning taxminiy tsikli taxminan 29,5 kunni tashkil qiladi.
3. Tabiiy tsikllarni qanday o'rganish mumkinligini tasavvur qiling. Tabiatda ko'plab davriy jarayonlar mavjudligini tushunganingizda, bu jarayonlarni qanday o'rganishingiz mumkinligi haqida o'ylang. Bunday jarayonlarning tasviri grafikda qanday ko'rinishini aqlan tasavvur qiling. Grafik yordamida siz kuzatilgan hodisani tavsiflovchi tenglama yozishingiz mumkin. Bu erda trigonometrik funktsiyalar yordam beradi.
  - Dengizning to'lqini va oqimini tasavvur qiling. Yuqori to'lqinlarda suv ma'lum darajaga ko'tariladi, keyin esa to'lqin past bo'ladi va suv sathi pasayadi. To'lqinning pastligidan keyin yana to'lqin paydo bo'ladi va suv sathi ko'tariladi. Ushbu tsiklik jarayon cheksiz davom etishi mumkin. Uni kosinus kabi trigonometrik funktsiya bilan tasvirlash mumkin.
Materialni oldindan o'rganing
1. Tegishli bo'limni o'qing. Ba'zi odamlar trigonometriya g'oyalarini birinchi marta tushunish qiyin. Agar siz darsdan oldin tegishli material bilan tanishsangiz, uni yaxshiroq o'zlashtirasiz. O'rganilayotgan mavzuni tez-tez takrorlashga harakat qiling - bu bilan siz trigonometriyaning turli tushunchalari va tushunchalari o'rtasidagi ko'proq munosabatlarni topasiz.
  - Bundan tashqari, bu sizga noaniq nuqtalarni oldindan aniqlash imkonini beradi.
2. Konturni saqlang. Darslikni varaqlab o'tish hech narsadan yaxshiroq bo'lsa-da, trigonometriyani o'rganish sekin, o'ylangan o'qishni talab qiladi. Har qanday bo'limni o'rganayotganda, batafsil eslatmani saqlang. Esda tutingki, trigonometriya haqidagi bilimlar asta-sekin to'planadi va yangi material shu paytgacha o‘rgangan narsangizga asoslanadi, shuning uchun o‘rganganlaringizni qog‘ozga tushirish oldinga intilishingizga yordam beradi.
  - Boshqa narsalar qatorida, keyinroq o'qituvchingizga so'rashingiz kerak bo'lgan savollarni yozing.
3. Darslikda berilgan masalalarni yechish. Trigonometriya siz uchun oson bo'lsa ham, siz muammolarni hal qilishingiz kerak. O'rgangan narsalaringizni haqiqatan ham tushunganingizga ishonch hosil qilish uchun darsdan oldin bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qiling. Agar siz buni qilishda muammolarga duch kelsangiz, darslar davomida aniq nimani bilishingiz kerakligini aniqlaysiz.
  - Ko'pgina darsliklarda muammolarga javoblar oxirida berilgan. Ularning yordami bilan siz muammolarni to'g'ri hal qilganingizni tekshirishingiz mumkin.
4. Sinfga kerak bo'lgan hamma narsani oling. Eslatmalaringizni va muammolarni hal qilishni unutmang. Ushbu qulay materiallar sizga allaqachon o'rgangan narsalaringizni to'ldirishga va materialni o'rganishda oldinga siljishga yordam beradi. Shuningdek, darslikni o'qish paytida yuzaga keladigan barcha savollarga aniqlik kiriting.

SHAHAR TA'LIM MASSASI

"1-sonli GIMNAZIYA"

"REAL HAYOTDA TRIGONOMETRIYA"

axborot loyihasi

Bajarildi:

Krasnov Egor

9-sinf o'quvchisi

Nazoratchi:

Borodkina Tatyana Ivanovna

Jeleznogorsk

Kirish…………………………………………………………………3

Muvofiqligi…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3

Maqsad…………………………………………………………4

Vazifalar……………………………………………………….4

1.4 Usullar……………………………………………………4

2. Trigonometriya va uning rivojlanish tarixi……………………………..5

2.1.Trigonometriya va shakllanish bosqichlari……………………….5

2.2.Trigonometriya atama sifatida. Xususiyat……………….7

2.3.Sinusning paydo bo'lishi………………………………………….7.

2.4.Kosinusning paydo bo'lishi……………………………………….8

2.5.Tangens va kotangensning paydo bo'lishi……………………….9

2.6 Trigonometriyaning keyingi rivojlanishi………………………..9

3. Trigonometriya va real hayot……………………..………………12

3.1.Navigatsiya ...................................................................................................................

3.2 Algebra……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………14

3.3.Physics….……………………………..…………………….....14

3.4.Tibbiyot, biologiya va bioritmlar………………………….15

3.5.Musiqa…………………………….…..………………………….19

3.6.Informatika..……………………….…..………………………….21

3.7. Qurilish va geodeziya sohasi. .............................. 22

3.8 San’at va arxitekturada trigonometriya……………………………………………………22

Xulosa. ………………………………………………………………..25

Adabiyotlar.………………………………………….……………27

1-ilova ……………………………………………………………………29

Kirish

IN zamonaviy dunyo sohalaridan biri sifatida matematikaga katta e’tibor qaratilmoqda ilmiy faoliyat va o'qish. Ma’lumki, matematikaning tarkibiy qismlaridan biri trigonometriyadir. Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarni o'rganadigan matematikaning bo'limi. Menimcha, bu mavzu, birinchidan, amaliy nuqtai nazardan dolzarbdir. Biz maktabni tugatmoqdamiz va ko'p kasblar uchun trigonometriyani bilish shunchaki zarur ekanligini tushunamiz, chunki. astronomiyada yaqin yulduzlargacha bo'lgan masofani, geografiyaning diqqatga sazovor joylari orasidagi masofani o'lchash, sun'iy yo'ldosh navigatsiya tizimlarini boshqarish imkonini beradi. Trigonometriya tamoyillari musiqa nazariyasi, akustika, optika, moliyaviy bozor tahlili, elektronika, ehtimollar nazariyasi, statistika, biologiya, tibbiyot (jumladan, ultratovush va kompyuter tomografiyasi), farmatsevtika, kimyo, raqamlar nazariyasi (va, kabi) kabi sohalarda ham qo'llaniladi. natija, kriptografiya), seysmologiya, meteorologiya, okeanologiya, kartografiya, fizikaning koʻpgina tarmoqlari, topografiya va geodeziya, arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektron texnika, mashinasozlik, kompyuter grafikasi, kristallografiya.

Ikkinchidan, dolzarbligi Mavzular "Trigonometriya haqiqiy hayot"Trigonometriyani bilish fanning ko'plab sohalarida turli muammolarni hal qilishning yangi usullarini ochib beradi va turli fanlarning ayrim jihatlarini tushunishni soddalashtiradi.

Talabalar trigonometriya bilan uch marta duch keladigan amaliyot uzoq vaqtdan beri o'rnatilgan. Shunday qilib, trigonometriya uch qismdan iborat deb aytishimiz mumkin. Bu qismlar bir-biriga bog'langan va vaqtga bog'liq. Shu bilan birga, ular bir-biridan mutlaqo farq qiladi, asosiy tushunchalarni tushuntirishda qo'yiladigan ma'no jihatidan ham, funktsiyalari jihatidan ham o'xshash xususiyatlarga ega emas.

Birinchi tanishuv 8-sinfda sodir bo'ladi. Bu maktab o'quvchilari o'rganadigan davr: "To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi nisbatlar". Trigonometriyani o'rganish jarayonida kosinus, sinus va tangens tushunchasi beriladi.

Keyingi qadam 9-sinfda trigonometriya bilan tanishishni davom ettirishdir. Murakkablik darajasi oshadi, misollarni yechish usullari va usullari o'zgaradi. Endi kosinuslar va tangenslar o'rniga aylana va uning imkoniyatlari keladi.

Oxirgi bosqich 10-sinf bo'lib, unda trigonometriya murakkablashadi, masalalarni yechish usullari o'zgaradi. Burchakning radian o'lchovi tushunchasi kiritiladi. Trigonometrik funksiyalarning grafiklari kiritiladi. Bu bosqichda o‘quvchilar trigonometrik tenglamalarni yechishga va o‘rganishga kirishadilar. Lekin geometriya kabi emas. Trigonometriyani to'liq tushunish uchun siz uning kelib chiqish va rivojlanish tarixi bilan tanishishingiz kerak. Tanigandan keyin tarixiy fon va buyuk arboblar, matematiklar va olimlarning asarlarini o'rganib, biz trigonometriya hayotimizga qanday ta'sir qilishini, yangi ob'ektlarni yaratishga, kashfiyotlar qilishga yordam berishini tushunishimiz mumkin.

maqsad Mening loyiham trigonometriyaning inson hayotiga ta'sirini o'rganish va unga qiziqishni rivojlantirishdir. Ushbu maqsadni hal qilgandan so'ng, biz trigonometriya bizning dunyomizda qanday o'rinni egallashini, qanday amaliy muammolarni hal qilishini tushunishimiz mumkin.

Ushbu maqsadga erishish uchun biz quyidagilarni aniqladik vazifalar:

1. Trigonometriyaning shakllanish va rivojlanish tarixi bilan tanishish;

2. Trigonometriyaning faoliyatning turli sohalarida amaliy ta'siriga misollarni ko'rib chiqing;

3. Trigonometriyaning imkoniyatlari, uning inson hayotida qo‘llanilishini misollar bilan ko‘rsating.

Usullari: Ma'lumotni qidirish va yig'ish.

1. Trigonometriya va uning rivojlanish tarixi

Trigonometriya nima? Bu atama matematikada turli burchaklar orasidagi munosabatni o'rganadigan, uchburchak tomonlari uzunligini va trigonometrik funktsiyalarning algebraik o'ziga xosligini o'rganadigan bo'limni nazarda tutadi. Matematikaning bu sohasi bizda paydo bo'lishini tasavvur qilish qiyin Kundalik hayot.

1.1.Trigonometriya va uning shakllanish bosqichlari

Keling, uning rivojlanish tarixi, shakllanish bosqichlariga murojaat qilaylik. Qadim zamonlardan beri trigonometriya o'zining boshlanishiga erishdi, rivojlandi va birinchi natijalarni ko'rsatdi. Bu sohaning paydo boʻlishi va rivojlanishi haqidagi dastlabki maʼlumotlarni biz mavjud qoʻlyozmalarda koʻrishimiz mumkin qadimgi Misr, Bobil, Qadimgi Xitoy. Rhinda papirusidagi (miloddan avvalgi 2-ming yillik) 56-masalani o'rganib chiqib, uning balandligi 250 tirsak bo'lgan piramidaning qiyaligini topishni taklif qilishini ko'rish mumkin. Piramida poydevorining yon tomonining uzunligi 360 tirsak (1-rasm). Qizig'i shundaki, misrliklar ushbu muammoni hal qilishda bir vaqtning o'zida ikkita o'lchash tizimidan foydalanganlar - "tirsaklar" va "palmalar". Bugun bu masalani yechishda burchak tangensini topamiz: asos va apotemning yarmini bilish (1-rasm).

Keyingi bosqich ilm-fanning rivojlanish bosqichi bo'lib, u miloddan avvalgi III asrda yashagan Samos astronomi Aristarx bilan bog'liq. e. Quyosh va Oyning kattaliklari va masofalarini ko'rib chiqadigan risola o'z oldiga aniq vazifa qo'ydi. Bu har bir samoviy jismga masofani aniqlash zaruratida ifodalangan. Bunday hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun burchaklardan birining ma'lum qiymatiga ega bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari nisbatini hisoblash kerak edi. Aristarx kvadratura davomida Quyosh, Oy va Yer tomonidan hosil qilingan to'g'ri burchakli uchburchak deb hisobladi. Erdan Quyoshgacha bo'lgan masofaning asosi bo'lgan gipotenuzaning qiymatini, Yerdan Oygacha bo'lgan masofaning asosi bo'lgan oyoq yordamida, kiritilgan burchakning ma'lum qiymati bilan hisoblash uchun (87). °), bu qiymatni hisoblashga teng gunoh burchagi 3. Aristarxga ko'ra, bu qiymat 1/20 dan 1/18 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan. Bu shuni ko'rsatadiki, Quyoshdan Yergacha bo'lgan masofa Oydan Yergacha bo'lgan masofadan yigirma marta kattaroqdir. Biroq, biz bilamizki, Quyosh Oy joylashgan joydan 400 marta uzoqroqda joylashgan. Burchakni o'lchashda noaniqlik tufayli noto'g'ri qaror paydo bo'ldi.

Bir necha o'n yillar o'tgach, Klavdiy Ptolemey o'zining "Etnogeografiya, Analemma va Planisferium" asarida kartografiya, astronomiya va mexanikaga trigonometrik qo'shimchalar haqida batafsil ma'lumot beradi. Boshqa narsalar qatorida, stereografik proyeksiya ko'rsatiladi, bir qator faktik masalalar o'rganiladi, masalan: osmon jismining balandligi va burchagini uning egilishi va soat burchagiga qarab belgilash. Trigonometriya nuqtai nazaridan, bu sferik uchburchakning qolgan 2 ta yuziga va qarama-qarshi burchagiga muvofiq tomonini topish kerakligini anglatadi (2-rasm).

Birgalikda shuni ta'kidlash mumkinki, trigonometriya quyidagilar uchun ishlatilgan:

Kunning vaqtini aniq belgilash;

Osmon jismlarining yaqinlashib kelayotgan joylashuvini, ularning chiqishi va botishi epizodlarini, Quyosh va Oy tutilishini hisoblash;

Joriy joylashuvning geografik koordinatalarini topish;

Geografik koordinatalari ma'lum bo'lgan megapolislar orasidagi masofani hisoblash.

Gnomon - qadimiy astronomik mexanizm, vertikal ob'ekt (stela, ustun, qutb), quyoshning burchak balandligini aniqlash uchun tushda uning soyasining eng kichik uzunligidan foydalanish imkonini beradi (3-rasm).

Shunday qilib, kotangent bizga 12 (ba'zan 7) birlik balandlikdagi vertikal gnomondan soyaning uzunligi sifatida taqdim etildi. E'tibor bering, asl versiyada bu ta'riflar quyosh soatini hisoblash uchun ishlatilgan. Tangens gorizontal gnomondan tushgan soya bilan ifodalangan. Kosekant va sekant gipotenuslar deb tushuniladi, ular to'g'ri burchakli uchburchaklarga mos keladi.

1.2.Trigonometriya atama sifatida. Xarakterli

Birinchi marta o'ziga xos "trigonometriya" atamasi 1505 yilda paydo bo'lgan. U nemis ilohiyotchisi va matematigi Bartholomeus Pitiscusning kitobida nashr etilgan va ishlatilgan. Ilm-fan allaqachon astronomik, me'moriy muammolarni hal qilish uchun ishlatilgan.

Trigonometriya atamasi yunoncha ildizlar bilan tavsiflanadi. Va u ikki qismdan iborat: "uchburchak" va "o'lchov". Tarjimani o‘rganish orqali aytishimiz mumkinki, oldimizda uchburchaklardagi o‘zgarishlarni o‘rganuvchi fan turibdi. Trigonometriyaning paydo bo'lishi er o'rganish, astronomiya va qurilish jarayoni bilan bog'liq. Bu nom nisbatan yaqinda paydo bo'lgan bo'lsa-da, hozirgi vaqtda trigonometriyaga tegishli bo'lgan ko'plab ta'riflar va ma'lumotlar 2000 yilgacha ma'lum bo'lgan.

1.3. Sinusning paydo bo'lishi

Sinusning ifodalanishi uzoq tarixga ega. Darhaqiqat, uchburchak va aylana segmentlari (va mohiyatan trigonometrik funktsiyalar) o'rtasidagi turli munosabatlar 3-asrning boshida topilgan. Miloddan avvalgi. qadimgi Yunonistonning mashhur matematiklari - Evklid, Arximed, Pergalik Apolloniy asarlarida. Rim davrida bu munosabatlar Menelaus (eramizning 1-asri) tomonidan muntazam ravishda o'rganilgan, garchi ular maxsus nom olmagan bo'lsalar ham. Masalan, a burchakning zamonaviy sinusi a kattalikdagi markaziy burchak tayanadigan yarim akkord yoki qoʻsh yoyning akkordasi sifatida oʻrganiladi.

Keyingi davrda matematika uzoq vaqt davomida hind va arab olimlari tomonidan eng jadal shakllantirildi. 4—5-asrlarda, xususan, mashhur hind olimi Aryabxataning (476-tax. 550) astronomiyaga oid asarlarida alohida atama paydo boʻlgan boʻlib, Yerning birinchi hind sunʼiy yoʻldoshi uning nomi bilan atalgan. U segmentni ardhajiva (ardha-yarim, jiva-kamonning uzilishi, o'qga o'xshash) deb atagan. Keyinchalik qisqartirilgan jiva nomi ildiz otdi. IX asrda arab matematiklari. jiva (yoki jiba) atamasi arabcha jaib (konkav) soʻzi bilan almashtirilgan. XII asrda arab matematika matnlarining o'tish davrida. bu so'z lotincha sinus (sinus-bend) bilan almashtirildi (4-rasm).

1.4. Kosinusning paydo bo'lishi

"Kosinus" atamasining ta'rifi va paydo bo'lishi ko'proq qisqa muddatli va tor fikrlash xususiyatiga ega. Kosinus deganda "qo'shimcha sinus" tushuniladi (yoki boshqacha tarzda "qo'shimcha yoyning sinusi"; esda tuting kosa= sin(90° - a)). Qizig'i shundaki, uchburchakning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi munosabatlarga asoslangan uchburchaklarni echishning birinchi usullarini astronom topdi. Qadimgi Gretsiya Miloddan avvalgi II asrda Gipparx. Ushbu tadqiqot Klavdiy Ptolemey tomonidan ham amalga oshirilgan. Asta-sekin uchburchak tomonlari va uning burchaklarining nisbatlari o'rtasidagi munosabatlar haqida yangi faktlar paydo bo'ldi, yangi ta'rif - trigonometrik funktsiya qo'llanila boshlandi.

Trigonometriyaning shakllanishiga arab mutaxassislari Al-Bataniy (850-929) va Abu-l-Vafa, Muhammad bin Muhammad (940-998) katta hissa qo'shdilar, ular 10 dan foydalanib sinuslar va tangenslar jadvallarini tuzdilar. 1/604 gacha aniqlik. Sinus teoremasi avval hind professori Bxaskara (1114-yilda tugʻilgan, vafot etgan yili nomaʼlum) va ozarbayjon munajjim va olimi Nosireddin Tusi Muhammad (1201-1274) tomonidan maʼlum boʻlgan. Bundan tashqari, Nosiriddin Tusiy “Toʻliq toʻrtburchak ustida ish” asarida toʻgʻridan-toʻgʻri va sferik trigonometriyani mustaqil fan sifatida taʼriflagan (4-rasm).

1.5. Tangens va kotangensning paydo bo'lishi

Tangenslar soyaning uzunligini o'rnatish muammosining tugashi munosabati bilan paydo bo'ldi. Tangens (va kotangentdan tashqari) 10-asrda arab arifmetik Abul-Vafo tomonidan o'rnatildi, u ham tangens va kotangentlarni topish uchun dastlabki jadvallarni tuzdi. Ammo bu kashfiyotlar uzoq vaqt davomida evropalik olimlar uchun notanish bo'lib qoldi va tangenslarni faqat 14-asrda nemis arifmetik, astronomi Regimontan (1467) qayta kashf etdi. U tangens teoremasini asoslab berdi. Regiomontanus batafsil trigonometrik jadvallarni ham tuzgan; Uning mehnati tufayli Yevropada ham tekislik va sferik trigonometriya mustaqil fanga aylandi.

Lotincha tanger (tegish) so'zidan kelib chiqqan "tangens" belgisi 1583 yilda paydo bo'lgan. Tangens "ta'sir qiluvchi" deb tarjima qilingan (tangens chizig'i birlik doirasiga tegib turadi).
Trigonometriya taniqli munajjimlar Nikolay Kopernik (1473-1543), Tixo Brahe (1546-1601) va Iogannes Kepler (1571-1630), shuningdek, matematik Fransua Vyeta (1540-160) asarlarida yanada rivojlangan. , uchta ma'lumotga ko'ra tekis yoki sferik uchburchakning mutlaqo barcha komponentlarini aniqlashda muammoni to'liq hal qilgan (4-rasm).

1.6 Trigonometriyaning keyingi rivojlanishi

Uzoq vaqt davomida trigonometriya faqat geometrik shaklga ega edi, ya'ni biz hozirda trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarida shakllantirgan ma'lumotlar geometrik tushunchalar va bayonotlar yordamida shakllantirildi va bahslashdi. U hatto o'rta asrlarda ham mavjud bo'lgan, garchi unda ba'zida analitik usullar, ayniqsa logarifmlar paydo bo'lgandan keyin qo'llanilgan. Ehtimol, trigonometriyani shakllantirish uchun maksimal rag'batlar astronomik muammolarni hal qilish bilan birga paydo bo'lgan, bu katta ijobiy qiziqish uyg'otdi (masalan, kemaning joylashishini aniqlash, to'xtashni bashorat qilish va boshqalarni hal qilish uchun). Munajjimlar sferik uchburchaklarning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi munosabatlar bilan mashg'ul edilar. Va antik davr arifmetikasi qo'yilgan savollarni muvaffaqiyatli hal qildi.

17-asrdan boshlab trigonometrik funksiyalar tenglamalar, mexanika, optika, elektr, radiotexnika masalalarini yechishda, tebranish harakatlarini, toʻlqin tarqalishini, siljishini koʻrsatish uchun foydalanilgan. turli elementlar, oʻzgaruvchan galvanik tokni oʻrganish uchun va hokazo.Shu sababli trigonometrik funksiyalar har tomonlama va chuqur oʻrganilib, butun matematika uchun muhim ahamiyatga ega boʻldi.

Trigonometrik funktsiyalarning analitik nazariyasini asosan 18-asrning taniqli matematigi Leonhard Eyler (1707-1783) yaratgan. Peterburg akademiyasi Fanlar. Eylerning ulkan ilmiy merosi hisob, geometriya, sonlar nazariyasi, mexanika va matematikaning boshqa ilovalariga oid yorqin natijalarni o'z ichiga oladi. Ayler birinchi marta trigonometrik funksiyalarning mashhur ta’riflarini kiritgan, ixtiyoriy burchak funksiyalarini ko‘rib chiqishni boshlagan va qisqarish formulalarini olgan. Eylerdan so'ng trigonometriya hisob ko'rinishini oldi: trigonometriya formulalarini rasmiy qo'llash orqali turli faktlar isbotlana boshladi, isbotlar ancha ixcham, sodda,

Shunday qilib, uchburchaklarni yechish fani sifatida vujudga kelgan trigonometriya oxir-oqibat trigonometrik funksiyalar faniga aylandi.

Keyinchalik trigonometriyaning trigonometrik funksiyalarning xossalarini va ular oʻrtasidagi munosabatlarni oʻrganuvchi qismi goniometriya (tarjimada — burchaklarni oʻlchash haqidagi fan, yunoncha gwnia — burchak, metrw — oʻlchayman) deb atala boshlandi. Goniometriya atamasi Yaqinda amalda ishlatilmaydi.

2. Trigonometriya va real hayot

Zamonaviy jamiyat doimiy o'zgarishlar, kashfiyotlar, hayotimizni yaxshilaydigan yuqori texnologiyali ixtirolarni yaratish bilan tavsiflanadi. Trigonometriya fizika, biologiya, matematika, tibbiyot, geofizika, navigatsiya, kompyuter fanlari bilan uchrashadi va o'zaro ta'sir qiladi.

Keling, har bir sohada o'zaro ta'sir qilish tartibi bilan tanishaylik.

2.1 Navigatsiya

Bizga trigonometriyadan foydalanish va afzalliklarini tushuntiruvchi birinchi nuqta uning navigatsiya bilan aloqasi. Navigatsiya deganda biz navigatsiyaning eng qulay va foydali usullarini o'rganish va yaratishdan iborat bo'lgan fanni tushunamiz. Shunday qilib, olimlar oddiy navigatsiyani ishlab chiqmoqdalar, u bir nuqtadan ikkinchisiga marshrut quradi, uni baholaydi va taklif qilinganlarning barchasidan eng yaxshi variantni tanlaydi. Ushbu marshrutlar sayohat paytida ko'plab qiyinchiliklar, to'siqlar va harakatlanish jarayonida savollarga duch keladigan dengizchilar uchun zarurdir. Navigatsiya ham zarur: murakkab yuqori texnologiyali samolyotlarda uchadigan uchuvchilar, ba'zan juda ekstremal vaziyatlarda o'zlarini yo'naltiradilar; kosmonavtlar, ularning ishi hayot uchun xavf bilan bog'liq, marshrutning murakkab qurilishi va uning rivojlanishi. Keling, quyidagi tushunchalar va vazifalarni batafsil o'rganamiz. Vazifa sifatida biz quyidagi shartni tasavvur qilishimiz mumkin: bilamiz geografik koordinatalar: A va B nuqtalari orasidagi kenglik va uzunlik yer yuzasi. Yer yuzasi bo'ylab A va B nuqtalari orasidagi eng qisqa yo'lni topish kerak (Yerning radiusi ma'lum deb hisoblanadi: R = 6371 km).

Biz bu muammoning yechimini ham taqdim etishimiz mumkin, ya'ni: birinchi navbatda biz aniqlaymizki, er yuzasining M nuqtasining kengligi OM radiusi tomonidan hosil qilingan burchakning qiymati, bu erda O - Yerning markazi, tekislik bilan. ekvatorning: ≤ , va ekvatorning shimolida kenglik musbat, janubi esa manfiy hisoblanadi. M nuqtaning uzunligi uchun COM va SON tekisliklarida o'tadigan ikki burchakli burchakning qiymatini olamiz. C deganda biz Yerning Shimoliy qutbini tushunamiz. H sifatida biz Grinvich rasadxonasiga mos keladigan nuqtani tushunamiz: ≤ (Grinvich meridianining sharqida, uzunlik musbat, g'arbda - manfiy deb hisoblanadi). Bizga ma'lumki, er yuzidagi A va B nuqtalari orasidagi eng qisqa masofa A va B ni bog'laydigan katta aylana yoylarining eng kichigi uzunligi bilan ifodalanadi. Bunday yoyni ortodrom deb atashimiz mumkin. Yunon tilidan tarjima qilingan bu atama to'g'ri burchak deb tushuniladi. Shu sababli bizning vazifamiz ABC sferik uchburchakning AB tomonining uzunligini aniqlashdir, bu erda C shimoliy polis deb tushuniladi.

Qiziqarli misol quyida keltirilgan. Dengizchilar tomonidan marshrutni yaratishda aniq va mashaqqatli ish kerak. Shunday qilib, 1569 yilda Gerxard Merkatorning proektsiyasida tuzilgan xaritada kemaning yo'nalishini belgilash uchun kenglikni aniqlash zarurati paydo bo'ldi. Biroq, dengizga chiqishda, 17-asrgacha bo'lgan joylarda navigatorlar kenglikni ko'rsatmagan. Birinchi marta Edmond Gunter (1623) navigatsiyada trigonometrik hisoblarni qo'llagan.

Trigonometriya yordamida uchuvchilar samolyotni eng aniq va xavfsiz boshqarish uchun shamol xatolarini hisoblashlari mumkin edi. Ushbu hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun biz tezliklar uchburchagiga murojaat qilamiz. Bu uchburchak shakllangan havo tezligini (V), shamol vektorini (W), vektorni ifodalaydi yer tezligi(Vp). PU - yo'l burchagi, SW - shamol burchagi, KUV - sarlavhali shamol burchagi (5-rasm) .

Tezlikning navigatsiya uchburchagi elementlari o'rtasidagi bog'liqlik turi bilan tanishish uchun siz quyida ko'rib chiqishingiz kerak:

Vp \u003d V cos US + W cos SW; sin US = * sin SW, tg SW

Tezlikning navigatsiya uchburchagini hal qilish uchun navigatsiya o'lchagich va aqliy hisob-kitoblardan foydalanadigan hisoblash asboblari qo'llaniladi.

2.2 Algebra

Trigonometriyaning keyingi o'zaro ta'sir sohasi algebradir. Trigonometrik funktsiyalar tufayli juda murakkab tenglamalar va katta hisob-kitoblarni talab qiladigan vazifalar hal qilinadi.

Ma'lumki, davriy jarayonlar va tebranishlar bilan o'zaro ta'sir qilish zarur bo'lgan barcha holatlarda biz trigonometrik funktsiyalardan foydalanishga kelamiz. Bu nima bo'lishi muhim emas: akustika, optika yoki sarkaçning tebranishi.

2.3 Fizika

Navigatsiya va algebradan tashqari, trigonometriya fizikaga bevosita ta'sir qiladi va ta'sir qiladi. Ob'ektlar suvga botirilganda, ular shakli va hajmini hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. To'liq sir - bu bizning ko'rishimizni mavzuni boshqacha idrok etishga majbur qiladigan vizual effekt. Oddiy trigonometrik formulalar va yarim chiziqning tushish burchagi va sinishi sinusining qiymatlari yorug'lik nurining shardan sharga o'tishi bilan doimiy sinishi indeksini hisoblash ehtimolini ta'minlaydi. Masalan, kamalak paydo bo'ladi, chunki quyosh nuri Sinishi qonuniga ko'ra havoda muallaq turgan suv tomchilarida sinish sodir bo'ladi:

sina / sinb = n1 / n2

Bu erda: n1 - birinchi muhitning sindirish ko'rsatkichi; n2 - ikkinchi muhitning sindirish ko'rsatkichi; a-yorugʻlikning tushish burchagi, b-yorugʻlikning sinish burchagi.

Quyosh shamolining zaryadlangan elementlarining sayyoralar atmosferasining yuqori qatlamlariga kirishi o'zaro ta'sir bilan belgilanadi. magnit maydon quyosh shamoli bilan quruqlik.

Magnit mintaqada harakatlanuvchi zaryadlangan zarrachaga ta'sir qiluvchi kuch Lorents kuchi deb ataladi. U zarrachaning zaryadiga va maydonning vektor mahsulotiga va zarracha tezligiga mos keladi.

Trigonometriyani fizikada qo'llashning amaliy jihatlarini ochib, biz misol keltiramiz. Bu vazifa trigonometrik formulalar va yechish usullari yordamida yechish kerak. Vazifa shartlari: eğimli tekislik, burchagi 24,5o bo'lgan, massasi 90 kg bo'lgan jism. Tananing qiya tekislikka qanday kuch ta'sir qilishini (ya'ni, tananing bu tekislikka qanday bosim o'tkazishini) topish kerak (6-rasm).

X va Y o'qlarini belgilab, avval ushbu formuladan foydalanib, o'qlar bo'yicha kuchlarning proektsiyalarini qurishni boshlaymiz:

ma = N + mg, keyin rasmga qarang,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N - mg cos24,50

massani almashtiramiz, biz kuchning 819 N ekanligini topamiz.

Javob: 819 N

2.4.Tibbiyot, biologiya va bioritmlar

Trigonometriya jiddiy ta'sir ko'rsatadigan va yordam beradigan to'rtinchi soha bir vaqtning o'zida ikkita sohadir: tibbiyot va biologiya.

Tirik tabiatning asosiy xususiyatlaridan biri unda sodir bo'ladigan ko'pgina jarayonlarning tsiklikligidir. Harakat o'rtasida samoviy jismlar va Yerdagi tirik organizmlar bilan bog'liqlik mavjud. Tirik organizmlar nafaqat Quyosh va Oyning yorug'ligi va issiqligini ushlaydi, balki Quyoshning o'rnini aniq belgilaydigan, to'lqinlar ritmiga, Oyning fazalariga va sayyoramizning harakatiga javob beradigan turli mexanizmlarga ega.

Biologik ritmlar, bioritmlar - biologik jarayonlarning tabiati va intensivligidagi ko'p yoki kamroq muntazam o'zgarishlar. Hayotiy faoliyatdagi bunday o'zgarishlar qobiliyati meros bo'lib, deyarli barcha tirik organizmlarda uchraydi. Ular alohida hujayralar, to'qimalar va organlarda, butun organizmlar va populyatsiyalarda kuzatilishi mumkin. Bioritmlar quyidagilarga bo'linadi fiziologik, soniyadan bir necha daqiqagacha bo'lgan davrlarga ega va ekologik, davomiyligi bo'yicha, qandaydir ritmga to'g'ri keladi muhit. Bularga kunlik, mavsumiy, yillik, suv oqimi va oy ritmlari kiradi. Erning asosiy ritmi har kuni, Yerning o'z o'qi atrofida aylanishi tufayli, shuning uchun tirik organizmdagi deyarli barcha jarayonlar kunlik davriylikka ega.

Bir guruh ekologik omillar sayyoramizda, birinchi navbatda, yorug'lik rejimi, harorat, havo bosimi va namlik, atmosfera va elektromagnit maydonlar, dengiz to'lqinlari, bu aylanish ta'sirida tabiiy ravishda o'zgaradi.

Biz etmish besh foiz suvdan iboratmiz va agar to'lin oy vaqtida okeanlar suvlari dengiz sathidan 19 metr balandlikda ko'tarilsa va to'lqin boshlangan bo'lsa, tanamizdagi suv ham tanamizning yuqori qismlariga oqib chiqadi. Va bilan odamlar yuqori qon bosimi Ushbu davrlarda kasallikning kuchayishi tez-tez kuzatiladi va shifobaxsh o'tlarni to'playdigan tabiatshunoslar oyning qaysi bosqichida "tepalar - (mevalar)" va qaysilarida - "ildiz" ni to'plash kerakligini aniq bilishadi.

Siz buni payqadingizmi? muayyan davrlar Sizning hayotingiz tushunarsiz sakrashlar qiladimi? To'satdan, hech qanday joydan - his-tuyg'ular to'lib-toshgan. Sezuvchanlik kuchayadi, bu to'satdan to'liq apatiya bilan almashtirilishi mumkin. Ijodiy va bepusht kunlar, quvonchli va baxtsiz lahzalar, kayfiyat o'zgarib turadi. Ta'kidlanishicha, inson tanasining imkoniyatlari vaqti-vaqti bilan o'zgarib turadi. Bu bilim "uch bioritm nazariyasi" asosida yotadi.

Jismoniy bioritm - jismoniy faoliyatni tartibga soladi. Jismoniy tsiklning birinchi yarmida inson baquvvat bo'lib, o'z faoliyatida eng yaxshi natijalarga erishadi (ikkinchi yarmi - energiya dangasalikdan past).

Hissiy ritm - uning faoliyati davrida sezgirlik oshadi, kayfiyat yaxshilanadi. Inson turli xil tashqi kataklizmlarga qo'zg'aluvchan bo'ladi. Agar u bor bo'lsa yaxshi kayfiyat, u havoda qal'alar quradi, sevib qolishni orzu qiladi va sevib qoladi. Hissiy bioritmning pasayishi bilan aqliy kuchning pasayishi sodir bo'ladi, istak va quvonchli kayfiyat yo'qoladi.

Aqlli bioritm - u xotirani, o'rganish qobiliyatini boshqaradi, mantiqiy fikrlash. Faoliyat bosqichida o'sish, ikkinchi bosqichda ijodiy faollikning pasayishi, omad va muvaffaqiyat bo'lmaydi.

Uchta ritm nazariyasi:

· Jismoniy tsikl -23 kun. Energiya, kuch, chidamlilik, harakatni muvofiqlashtirishni aniqlaydi

Hissiy tsikl - 28 kun. Davlat asab tizimi va kayfiyat

· Intellektual tsikl - 33 kun. Aniqlaydi ijodkorlik shaxslar

Trigonometriya tabiatda ham mavjud. Baliqlarning suvdagi harakati sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra sodir bo'ladi, agar siz quyruqdagi nuqtani o'rnatsangiz va keyin harakat traektoriyasini hisobga olsangiz. Suzayotganda baliq tanasi y=tgx funksiya grafigiga o'xshash egri chiziq shaklini oladi.

Qushlarning parvozi paytida qanotlar qanotining traektoriyasi sinusoidni hosil qiladi.

Tibbiyotda trigonometriya. Eronning Sheroz universiteti talabasi Vohid-Rizo Abbosiy tomonidan olib borilgan tadqiqot natijasida shifokorlar birinchi marta yurakning elektr faolligi yoki boshqacha aytganda, elektrokardiografiya bilan bog‘liq ma’lumotlarni tartibga solishga muvaffaq bo‘lishdi.

Tehron deb nomlangan formula 14-Geografik tibbiyot konferentsiyasida, so'ngra Niderlandiyada bo'lib o'tgan kardiologiyada kompyuter texnologiyalarini qo'llash bo'yicha 28-konferentsiyada keng ilmiy jamoatchilikka taqdim etildi.

Ushbu formula murakkab algebraik-trigonometrik tenglama bo'lib, 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametr, shu jumladan aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat. Shifokorlarning fikriga ko'ra, bu formula yurak faoliyatining asosiy parametrlarini tavsiflash jarayonini sezilarli darajada osonlashtiradi va shu bilan tashxisni tezlashtiradi va haqiqiy davolanishni boshlaydi.

Ko'p odamlar yurakning EKGsini o'tkazishlari kerak, ammo ozchilik inson qalbining EKG sinus yoki kosinus syujeti ekanligini biladi.

Trigonometriya miyamizga ob'ektlargacha bo'lgan masofani aniqlashga yordam beradi. Amerikalik olimlarning ta'kidlashicha, miya yer tekisligi va ko'rish tekisligi orasidagi burchakni o'lchash orqali ob'ektlargacha bo'lgan masofani taxmin qiladi. Bunday xulosaga ishtirokchilarga qarash so'ralgan bir qator tajribalardan so'ng erishildi dunyo bu burchakni oshiradigan prizmalar orqali.

Bunday buzilish prizmalarning eksperimental tashuvchilari uzoq ob'ektlarni yaqinroq deb qabul qilishlariga va eng oddiy sinovlarga dosh bera olmasligiga olib keldi. Tajriba ishtirokchilarining ba'zilari hatto oldinga egilib, o'z tanalarini noto'g'ri ko'rsatilgan yer yuzasiga perpendikulyar ravishda tekislashga harakat qilishdi. Biroq, 20 daqiqadan so'ng, ular buzilgan idrokga o'rganib qolishdi va barcha muammolar yo'qoldi. Bu holat miyaning vizual tizimni o'zgaruvchan tashqi sharoitlarga moslashtiradigan mexanizmning moslashuvchanligini ko'rsatadi. Shunisi qiziqki, prizmalar olib tashlanganidan keyin bir muncha vaqt teskari ta'sir kuzatildi - masofani ortiqcha baholash.

Yangi tadqiqot natijalari, siz kutganingizdek, robotlar uchun navigatsiya tizimlarini loyihalash bo'yicha muhandislar, shuningdek, eng real virtual modellarni yaratish ustida ishlayotgan mutaxassislar uchun qiziqarli bo'ladi. Ilovalar tibbiyot sohasida, miyaning ma'lum sohalarida zararlangan bemorlarni reabilitatsiya qilishda ham mumkin.

2.5.Musiqa

Musiqiy maydon trigonometriya bilan ham o'zaro ta'sir qiladi.

E'tiboringizga taqdim etaman qiziqarli ma'lumotlar trigonometriya va musiqa o'rtasidagi aloqani aniq ta'minlaydigan ba'zi bir usul haqida.

Musiqiy asarlarni tahlil qilishning bu usuli “musiqaning geometrik nazariyasi” deb ataladi. Uning yordami bilan asosiy musiqiy tuzilmalar va transformatsiyalar zamonaviy geometriya tiliga tarjima qilinadi.

Har bir eslatma ichida yangi nazariya mos keladigan tovush chastotasining logarifmi sifatida ifodalanadi (birinchi oktavaning “do” notasi, masalan, 60 raqamiga, oktava 12 raqamiga mos keladi). Shunday qilib, akkord geometrik fazoda koordinatalari berilgan nuqta sifatida ifodalanadi. Akkordlar turli xil geometrik bo'shliqlarga mos keladigan turli "oilalar" ga guruhlangan.

Yangi usulni ishlab chiqishda mualliflar musiqa nazariyasida ilgari e'tiborga olinmagan musiqiy o'zgarishlarning 5 ta ma'lum turidan foydalanganlar - oktava o'zgarishi (O), almashtirish (P), transpozitsiya (T), inversiya (I). va kardinallikning o'zgarishi (C) . Mualliflar yozganidek, bu o'zgarishlarning barchasi n o'lchovli fazoda OPTIK-simmetriyalarni hosil qiladi va akkord haqidagi musiqiy ma'lumotlarni saqlaydi - uning notalari qaysi oktavada, ular qanday ketma-ketlikda ijro etiladi, ular necha marta takrorlanadi. , va hokazo. OPTIC simmetriyalari yordamida o'xshash, ammo bir xil bo'lmagan akkordlar va ularning ketma-ketligi tasniflanadi.

Maqola mualliflari shuni ko'rsatadiki, ushbu 5 simmetriyaning turli kombinatsiyalari juda ko'p turli xil musiqiy tuzilmalarni hosil qiladi, ularning ba'zilari musiqa nazariyasida allaqachon ma'lum (masalan, akkordlar ketma-ketligi OPC sifatida yangi atamalar bilan ifodalanadi), boshqalari , ehtimol, kelajak bastakorlari tomonidan qabul qilinadigan tubdan yangi tushunchalar.

Misol tariqasida, mualliflar to'rtta tovushdan iborat turli xil akkordlarning geometrik tasvirini beradilar - tetraedr. Grafikdagi sharlar akkordlarning turlarini ifodalaydi, sharlarning ranglari akkord tovushlari orasidagi intervallarning o'lchamiga mos keladi: ko'k - kichik intervallar, iliqroq tonlar - ko'proq "siyrak" akkord tovushlari. Qizil shar - bu 19-asr bastakorlari orasida mashhur bo'lgan notalar orasidagi teng intervalli eng uyg'un akkord.

Musiqa tahlilining "geometrik" usuli, tadqiqot mualliflarining fikriga ko'ra, printsipial jihatdan yangi narsalarni yaratishga olib kelishi mumkin. musiqiy asboblar va musiqani tasavvur qilishning yangi usullari, shuningdek, musiqa o'qitishning zamonaviy usullari va turli musiqiy uslublarni (klassik, estrada, rok musiqa va boshqalar) o'rganish usullariga o'zgartirishlar kiritish. Shuningdek, yangi terminologiya turli davrlar bastakorlarining musiqiy asarlarini yanada chuqurroq solishtirish va tadqiqot natijalarini qulayroq matematik shaklda taqdim etishga yordam beradi. Boshqacha aytganda, musiqiy asarlardan ularning matematik mohiyatini ajratib ko'rsatish taklif etiladi.

Birinchi, ikkinchi va hokazolarda bir xil notaga mos keladigan chastotalar. oktavalar, 1:2:4:8 deb taalluqli... Qadim zamonlardan qolgan rivoyatlarga ko'ra, buni birinchi bo'lib Pifagor va uning shogirdlari qilishga uringanlar.

Diatonik shkala 2:3:5 (8-rasm).

2.6.Informatika

Trigonometriya o'zining ta'siri bilan kompyuter fanini chetlab o'tmadi. Shunday qilib, uning funktsiyalari aniq hisob-kitoblar uchun qo'llaniladi. Rahmat hozirgi moment, biz har qanday (qaysidir ma'noda "yaxshi") funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirish orqali taxmin qilishimiz mumkin:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Raqamni eng mos tarzda tanlash jarayoni a0, a1, b1, a2, b2, ..., raqamlarni shunday (cheksiz) yig'indi ko'rinishida kerakli aniqlik bilan kompyuterda deyarli har qanday funktsiya bilan ifodalash mumkin. .

Trigonometriya grafik axborotni ishlab chiqish va ishlash jarayonida jiddiy rol va yordamga ega. Agar siz jarayonni simulyatsiya qilishingiz kerak bo'lsa, elektron shaklda tavsif bilan, ma'lum bir ob'ektning ma'lum bir o'q atrofida aylanishi bilan. Muayyan burchak orqali aylanish mavjud. Nuqtalarning koordinatalarini aniqlash uchun siz sinuslar va kosinuslar bilan ko'paytirishingiz kerak bo'ladi.

Demak, Google Grafika laboratoriyasida ishlovchi dasturchi va dizayner Jastin Uindellni misol qilib keltirishingiz mumkin. U dinamik animatsiyalarni yaratish uchun trigonometrik funktsiyalardan foydalanish misolini ko'rsatadigan demo joylashtirdi.

2.7.Qurilish va geodeziya sohasi

Trigonometriya bilan o'zaro ta'sir qiluvchi qiziqarli bo'lim qurilish va geodeziya sohasidir. Tomonlarning uzunliklari va tekislikdagi ixtiyoriy uchburchakning burchaklari ma'lum munosabatlar bilan o'zaro bog'langan bo'lib, ularning eng muhimi kosinus va sinus teoremalari deb ataladi. a, b, c ni o'z ichiga olgan formulalar harflar A, B, C burchaklariga qarama-qarshi bo'lgan uchburchak tomonlari bilan ifodalanganligini bildiradi. Bu formulalar uchburchakning uchta elementini - tomonlarning uzunliklarini va burchaklar - qolgan uchta elementni tiklash uchun. Ular amaliy masalalarni hal qilishda, masalan, geodeziyada qo'llaniladi.

Barcha "klassik" geodeziya trigonometriyaga asoslanadi. Haqiqatan ham, qadim zamonlardan beri tadqiqotchilar uchburchaklarni "echishlari" bilan hayratda qolishgan.

Binolar, yo'llar, ko'priklar va boshqa binolarni qurish jarayoni tadqiqotdan boshlanadi dizayn ishi. Istisnosiz, qurilish maydonchasidagi barcha o'lchovlar umumiy stansiya va trigonometrik daraja kabi geodezik asboblar yordamida amalga oshiriladi. Trigonometrik nivelirlash bilan yer yuzasidagi bir necha nuqtalar orasidagi balandlik farqi aniqlanadi.

2.8 San'at va arxitekturada trigonometriya

Inson er yuzida mavjud bo'lgan paytdan boshlab, fan kundalik hayot va hayotning boshqa sohalarini yaxshilash uchun asos bo'ldi. Inson tomonidan yaratilgan har bir narsaning asosini tabiiy va matematika fanlarining turli yo'nalishlari tashkil etadi. Ulardan biri geometriyadir. Arxitektura trigonometrik formulalar qo'llaniladigan yagona fan sohasi emas. Ko'pgina kompozitsion qarorlar va chizmalarni qurish aniq geometriya yordamida amalga oshirildi. Ammo nazariy ma'lumotlar juda oz narsani anglatadi. Oltin san'at davrining frantsuz ustasi tomonidan bitta haykal qurish misolini ko'rib chiqing.

Haykalni qurishda mutanosib munosabatlar mukammal edi. Biroq, haykal baland poygaga ko‘tarilganda, u xunuk ko‘rinardi. Haykaltarosh ko'plab detallar ufqqa qarab istiqbolda qisqarishini va pastdan yuqoriga qarab, uning idealligi haqidagi taassurot endi yaratilmasligini hisobga olmadi. Katta balandlikdagi raqam mutanosib ko'rinishi uchun juda ko'p hisob-kitoblar amalga oshirildi. Asosan, ular ko'rish usuliga, ya'ni ko'z bilan o'lchashga asoslangan edi. Biroq, ma'lum nisbatlarning farq koeffitsienti raqamni idealga yaqinroq qilish imkonini berdi. Shunday qilib, haykaldan ko'rish nuqtasigacha bo'lgan taxminiy masofani, ya'ni haykalning tepasidan inson ko'zlarigacha bo'lgan masofani va haykalning balandligini bilib, biz stol yordamida qarashning tushish burchagi sinusini hisoblashimiz mumkin, shu bilan nuqtai nazarni topamiz (9-rasm).

10-rasmda vaziyat o'zgaradi, chunki haykal AC balandligiga ko'tariladi va HC ko'tariladi, biz C burchakning kosinusini hisoblashimiz mumkin, jadvaldan foydalanib, biz qarashning tushish burchagini topamiz. Jarayonda siz AH ni, shuningdek C burchak sinusini hisoblashingiz mumkin, bu sizga natijalarni asosiy yordamida tekshirish imkonini beradi. trigonometrik identifikatsiya cos 2 a + gunoh 2 a = 1.

Birinchi va ikkinchi hollarda AH o'lchovlarini taqqoslab, proportsionallik koeffitsientini topish mumkin. Keyinchalik, biz chizilgan rasmni olamiz, keyin esa haykaltaroshlikni olamiz, ko'tarilganda, rasm idealga vizual ravishda yaqin bo'ladi.

Dunyo bo'ylab mashhur binolar arxitektura dahosi deb hisoblanishi mumkin bo'lgan matematika asosida yaratilgan. Bunday binolarning mashhur namunalari - Barselonadagi Gaudi bolalar maktabi, Londondagi Meri Axe, Ispaniyadagi Bodegas Isios vino zavodi va Argentinadagi Los Manantiales restorani. Ushbu binolarning dizayni trigonometriyadan xoli emas edi.

Xulosa

Trigonometriyaning nazariy va amaliy jihatlarini o‘rganib, bu soha ko‘plab fanlar bilan chambarchas bog‘liqligini angladim. Dastlab, trigonometriya burchaklar orasidagi o'lchovlarni amalga oshirish va o'lchash uchun zarur edi. Biroq, keyinchalik burchaklarni oddiy o'lchash trigonometrik funktsiyalarni o'rganadigan to'liq fanga aylandi. Trigonometriya va arxitektura, tabiat, tibbiyot va biologiya fizikasi o'rtasida yaqin bog'liqlik mavjud bo'lgan quyidagi sohalarni aniqlashimiz mumkin.

Shunday qilib, tibbiyotda trigonometrik funktsiyalar tufayli yurakning formulasi kashf qilindi, u 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametrdan iborat bo'lgan murakkab algebraik-trigonometrik tenglik bo'lib, aritmiya holatida qo'shimcha noto'g'ri hisoblash imkoniyatini o'z ichiga oladi. . Ushbu kashfiyot shifokorlarga yanada malakali va sifatli tibbiy yordam ko'rsatishga yordam beradi.

Shuni ham ta'kidlab o'tamiz. barcha klassik geodeziya trigonometriyaga asoslangan. Aslida, qadim zamonlardan beri tadqiqotchilar uchburchaklarni "echish" bilan shug'ullanishgan. Binolar, yo'llar, ko'priklar va boshqa inshootlarni qurish jarayoni qidiruv va loyihalash ishlaridan boshlanadi. Qurilish maydonchasidagi barcha o'lchovlar teodolit va trigonometrik daraja kabi o'lchash asboblari yordamida amalga oshiriladi. Trigonometrik nivelirlash bilan yer yuzasidagi bir necha nuqtalar orasidagi balandlik farqi aniqlanadi.

Uning boshqa sohalarga ta'siri bilan tanishib, trigonometriya inson hayotiga faol ta'sir qiladi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Matematikaning tashqi dunyo bilan aloqasi maktab o'quvchilarining bilimlarini "materiallashtirish" imkonini beradi. Buning yordamida biz maktabda o'rgatilgan bilim va ma'lumotlarni yanada adekvat idrok etishimiz va o'zlashtirishimiz mumkin.

Loyihamning maqsadi muvaffaqiyatli yakunlandi. Men trigonometriyaning hayotga ta'sirini va unga qiziqishning rivojlanishini o'rgandim.

Ushbu maqsadga erishish uchun biz quyidagi vazifalarni hal qildik:

1. Trigonometriyaning shakllanish va rivojlanish tarixi bilan tanishdik;

2. Trigonometriyaning faoliyatning turli sohalarida amaliy ta'siriga oid misollar ko'rib chiqildi;

3. Trigonometriyaning imkoniyatlari va uning inson hayotida qo‘llanilishini misollar bilan ko‘rsatdi.

Ushbu sohaning paydo bo'lish tarixini o'rganish maktab o'quvchilarida qiziqish uyg'otish, to'g'ri dunyoqarashni shakllantirish va o'rta maktab o'quvchisining umumiy madaniyatini oshirishga yordam beradi.

Ushbu ish trigonometriyaning go'zalligini hali ko'rmagan va uni atrofdagi hayotda qo'llash sohalari bilan tanish bo'lmagan o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'ladi.

Adabiyotlar ro'yxati

Glazer G.I.

Rybnikov K.A.

Adabiyotlar ro'yxati

A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin va boshqalar "Algebra va tahlilning boshlanishi" ta'lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik, M., Ta'lim, 2013 y.

Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi: VII-VIII sinf. - M.: Ta'lim, 2012.

Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi: IX-X hujayralar. - M.: Ta'lim, 2013 yil.

Rybnikov K.A. Matematika tarixi: Darslik. - M.: Moskva davlat universiteti nashriyoti, 1994 yil Va. - M.: magistratura, 2016. - 134 b.

Olechnik, S.N. Algebra, trigonometriya va elementar funktsiyalarga oid masalalar / S.N. Olekhnik. - M.: Oliy maktab, 2013. - 645 b.

Potapov, M.K. Algebra, trigonometriya va elementar funksiyalar / M.K. Potapov. - M.: Oliy maktab, 2014. - 586 b.

Potapov, M.K. Algebra. Trigonometriya va elementar funktsiyalar / M.K. Potapov, V.V. Aleksandrov, P.I. Pasichenko. - M.: [belgilanmagan], 2015. - 762 b.

1-ilova

1-rasmPiramida tasviri. Nishabni hisoblash b / h.

Goniometr Seked

Umuman olganda, piramidaning sekedini hisoblash uchun Misr formulasi o'xshaydi

Shunday qilib:.

Qadimgi Misr atamasi seked” qiyalik burchagini bildirgan. U balandlik bo'ylab, poydevorning yarmiga bo'lingan.

"Sharqiy tarafdagi piramidaning uzunligi 360 (tirsak), balandligi 250 (tirsak). Sharq tomonning qiyaligini hisoblashingiz kerak. Buning uchun 360 ning yarmini, ya'ni 180 ni oling. 180 ni bo'ling. 250. Siz olasiz: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 tirsak. E'tibor bering, bir tirsak 7 ta qo'l kengligiga teng. Endi olingan raqamlarni 7 ga ko'paytiring: "

2-rasmGnomon

3-rasm Quyoshning burchak balandligini aniqlash

4-rasm Trigonometriyaning asosiy formulalari

Fig.5 Trigonometriyada navigatsiya

Fig.6 Trigonometriyada fizika

Fig.7 Uch ritm nazariyasi

( Jismoniy tsikl 23 kun. Energiya, kuch, chidamlilik, harakatni muvofiqlashtirishni aniqlaydi; Hissiy tsikl 28 kun. Asab tizimining holati va kayfiyati; Intellektual tsikl - 33 kun. Shaxsning ijodiy qobiliyatini aniqlaydi)

Guruch. 8 Musiqadagi trigonometriya

9, 10-rasm Arxitekturada trigonometriya

align=center>

Trigonometriya- uchburchaklar tomonlarining burchaklari va uzunliklari o'rtasidagi bog'liqlikni, shuningdek trigonometrik funktsiyalarning algebraik o'ziga xosligini o'rganadigan matematikaning mikro bo'limi.
Trigonometriya va trigonometrik funktsiyalar qo'llaniladigan ko'plab sohalar mavjud. Trigonometriya yoki trigonometrik funktsiyalar astronomiya, dengiz va aeronavigatsiya, akustika, optika, elektronika, arxitektura va boshqa sohalarda qo'llaniladi.

Trigonometriyaning yaratilish tarixi

Trigonometriya tarixi, uchburchakning burchaklari va tomonlari va boshqalar o'rtasidagi munosabatlar haqidagi fan sifatida geometrik shakllar ikki ming yildan ortiq vaqtni qamrab oladi. Ushbu munosabatlarning aksariyatini oddiy algebraik operatsiyalar yordamida ifodalab bo'lmaydi, shuning uchun dastlab raqamli jadvallar shaklida taqdim etilgan maxsus trigonometrik funktsiyalarni kiritish kerak edi.
Tarixchilar trigonometriyani qadimgi astronomlar yaratgan deb hisoblashadi va birozdan keyin u me'morchilikda qo'llanila boshlandi. Vaqt o'tishi bilan trigonometriyaning ko'lami doimiy ravishda kengayib bordi, bugungi kunda u deyarli barchasini o'z ichiga oladi Tabiiy fanlar, texnologiya va boshqa bir qator faoliyat sohalari.

Ilk asrlar

Bobil matematikasidan biz burchaklarni daraja, daqiqa va soniyalarda o‘lchashga odatlanganmiz (bu birliklarning qadimgi yunon matematikasiga kiritilishi odatda miloddan avvalgi II asrga to‘g‘ri keladi).

Bu davrning asosiy yutug'i to'g'ri burchakli uchburchakda oyoq va gipotenuzaning nisbati bo'lib, keyinchalik Pifagor teoremasi deb ataladi.

Qadimgi Gretsiya

Trigonometrik munosabatlarning umumiy va mantiqiy izchil taqdimoti qadimgi yunon geometriyasida paydo bo'lgan. Yunon matematiklari hali trigonometriyani alohida fan sifatida ajratmaganlar, ular uchun bu astronomiyaning bir qismi edi.
Qadimgi trigonometrik nazariyaning asosiy yutug‘i “uchburchaklarni yechish”, ya’ni berilgan uchta element (ulardan kamida bittasi tomoni) asosida uchburchakning noma’lum elementlarini topish masalasini umumiy shaklda yechish edi.
Amaliy trigonometrik masalalar juda xilma-xildir - masalan, sanab o'tilgan kattaliklar (masalan, burchaklar yig'indisi yoki yon uzunliklarning nisbati) bo'yicha operatsiyalarning o'lchanadigan natijalarini belgilash mumkin.
Tekis trigonometriyaning rivojlanishi bilan bir qatorda, yunonlar astronomiya ta'sirida sferik trigonometriyani ancha ilgari surdilar. Evklidning ushbu mavzu bo'yicha "Prinsiplari" da faqat turli diametrli sharlar hajmlarining nisbati haqidagi teorema mavjud, ammo astronomiya va kartografiyaning ehtiyojlari sabab bo'ldi. tez rivojlanish sferik trigonometriya va tegishli sohalar - tizimlar samoviy koordinatalar, kartografik proyeksiyalar nazariyasi, astronomik asboblar texnologiyasi.

O'rta yosh

IV asrda antik fan vafot etgandan so`ng matematikaning rivojlanish markazi Hindistonga ko`chdi. Ular trigonometriyaning ba'zi tushunchalarini o'zgartirib, ularni zamonaviy tushunchalarga yaqinlashtirdilar: masalan, ular birinchi bo'lib kosinusni foydalanishga kiritdilar.

Trigonometriyaga oid birinchi maxsus risola Oʻrta Osiyolik olimning (X-XI asr) “Astronomiya fanining kalitlari kitobi” (995-996) asaridir. Trigonometriyaning butun kursi Al-Beruniyning asosiy asari - "Mas'ud qonunlari" (III kitob)ni o'z ichiga olgan. Al-Beruniy sinuslar jadvallariga qo'shimcha ravishda (15 "qadam bilan) tangentlar jadvallarini (1 ° qadam bilan) bergan.

XII-XIII asrlarda arab risolalari lotin tiliga tarjima qilingandan so‘ng hind va fors matematiklarining ko‘plab g‘oyalari Yevropa fanining mulkiga aylandi. Ko'rinishidan, evropaliklarning trigonometriya bilan birinchi tanishuvi 12-asrda ikkita tarjima qilingan zij tufayli sodir bo'lgan.

To'liq trigonometriyaga bag'ishlangan birinchi Evropa ishi ko'pincha ingliz astronomi Richard Uollingford tomonidan "To'g'ridan-to'g'ri va teskari akkordlar bo'yicha to'rtta risola" deb ataladi (taxminan 1320). Trigonometrik jadvallar, ko'pincha arab tilidan tarjima qilingan, lekin ba'zan original, 14-15-asrlarning bir qator boshqa mualliflarining asarlarida mavjud. Keyin trigonometriya universitet kurslari orasida o'z o'rnini egalladi.

yangi vaqt

Hozirgi zamonda trigonometriyaning rivojlanishi nafaqat astronomiya va astrologiya uchun, balki boshqa ilovalar, birinchi navbatda, artilleriya, optika va uzoq masofalarga dengiz sayohatlari paytida navigatsiya uchun ham juda muhim bo'ldi. Shu sababli, 16-asrdan keyin ko'plab taniqli olimlar, jumladan, Nikolay Kopernik, Iogannes Kepler, Fransua Vyet kabi ko'plab taniqli olimlar shug'ullanishdi. Kopernik oʻzining “Osmon sferalarining inqiloblari toʻgʻrisida” (1543) risolasida trigonometriyaga ikki bob bagʻishlagan. Tez orada (1551) Kopernik shogirdi Retikning 15 xonali trigonometrik jadvallari paydo bo'ldi. Kepler "Optik astronomiya" ni nashr etdi (1604).

Vieta o'zining "Matematik kanon" (1579) ning birinchi qismida turli xil jadvallarni, shu jumladan trigonometrik jadvallarni joylashtirdi va ikkinchi qismida u tekis va sferik trigonometriyani isbotsiz, batafsil va tizimli ravishda taqdim etdi. 1593 yilda Veta ushbu kapital asarning kengaytirilgan nashrini tayyorladi.
Albrecht Dyurerning ishi tufayli sinusoid tug'ildi.

18-asr

U trigonometriyaga zamonaviy ko'rinish berdi. Eyler “Cheksizlar tahliliga kirish” (1748) risolasida zamonaviyga ekvivalent trigonometrik funksiyalarga ta’rif berdi va shunga mos ravishda teskari funksiyalarni belgiladi.

Eyler manfiy burchaklar va 360° dan katta burchaklarni joiz deb hisobladi, bu esa butun haqiqiy sonlar chizigʻida trigonometrik funksiyalarni aniqlash va keyin ularni kompleks tekislikka choʻzish imkonini berdi. Trigonometrik funksiyalarni o'tmas burchaklarga kengaytirish masalasi tug'ilganda, Eylergacha bo'lgan bu funktsiyalarning belgilari ko'pincha noto'g'ri tanlangan; ko'pgina matematiklar, masalan, o'tmas burchakning kosinus va tangensini musbat deb hisoblashgan. Eyler turli koordinatali kvadrantlardagi burchaklar uchun bu belgilarni qisqartirish formulalari asosida aniqladi.
Eyler trigonometrik qatorlarning umumiy nazariyasini o‘rganmagan va olingan qatorlarning yaqinlashuvini tekshirmagan, biroq u bir qancha muhim natijalarga erishgan. Xususan, u sinus va kosinusning butun son darajalarining kengayishlarini keltirib chiqardi.

Trigonometriyani qo'llash

Haqiqiy hayotda trigonometriya kerak emas deganlar o'zlariga qaraganda to'g'ri. Xo'sh, uning odatiy amaliy vazifalari qanday? Olib bo'lmaydigan ob'ektlar orasidagi masofani o'lchang.
Astronomiyada yaqin yulduzlargacha, geografiyaning diqqatga sazovor joylari orasidagi masofani o'lchash va sun'iy yo'ldosh navigatsiya tizimlarini boshqarish imkonini beruvchi triangulyatsiya texnikasi katta ahamiyatga ega. Navigatsiya texnologiyasi, musiqa nazariyasi, akustika, optika, moliyaviy bozor tahlili, elektronika, ehtimollar nazariyasi, statistika, biologiya, tibbiyot (jumladan, ultratovush va kompyuter tomografiyasi), farmatsevtika, kimyo, raqamlar nazariyasi kabi sohalarda trigonometriyani qo'llash ham diqqatga sazovordir. (va natijada kriptografiya), seysmologiya, meteorologiya, okeanologiya, kartografiya, fizikaning ko'plab sohalari, topografiya va geodeziya, arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektron muhandislik, mashinasozlik, kompyuter grafikasi, kristallografiya va boshqalar.
Xulosa: trigonometriya kundalik hayotimizda katta yordamchidir.

Astronomiyada trigonometriya:

Uchburchaklarni yechish zarurati birinchi marta astronomiyada kashf etilgan; shuning uchun ham uzoq vaqt davomida trigonometriya astronomiyaning tarmoqlaridan biri sifatida ishlab chiqilgan va oʻrganilgan.

Gipparx tomonidan tuzilgan Quyosh va Oyning pozitsiyalari jadvallari tutilishning boshlanishi momentlarini (1-2 soatlik xato bilan) oldindan aytishga imkon berdi. Gipparx astronomiyada sferik trigonometriya usullarini birinchi bo'lib qo'llagan. U yulduzni yulduzga yo'naltirish uchun goniometrik asboblar - sekstantlar va kvadrantlardagi iplardan foydalangan holda kuzatishlarning aniqligini oshirdi. Olim o'sha paytdagi ulkan 850 yulduzning joylashuvi katalogini tuzdi va ularni yorqinligi bo'yicha 6 darajaga (kattalik) ajratdi. Gipparx geografik koordinatalarni - kenglik va uzunlikni kiritdi va uni matematik geografiyaning asoschisi deb hisoblash mumkin. (miloddan avvalgi 190-yillar - miloddan avvalgi 120-yillar)

Berilgan uchta elementdan tekis yoki sharsimon uchburchakning barcha elementlarini aniqlash masalasining to‘liq yechimi, sin nx va cos nx ning cos x va sinx darajalarida muhim kengayishlari. Ko'p yoylarning sinuslari va kosinuslari formulasini bilish Vyetga matematik A. Roomen tomonidan taklif qilingan 45-darajali tenglamani yechish imkonini berdi; Viet bu tenglamaning yechimi burchakni 45 ta teng qismga bo'lishdan iborat ekanligini va bu tenglamaning 23 ta musbat ildizi borligini ko'rsatdi. Vyet Apolloniyning muammosini o'lchagich va kompas bilan hal qildi.
Sferik uchburchaklarni yechish astronomiyaning vazifalaridan biridir.Har qanday sharsimon uchburchakning tomonlari va burchaklarini uchta mos berilgan tomondan yoki burchaklardan quyidagi teoremalardan foydalanib hisoblang: (sinus teoremasi) (burchaklar uchun kosinus teoremasi) (tomonlar uchun kosinus teoremasi).

Fizikada trigonometriya:

tebranish hodisalarining turlari.

Garmonik tebranish - bu qandaydir miqdorning davriy o'zgarishi hodisasi bo'lib, unda argumentga bog'liqlik sinus yoki kosinus funksiyasi xarakteriga ega. Masalan, vaqt bo'yicha quyidagicha o'zgarib turadigan miqdor garmonik ravishda o'zgaradi:

Bu erda x - o'zgaruvchan miqdorning qiymati, t - vaqt, A - tebranishlarning amplitudasi, ō - tebranishlarning tsiklik chastotasi, tebranishlarning to'liq fazasi, r - tebranishlarning boshlang'ich fazasi.

Mexanik tebranishlar . Mexanik tebranishlar

Tabiatdagi trigonometriya.

Biz tez-tez savol beramiz

Bittasi asosiy xususiyatlar
biologik jarayonlarning tabiati va intensivligidagi ko'p yoki kamroq muntazam o'zgarishlardir.
Asosiy yer ritmi- har kuni.

Biologiyada trigonometriya

Trigonometriya tibbiyotda muhim rol o'ynaydi. Uning yordami bilan Eron olimlari yurak formulasini - 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametrdan, jumladan, aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat murakkab algebraik-trigonometrik tenglikni kashf etdilar.

diatonik shkala 2:3:5

Arxitekturada trigonometriya

Londondagi Swiss Re Insurance Corporation

Izoh

Biz trigonometrik funktsiyalarni topishingiz mumkin bo'lgan kichik bir qismni berdik .. Biz bilib oldik

Biz trigonometriyaning fizika bilan chambarchas bog'liqligini, tabiatda, tibbiyotda uchraydiganligini isbotladik. Jonli va jonsiz tabiatning davriy jarayonlariga cheksiz ko'p misollar keltirish mumkin. Barcha davriy jarayonlarni trigonometrik funktsiyalar yordamida tasvirlash va grafiklarda tasvirlash mumkin

Bizning fikrimizcha, trigonometriya bizning hayotimizda va sohalarda aks etadi

unda muhim rol o'ynaydigan joy kengayadi.

Topmoq trigonometriya burchaklarni oʻlchash zarurati bilan hayotga tatbiq etilgan, ammo vaqt oʻtishi bilan u trigonometrik funksiyalar faniga aylangan.
Isbotlangan
Biz o'ylaymiz

Hujjat tarkibini ko'rish
"Danilova T.V.-stsenariy"

MKOU "Nenets o'rta maktabi - maktab-internati. A.P. Pyrerki"

Ta'lim loyihasi

" "

Danilova Tatyana Vladimirovna

Matematika o'qituvchisi

Loyihaning dolzarbligi uchun asoslar.

Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarni o'rganadigan matematikaning bo'limi. Tasavvur qilish qiyin, lekin biz bu fanga nafaqat matematika darslarida, balki kundalik hayotimizda ham duch kelamiz. Siz bundan bexabar bo'lishingiz mumkin, lekin trigonometriya fizika, biologiya kabi fanlarda uchraydi, u tibbiyotda muhim o'rin tutadi, eng qizig'i, hatto musiqa va arxitektura ham busiz qila olmaydi.
Trigonometriya so'zi birinchi marta 1505 yilda nemis matematigi Pitiskusning kitobi sarlavhasida uchraydi.
Trigonometriya yunoncha soʻz boʻlib, tom maʼnoda uchburchaklar oʻlchovi (trigonan — uchburchak, metro — oʻlchayman) degan maʼnoni bildiradi.
Trigonometriyaning paydo bo'lishi yer o'rganish, astronomiya va qurilish bilan chambarchas bog'liq edi.

14-15 yoshli maktab o'quvchisi har doim ham bilmaydi qayerga boradi o'qish va qayerda ishlash.
Ayrim kasblar uchun uning bilimi zarur, chunki. astronomiyada yaqin yulduzlargacha bo'lgan masofani, geografiyaning diqqatga sazovor joylari orasidagi masofani o'lchash, sun'iy yo'ldosh navigatsiya tizimlarini boshqarish imkonini beradi. Trigonometriya tamoyillari musiqa nazariyasi, akustika, optika, moliyaviy bozor tahlili, elektronika, ehtimollar nazariyasi, statistika, biologiya, tibbiyot (jumladan, ultratovush va kompyuter tomografiyasi), farmatsevtika, kimyo, raqamlar nazariyasi (va, kabi) kabi sohalarda ham qo'llaniladi. natija, kriptografiya), seysmologiya, meteorologiya, okeanologiya, kartografiya, fizikaning koʻpgina tarmoqlari, topografiya va geodeziya, arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektron texnika, mashinasozlik, kompyuter grafikasi, kristallografiya.

Tadqiqot predmetining ta'rifi

3. Loyiha maqsadlari.

muammoli savol
1. Hayotda trigonometriyaning qanday tushunchalari ko‘proq qo‘llaniladi?
2. Trigonometriya astronomiya, fizika, biologiya va tibbiyotda qanday rol o‘ynaydi?
3. Arxitektura, musiqa va trigonometriya qanday bog‘langan?

Gipoteza

Gipotezani tekshirish

Trigonometriya (yunon tilidan.trigonon - uchburchak,metro - metr) -

Trigonometriya tarixi:

Qadimgi odamlar daraxtning balandligini uning soyasining uzunligini balandligi ma'lum bo'lgan qutb soyasining uzunligi bilan taqqoslab hisoblagan. Yulduzlar kemaning dengizdagi joylashuvini hisoblab chiqdilar.

Trigonometriyaning rivojlanishidagi navbatdagi qadam 5—12-asrlarda hindlar tomonidan qoʻyilgan.

Kosinus atamasining o'zi ancha keyinroq Evropa olimlari asarlarida birinchi marta 16-asrning oxirida "to'ldiruvchi sinus" deb ataladigan narsadan paydo bo'lgan, ya'ni. berilgan burchakni 90° gacha toʻldiruvchi burchak sinusi. "Sine complementi" yoki (lotin tilida) sinus complementi sinus ko yoki ko-sinus deb qisqartirila boshlandi.

XVII - XIX asrlarda. trigonometriya matematik analizning boblaridan biriga aylanadi.

U mexanika, fizika va texnologiyada, ayniqsa tebranish harakatlarini va boshqa davriy jarayonlarni o'rganishda katta qo'llaniladi.

Jan Furye har qanday davriy harakatni (har qanday aniqlik darajasida) oddiy garmonik tebranishlar yig'indisi sifatida tasvirlash mumkinligini isbotladi.

matematik tahlil tizimiga kiritiladi.

Trigonometriya qayerda qo'llaniladi?

Trigonometrik hisoblar inson hayotining deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. Astronomiya, fizika, tabiat, biologiya, musiqa, tibbiyot va boshqa ko'plab sohalarda qo'llanilishini ta'kidlash kerak.

Astronomiyada trigonometriya:

Vyetaning trigonometriyadagi yutuqlari
Berilgan uchta elementdan tekis yoki sharsimon uchburchakning barcha elementlarini aniqlash masalasining to‘liq yechimi, sin nx va cos nx ning cos x va sinx darajalarida muhim kengayishlari. Ko'p yoylarning sinuslari va kosinuslari formulasini bilish Vyetga matematik A. Roomen tomonidan taklif qilingan 45-darajali tenglamani yechish imkonini berdi; Viet bu tenglamaning yechimi burchakni 45 ta teng qismga bo'lishdan iborat ekanligini va bu tenglamaning 23 ta musbat ildizi borligini ko'rsatdi. Vyet Apolloniyning muammosini o'lchagich va kompas bilan hal qildi.
Sferik uchburchaklarni yechish astronomiyaning vazifalaridan biridir.Har qanday sharsimon uchburchakning tomonlari va burchaklarini uchta mos berilgan tomondan yoki burchaklardan quyidagi teoremalardan foydalanib hisoblang: (sinus teoremasi) (burchaklar uchun kosinus teoremasi) (tomonlar uchun kosinus teoremasi).

Fizikada trigonometriya:

Atrofimizdagi dunyoda biz muntazam ravishda takrorlanadigan davriy jarayonlar bilan shug'ullanishimiz kerak. Bu jarayonlar tebranish deb ataladi. Turli xil jismoniy tabiatdagi tebranish hodisalari umumiy qonunlarga bo'ysunadi va bir xil tenglamalar bilan tavsiflanadi. Turli xillari bor tebranish hodisalarining turlari.

garmonik tebranish- argumentga bog'liqlik sinus yoki kosinus funksiyasi xarakteriga ega bo'lgan miqdorning davriy o'zgarishi hodisasi. Masalan, vaqt bo'yicha quyidagicha o'zgarib turadigan miqdor garmonik ravishda o'zgaradi:

Umumlashtirilgan garmonik tebranish x'' + ŉ²x = 0 differensial ko'rinishda.

Mexanik tebranishlar . Mexanik tebranishlar bir xil vaqt oralig'ida aynan takrorlanadigan jismlarning harakatlari deyiladi. Grafik tasvir Bu funktsiya tebranish jarayonining vaqt bo'yicha borishini vizual tarzda taqdim etadi. Oddiy mexanik tebranish tizimlariga misollar prujinali yoki matematik mayatnikdagi og'irlikdir.

Tabiatdagi trigonometriya.

Biz tez-tez savol beramiz Nega biz ba'zida haqiqatda mavjud bo'lmagan narsalarni ko'ramiz?. Tadqiqot uchun quyidagi savollar taklif etiladi: “Kamalak qanday paydo bo'ladi? Shimoliy chiroqlar?", "Nima optik illyuziyalar? ,"Trigonometriya bu savollarga qanday javob berishi mumkin?".

Kamalak nazariyasi birinchi marta 1637 yilda Rene Dekart tomonidan berilgan. U kamalakni yorug'likning yomg'ir tomchilarida aks etishi va sinishi bilan bog'liq hodisa sifatida tushuntirdi.

Aurora Borealis Quyosh shamolining zaryadlangan zarralarining sayyoralarning yuqori atmosferasiga kirib borishi sayyora magnit maydonining quyosh shamoli bilan o'zaro ta'siri bilan belgilanadi.

Magnit maydonda harakatlanuvchi zaryadlangan zarrachaga ta'sir qiluvchi kuch Lorents kuchi deb ataladi. U zarrachaning zaryadiga va maydonning vektor mahsulotiga va zarracha tezligiga proportsionaldir.

Amerikalik olimlarning ta'kidlashicha, miya yer tekisligi va ko'rish tekisligi orasidagi burchakni o'lchash orqali ob'ektlargacha bo'lgan masofani taxmin qiladi.

Bundan tashqari, biologiya karotid sinus, karotid sinus va venoz yoki kavernöz sinus kabi tushunchadan foydalanadi.

Trigonometriya tibbiyotda muhim rol o'ynaydi. Uning yordami bilan Eron olimlari yurak formulasini - 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametrdan, jumladan, aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat murakkab algebraik-trigonometrik tenglikni kashf etdilar.

Bittasi asosiy xususiyatlar tirik tabiat - unda sodir bo'ladigan jarayonlarning ko'pchiligining tsikli.

Biologik ritmlar, bioritmlar

Asosiy yer ritmi- har kuni.

Bioritmlar modeli trigonometrik funksiyalar yordamida tuzilishi mumkin.

Biologiyada trigonometriya

Trigonometriya qanday biologik jarayonlar bilan bog'liq?

Trigonometriya bilan bog'liq biologik ritmlar, bioritmlar

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari yordamida bioritmlar modeli tuzilishi mumkin. Buning uchun siz shaxsning tug'ilgan sanasini (kun, oy, yil) va prognozning davomiyligini kiritishingiz kerak.

Baliqlarning suvdagi harakati sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra sodir bo'ladi, agar siz quyruqdagi nuqtani o'rnatsangiz va keyin harakat traektoriyasini hisobga olsangiz.

Musiqiy garmoniyaning paydo bo'lishi

Qadim zamonlardan kelgan afsonalarga ko'ra, buni birinchi bo'lib Pifagor va uning shogirdlari qilishga harakat qilganlar.

Birinchi, ikkinchi va hokazolarda bir xil notaga mos keladigan chastotalar. oktavalar 1:2:4:8 kabi bog'langan ...

diatonik shkala 2:3:5

Arxitekturada trigonometriya

Barselonadagi Gaudi bolalar maktabi

Londondagi Swiss Re Insurance Corporation

Los Manantialesdagi Feliks Kandela restorani

Izoh

Biz trigonometrik funksiyalarni topish mumkin bo'lgan joyning faqat kichik bir qismini keltirdik.. Biz trigonometriya burchaklarni o'lchash zarurati bilan hayotga tatbiq etilganini aniqladik, ammo vaqt o'tishi bilan u trigonometrik funktsiyalar faniga aylandi.

Bizning fikrimizcha, trigonometriya bizning hayotimizda va sohalarda aks etadi

unda muhim rol o'ynaydigan joy kengayadi.

Topmoq trigonometriya burchaklarni oʻlchash zarurati bilan hayotga tatbiq etilgan, ammo vaqt oʻtishi bilan u trigonometrik funksiyalar faniga aylangan.

Isbotlangan trigonometriya tabiatda, musiqada, astronomiyada va tibbiyotda uchraydigan fizika bilan chambarchas bog'liq.

Biz o'ylaymiz trigonometriya hayotimizda o‘z aksini topadi va uning muhim rol o‘ynaydigan sohalari kengayadi.

7. Adabiyot.

Grafiklar tasvirini amalga oshiradigan Maple6 dasturi

"Vikipediya"

Study.ru

Math.ru "kutubxona"

Taqdimot mazmunini ko'rish
"Danilova T.V."

" Atrofimizdagi va inson hayotidagi trigonometriya "

Tadqiqot maqsadlari:

Trigonometriyaning real hayot bilan aloqasi.

muammoli savol 1. Hayotda trigonometriyaning qanday tushunchalari ko‘proq qo‘llaniladi? 2. Trigonometriya astronomiya, fizika, biologiya va tibbiyotda qanday rol o‘ynaydi? 3. Arxitektura, musiqa va trigonometriya qanday bog‘liq?

Gipoteza

Tabiatning aksariyat jismoniy hodisalari, fiziologik jarayonlar, musiqa va san'atdagi naqshlarni trigonometriya va trigonometrik funktsiyalar yordamida tasvirlash mumkin.

Trigonometriya nima???

Trigonometriya (yunoncha trigonon - uchburchak, metro - metr) - uchburchaklar tomonlari burchaklari va uzunliklari oʻrtasidagi bogʻliqlikni hamda trigonometrik funksiyalarning algebraik oʻziga xosligini oʻrganuvchi matematikaning mikro boʻlimi.

Trigonometriya tarixi

Trigonometriyaning kelib chiqishi 3000 yil avval qadimgi Misr, Bobil va Hind vodiysiga borib taqaladi.

Trigonometriya so'zi birinchi marta 1505 yilda nemis matematigi Pitiskusning kitobi sarlavhasida uchraydi.

Birinchi marta uchburchaklarni uchburchak tomonlari va burchaklari oʻrtasidagi bogʻliqliklarga asoslangan yechish usullari qadimgi yunon astronomlari Gipparx va Ptolemey tomonidan topilgan.

Qadimgi odamlar daraxtning balandligini uning soyasining uzunligini balandligi ma'lum bo'lgan qutb soyasining uzunligi bilan taqqoslab hisoblagan.

Yulduzlar kemaning dengizdagi joylashuvini hisoblab chiqdilar.

Trigonometriyaning rivojlanishidagi navbatdagi qadam 5—12-asrlarda hindlar tomonidan qoʻyilgan.

IN yunonlardan farqi eytsy MM butun akkordni emas, balki hisob-kitoblarda ko'rib chiqa boshladi va foydalana boshladi  mos keladigan markaziy burchak, lekin faqat uning yarmi MP, ya'ni sinus  markaziy burchakning yarmi.

Kosinus atamasining o'zi ancha keyinroq Evropa olimlarining asarlarida birinchi marta 16-asr oxirida paydo bo'lgan. « sinus qo'shimchasi » , ya'ni. berilgan burchakni 90 ga to'ldiruvchi burchakning sinusi  . « Sinus qo'shilishi » yoki (lotin tilida) sinus complementi sinus co yoki co-sinus sifatida qisqartirildi.

Sinus bilan bir qatorda hindular trigonometriyani kiritdilar kosinus , aniqrog'i, ular hisob-kitoblarida kosinus chizig'idan foydalana boshladilar. Ular cos nisbatlarini ham bilishardi  =sin(90  -  ) va gunoh 2  + cos 2  =r 2 , shuningdek, ikki burchakning yig'indisi va ayirmasining sinusi uchun formulalar.

XVII - XIX asrlarda. trigonometriyaga aylanadi

matematik tahlil boblaridan biri.

U mexanikada juda yaxshi qo'llanilishini topadi,

fizika va texnologiya, ayniqsa o'qish paytida

tebranish harakatlari va boshqalar

davriy jarayonlar.

Vyet trigonometrik funktsiyalarning davriyligining xususiyatlari haqida bilar edi, ularning birinchi matematik tadqiqotlari trigonometriya bilan bog'liq edi.

Har bir davriy ekanligini isbotladi

harakat bo'lishi mumkin

taqdim etilgan (har qanday daraja bilan

aniqlik) oddiy yig'indisi sifatida

garmonik tebranishlar.

asoschisi analitik

nazariyalar

trigonometrik funktsiyalari .

Leonhard Eyler

"Cheksizlar tahliliga kirish"da (1748)

sinus, kosinus va boshqalarni davolaydi. yoqmaydi

trigonometrik chiziqlar, zarur

doira bilan bog'liq, lekin qanday qilib

trigonometrik funktsiyalar, qaysi

munosabat sifatida qaraladi

to'g'ri burchakli uchburchak raqamli sifatida

miqdorlar.

Mening formulalarimdan chiqarib tashlangan

R - butun sinus, qabul qilish

R = 1 va shunday soddalashtirilgan

yozish va hisoblash usuli.

Doktrinani ishlab chiqadi

trigonometrik funktsiyalar haqida

har qanday argument.

19-asrda davom etdi

nazariyani ishlab chiqish

trigonometrik

funktsiyalari.

N.I.Lobachevskiy

"Geometrik mulohazalar, - deb yozadi Lobachevskiy, - trigonometriyaning boshiga qadar, trigonometrik funktsiyalarning o'ziga xos xususiyatini kashf qilish uchun xizmat qilguncha zarur ... Demak, trigonometriya geometriyadan butunlay mustaqil bo'lib qoladi va tahlilning barcha afzalliklariga ega bo'ladi".

Trigonometriyaning rivojlanish bosqichlari:

Trigonometriya burchaklarni o'lchash zarurati bilan hayotga kirdi.

Trigonometriyadagi dastlabki qadamlar burchakning kattaligi va maxsus tuzilgan chiziq segmentlarining nisbati o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish edi. Natijada tekis uchburchaklarni echish qobiliyati.

Kiritilgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini jadvalga kiritish zarurati.

Trigonometrik funktsiyalar mustaqil tadqiqot ob'ektiga aylandi.

XVIII asrda. trigonometrik funksiyalar yoqilgan

matematik tahlil tizimiga kiritiladi.

Trigonometriya qayerda qo'llaniladi?

Trigonometrik hisoblar inson hayotining deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. Astronomiya, fizika, tabiat, biologiya, musiqa, tibbiyot va boshqa ko'plab sohalarda qo'llanilishini ta'kidlash kerak.

Astronomiyada trigonometriya

Trigonometriya hind o'rta asr astronomlari orasida ham sezilarli cho'qqilarga chiqdi.

Hind astronomlarining asosiy yutug'i akkordlarni almashtirish edi

kirishga imkon yaratgan sinuslar turli funktsiyalar bog'liq

to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari bilan.

Shunday qilib, Hindistonda trigonometriyaning boshlanishi qo'yildi.

trigonometrik miqdorlar haqidagi ta'limot sifatida.

Gipparx tomonidan tuzilgan Quyosh va Oyning pozitsiyalari jadvallari tutilishning boshlanishi momentlarini (1-2 soatlik xato bilan) oldindan aytishga imkon berdi. Gipparx astronomiyada sferik trigonometriya usullarini birinchi bo'lib qo'llagan. U yulduzni yulduzga yo'naltirish uchun goniometrik asboblar - sekstantlar va kvadrantlardagi iplar yordamida kuzatishlarning aniqligini oshirdi. Olim o'sha paytdagi ulkan 850 yulduzning joylashuvi katalogini tuzdi va ularni yorqinligi bo'yicha 6 darajaga (kattalik) ajratdi. Gipparx geografik koordinatalarni - kenglik va uzunlikni kiritdi va uni matematik geografiyaning asoschisi deb hisoblash mumkin. (miloddan avvalgi 190-yillar - miloddan avvalgi 120-yillar)

Gipparx

Fizikada trigonometriya

Mexanik tebranishlar

Garmonik tebranishlar

Garmonik tebranishlar

garmonik tebranish - argumentga bog'liqlik sinus yoki kosinus funksiyasi xarakteriga ega bo'lgan miqdorning davriy o'zgarishi hodisasi. Masalan, vaqt bo'yicha quyidagicha o'zgarib turadigan miqdor garmonik ravishda o'zgaradi:

yoki

X'' + ŉ²x = 0 differensial ko'rinishdagi umumlashgan garmonik tebranish.

Mexanik tebranishlar

Mexanik tebranishlar bir xil vaqt oralig'ida aynan takrorlanadigan jismlarning harakatlari deyiladi. Ushbu funktsiyaning grafik tasviri tebranish jarayonining vaqt bo'yicha borishini vizual tarzda taqdim etadi.

Oddiy mexanik tebranish tizimlariga misollar prujinali yoki matematik mayatnikdagi og'irlikdir.

Matematik mayatnik

Rasmda mayatnikning tebranishlari ko'rsatilgan, u kosinus deb ataladigan egri chiziq bo'ylab harakatlanadi.

X va Y o'qlarida o'q traektoriyasi va vektor proyeksiyalari

Rasmdan ko'rinib turibdiki, vektorlarning X va Y o'qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda

y x = y o cos a

y y = y o sin a

Tabiatdagi trigonometriya

Biz tez-tez savol beramiz Nega biz ba'zida haqiqatda mavjud bo'lmagan narsalarni ko'ramiz?. Tadqiqot uchun quyidagi savollar taklif etiladi: “Kamalak qanday paydo bo'ladi? Shimoliy yorug'lik?", "Optik illuziyalar nima?" ,"Trigonometriya bu savollarga qanday javob berishi mumkin?".

optik illyuziyalar

tabiiy

sun'iy

aralashgan

kamalak nazariyasi

Kamalak quyosh nuri havoda muallaq turgan suv tomchilari tomonidan sinishi natijasida hosil bo'ladi. sinishi qonuni:

Kamalak nazariyasi birinchi marta 1637 yilda Rene Dekart tomonidan berilgan. U kamalakni yorug'likning yomg'ir tomchilarida aks etishi va sinishi bilan bog'liq hodisa sifatida tushuntirdi.

gunoh α / gunoh β =n 1 /n 2

bu erda n 1 \u003d 1, n 2 ≈1,33 havo va suvning sinishi ko'rsatkichlari, mos ravishda a - tushish burchagi va b - yorug'lik sinishi burchagi.

Shimoliy yog'du

Quyosh shamolining zaryadlangan zarrachalarining sayyoralarning yuqori atmosferasiga kirib borishi sayyora magnit maydonining quyosh shamoli bilan o'zaro ta'siri bilan belgilanadi.

Amerikalik olimlarning ta'kidlashicha, miya yer tekisligi va ko'rish tekisligi orasidagi burchakni o'lchash orqali ob'ektlargacha bo'lgan masofani taxmin qiladi.

Bundan tashqari, biologiya karotid sinus, karotid sinus va venoz yoki kavernöz sinus kabi tushunchadan foydalanadi.

Trigonometriya tibbiyotda muhim rol o'ynaydi. Uning yordami bilan Eron olimlari yurak formulasini - 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametrdan, jumladan, aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat murakkab algebraik-trigonometrik tenglikni kashf etdilar.

Bittasi asosiy xususiyatlar tirik tabiat - unda sodir bo'ladigan jarayonlarning ko'pchiligining tsikli.

Biologik ritmlar, bioritmlar biologik jarayonlarning tabiati va intensivligidagi ko'p yoki kamroq muntazam o'zgarishlardir.

Asosiy yer ritmi- har kuni.

Bioritmlar modeli trigonometrik funksiyalar yordamida tuzilishi mumkin.

Biologiyada trigonometriya

Trigonometriya qanday biologik jarayonlar bilan bog'liq?

Trigonometriya tibbiyotda muhim rol o'ynaydi. Uning yordami bilan Eron olimlari yurak formulasini - 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametrdan, jumladan, aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat murakkab algebraik-trigonometrik tenglikni kashf etdilar.
Biologik ritmlar, bioritmlar trigonometriya bilan bog'liq.

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari yordamida bioritmlar modeli tuzilishi mumkin.

Buning uchun siz shaxsning tug'ilgan kunini (kun, oy, yil) va prognozning davomiyligini kiritishingiz kerak.

Biologiyada trigonometriya

Baliqlarning suvdagi harakati sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra sodir bo'ladi, agar siz quyruqdagi nuqtani o'rnatsangiz va keyin harakat traektoriyasini hisobga olsangiz.

Suzayotganda baliq tanasi y=tgx funksiya grafigiga o'xshash egri chiziq shaklini oladi.

Musiqiy garmoniyaning paydo bo'lishi

Qadim zamonlardan kelgan afsonalarga ko'ra, buni birinchi bo'lib Pifagor va uning shogirdlari qilishga harakat qilganlar.

Tegishli chastotalar

birinchi, ikkinchi va hokazolarda bir xil eslatma. oktavalar 1:2:4:8 kabi bog'langan ...

diatonik shkala 2:3:5

Musiqa o'ziga xos geometriyaga ega

To'rt tovushning turli xil akkordlarining tetraedrlari:

ko'k - kichik intervallar;

issiqroq ohanglar - ko'proq "zaryadlangan" akkord tovushlari; qizil shar - notalar orasidagi teng intervalli eng uyg'un akkord.

cos 2 C + gunoh 2 C = 1

AC- haykalning tepasidan odamning ko'zlarigacha bo'lgan masofa;

AN- haykalning balandligi,

gunoh C tushish burchagi sinusidir.

Arxitekturada trigonometriya

Barselonadagi Gaudi bolalar maktabi

Swiss Re Insurance Corporation Londonda

y = f(l)cos th

z = f(l)sin th

Feliks Kandela Los Manantialesdagi restoran

Topmoq trigonometriya burchaklarni oʻlchash zarurati bilan hayotga tatbiq etilgan, ammo vaqt oʻtishi bilan u trigonometrik funksiyalar faniga aylangan.

Isbotlangan trigonometriya tabiatda, musiqada, astronomiyada va tibbiyotda uchraydigan fizika bilan chambarchas bog'liq.

Biz o'ylaymiz trigonometriya hayotimizda o‘z aksini topadi va uning muhim rol o‘ynaydigan sohalari kengayadi.

Trigonometriya rivojlanishda uzoq yo'lni bosib o'tdi. Endi esa ishonch bilan aytishimiz mumkinki, trigonometriya boshqa fanlarga bog‘liq emas, boshqa fanlar esa trigonometriyaga bog‘liq.

Maslova T.N. "Talabalar uchun matematika qo'llanmasi"
Grafiklar tasvirini amalga oshiradigan Maple6 dasturi
"Vikipediya"
Study.ru
Math.ru "kutubxona"
Qadim zamonlardan boshlab matematika tarixi XIX boshi asr 3 jildda // ed. A.P.Yushkevich. Moskva, 1970 yil - 1-3 jild E. T. Bell Matematika yaratuvchilari.
Zamonaviy matematikaning o'tmishdoshlari // ed. S. N. Niro. Moskva, 1983 yil A. N. Tixonov, D. P. Kostomarov.
Amaliy matematika haqida hikoyalar // Moskva, 1979 yil. A. V. Voloshinov. Matematika va san'at // Moskva, 1992 yil. Gazeta matematika. Gazetaga qo'shimcha 1.09.98.

Munitsipal byudjet ta'lim muassasasi

o'rtacha umumta'lim maktabi №10

alohida fanlarni chuqur o'rganish bilan

Loyihani yakunladi:

Pavlov Roman

10b sinf o'quvchisi

Nazoratchi:

matematika o'qituvchisi

Boldireva N.A

Yelets, 2012 yil

1.Kirish.

3. Trigonometriya olami.

· Fizikada trigonometriya.

· Planimetriyada trigonometriya.

· San'at va arxitekturada trigonometriya.

· Tibbiyot va biologiyada trigonometriya.

3.2 "Kichik qiziqarli" trigonometrik funktsiyalarni asl egri chiziqlarga aylantirishning grafik tasvirlari (foydalanish kompyuter dasturi"Funktsiyalar va grafiklar").

· Qutb koordinatalaridagi egri chiziqlar (rozetalar).

· Dekart koordinatalaridagi egri chiziqlar (Lissaj egri chiziqlari).

· Matematik bezaklar.

4. Xulosa.

5. Adabiyotlar ro'yxati.

Loyihaning maqsadi - algebra kursida "Trigonometriya" mavzusini o'rganishga qiziqishni rivojlantirish va o'rganilayotgan materialning amaliy qiymati prizmasi orqali tahlil qilishni boshlash; trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan grafik tasvirlarni kengaytirish; trigonometriyani fizika, biologiya kabi fanlarda qo'llash. Bu tibbiyotda muhim rol o'ynaydi va eng qizig'i, hatto musiqa va arxitektura ham busiz qilolmaydi.

O'rganish ob'ekti - trigonometriya

O'rganish mavzusi - trigonometriyaning amaliy yo'nalishi; trigonometrik formulalar yordamida ayrim funksiyalarning grafiklari.

Tadqiqot maqsadlari:

1. Trigonometriyaning paydo bo'lish va rivojlanish tarixini ko'rib chiqing.

2. Trigonometriyaning turli fanlarda amaliy qo‘llanilishini aniq misollar bilan ko‘rsating.

3. "Kichik qiziqarli" funksiyalarni grafiklari juda original ko'rinishga ega bo'lgan funksiyalarga aylantirish imkonini beruvchi trigonometrik funksiyalardan foydalanish imkoniyatlarini aniq misollar asosida tushuntiring.

Gipoteza - farazlar: Trigonometriyaning tashqi dunyo bilan aloqasi, ko‘pgina amaliy masalalarni yechishda trigonometriyaning ahamiyati, trigonometrik funksiyalarning grafik imkoniyatlari maktab o‘quvchilarining bilimlarini “materiallashtirish” imkonini beradi. Bu trigonometriyani o'rganishda olingan bilimlarga hayotiy ehtiyojni yaxshiroq tushunishga imkon beradi, ushbu mavzuni o'rganishga qiziqishni oshiradi.

Tadqiqot usullari - mavzuga oid matematik adabiyotlarni tahlil qilish; ushbu mavzu bo'yicha amaliy xarakterdagi aniq vazifalarni tanlash; kompyuter dasturi asosida kompyuter simulyatsiyasi. ochiq matematika"Funksiyalar va grafiklar" (Fizika).

1.Kirish

"Bir narsa aniq bo'lib qolmoqdaki, dunyo tartibga solingan

dahshatli va ajoyib ".

N. Rubtsov

Trigonometriya - uchburchaklarning burchaklari va tomonlari uzunligi o'rtasidagi bog'liqlikni, shuningdek, trigonometrik funktsiyalarning algebraik o'ziga xosligini o'rganadigan matematikaning bo'limi. Tasavvur qilish qiyin, lekin biz bu fanga nafaqat matematika darslarida, balki kundalik hayotimizda ham duch kelamiz. Siz bundan bexabar bo'lishingiz mumkin, lekin trigonometriya fizika, biologiya kabi fanlarda uchraydi, u tibbiyotda muhim o'rin tutadi, eng qizig'i, hatto musiqa va arxitektura ham busiz qila olmaydi. Matematika fanini o‘rganishda olingan nazariy bilimlarni amaliyotda qo‘llash ko‘nikmalarini shakllantirishda amaliy mazmundagi masalalar katta ahamiyatga ega. Matematika fanining har bir talabasi olingan bilimlarning qayerda va qayerda qo‘llanilishi bilan qiziqadi. Ushbu ish ushbu savolga javob beradi.

2.Trigonometriyaning rivojlanish tarixi.

So'z trigonometriya Ikki yunoncha so'zdan iborat bo'lgan: to'g'ridan-to'g'ri tarjimada tigonon (trigonon-uchburchak) va va métin (metr - o'lchash) uchburchak o'lchovi.

Aynan shu vazifa - uchburchaklarni o'lchash yoki ular aytganidek, uchburchaklarni hal qilish, ya'ni uchburchakning barcha tomonlari va burchaklarini uning uchta ma'lum elementiga (tomon va ikki burchak, ikki tomon va bir burchak) ko'ra aniqlash. burchak yoki uch tomon) - qadim zamonlardan beri trigonometriyaning amaliy qo'llanilishiga asos bo'lgan.

Boshqa har qanday fan singari, trigonometriya ham inson amaliyotidan, aniq amaliy muammolarni hal qilish jarayonida paydo bo'lgan. Trigonometriya rivojlanishining dastlabki bosqichlari astronomiyaning rivojlanishi bilan chambarchas bog'liq. Astronomiya va trigonometriyaning rivojlanishiga u bilan chambarchas bog'liq bo'lgan navigatsiyani rivojlantirish ehtiyojlari katta ta'sir ko'rsatdi, bu esa samoviy jismlarning joylashuvi bo'yicha ochiq dengizdagi kemaning yo'nalishini to'g'ri aniqlash qobiliyatini talab qildi. Trigonometriyaning rivojlanishida kompilyatsiya qilish zarurati muhim rol o'ynadi geografik xaritalar va er yuzidagi katta masofalarni to'g'ri aniqlash zarurati bilan chambarchas bog'liq.

Qadimgi yunon astronomining asarlari trigonometriyaning paydo bo'lishi davrida fundamental ahamiyatga ega edi. Gipparx(miloddan avvalgi 2-asr oʻrtalari). Trigonometriya fan sifatida, so'zning zamonaviy ma'nosida, nafaqat Gipparxda, balki antik davrning boshqa olimlarida ham yo'q edi, chunki ular hali ham burchaklarning funktsiyalari haqida hech qanday tasavvurga ega emaslar va hatto o'zaro bog'liqlik masalasini ham ko'tarmaganlar. umumiy shaklda uchburchakning burchaklari va tomonlari. Lekin mohiyatiga ko'ra, ular o'zlariga ma'lum bo'lgan elementar geometriya vositalaridan foydalanib, trigonometriya bilan shug'ullanadigan masalalarni hal qildilar. Shu bilan birga, olishning asosiy vositalari istalgan natijalar muntazam uch, to'rt, besh va o'n burchakli tomonlari va aylana radiusi o'rtasidagi ma'lum bog'lanishlar asosida aylana akkordlar uzunligini hisoblash qobiliyati mavjud edi.

Gipparx akkordlarning birinchi jadvallarini, ya'ni doimiy radiusli doiradagi turli markaziy burchaklar uchun akkord uzunligini ifodalovchi jadvallarni tuzdi. Bular, mohiyatiga ko'ra, yarim markaziy burchakning qo'sh sinuslari jadvallari edi. Biroq, Gipparxning asl jadvallari (u yozgan deyarli hamma narsa kabi) bizga etib kelmagan va biz ular haqida asosan "Buyuk qurilish" yoki (arabcha tarjimasi) "Almagest" kompozitsiyasidan tasavvur hosil qilishimiz mumkin. ” mashhur astronom tomonidan Klavdiy Ptolemey eramizning II asr o'rtalarida yashagan. e.

Ptolemey aylanani 360 gradusga va diametrini 120 qismga ajratdi. U radiusni 60 qism (60¢¢) deb hisobladi. U har bir qismni 60¢ ga, har bir daqiqani 60¢¢ ga, har soniyani 60 ¢¢¢ ga, 60 ¢¢¢ ga va hokazolarga ajratdi, ko'rsatilgan bo'linishdan foydalanib, Ptolemey muntazam yozilgan olti burchakli yoki akkordni ayiruvchi tomonni ifodaladi. radiusning 60 qismi (60h) ko'rinishidagi 60 ° yoy va u chizilgan kvadratning yon tomonini yoki 90 ° akkordni 84h51¢10² soniga tenglashtirdi. , aylananing diametriga teng, u Pifagor teoremasi asosida yozgan: (akkord a) 2 + (akkord | 180-a |) 2 \u003d (diametri) 2, bu zamonaviy sin2a + cos2a \u003d 1 formulasiga mos keladi.

Almagest 0° dan 180° gacha boʻlgan yarim gradusdagi akkordlar jadvalini oʻz ichiga oladi, bu bizning zamonaviy nuqtai nazarimizdan har chorakda 0° dan 90° gacha boʻlgan burchaklar uchun sinuslar jadvalini ifodalaydi.

Yunonlar orasidagi barcha trigonometrik hisoblarning asosi Hipparxga ma'lum bo'lgan Ptolemey teoremasi edi: "aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning diagonallari ustiga qurilgan to'rtburchaklar qarama-qarshi tomonlarga qurilgan to'rtburchaklar yig'indisiga teng" (ya'ni, diagonallarning mahsuloti qarama-qarshi tomonlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng). Ushbu teoremadan foydalanib, yunonlar (Pifagor teoremasi yordamida) bu burchaklar yig'indisining akkordasini (yoki farq akkordasini) yoki berilgan burchakning yarmi akkordini ikkita burchak akkordlaridan hisoblashga muvaffaq bo'lishdi. , ya'ni ular ikkita burchak yoki yarim burchakning yig'indisi (yoki farqi) sinusi uchun formulalar yordamida biz hozir oladigan natijalarni olishga muvaffaq bo'ldi.

Trigonometriyaning rivojlanishidagi yangi qadamlar xalqlarning matematik madaniyatining rivojlanishi bilan bog'liq Hindiston, Markaziy Osiyo va Yevropa (V-XII).

5-asrdan 12-asrgacha bo'lgan davrda hindular oldinga muhim qadam qo'ydilar, ular yunonlardan farqli o'laroq, hisob-kitoblarda tegishli markaziy burchakning butun MM¢ akkordini (chizmaga qarang) ko'rib chiqishni va foydalanishni boshladilar. faqat uning yarim MP, ya'ni biz hozir markaziy burchakning a-yarmi sinusi chizig'i deb ataladigan narsa.

Sinus bilan bir qatorda hindlar trigonometriyaga kosinusni kiritdilar, aniqrog'i, ular o'z hisoblarida kosinus chizig'idan foydalana boshladilar. (Kosinus atamasining o'zi ancha keyinroq Evropa olimlari asarlarida birinchi marta 16-asr oxirida paydo bo'lgan "to'ldiruvchi sinus", ya'ni ma'lum burchakni to'ldiruvchi burchak sinusidan. 90 °.“Komplement sinus” yoki (lotin tilida) sinus complementi sinus ko yoki ko-sinus deb qisqartirila boshlandi).

Shuningdek, ular cosa=sin(90°-a) va sin2a+cos2a=r2 nisbatlarini, shuningdek, ikki burchakning yigʻindisi va ayirmasi sinusi formulalarini bilishgan.

Trigonometriya rivojlanishining keyingi bosqichi mamlakatlar bilan bog'liq

Markaziy Osiyo, Yaqin Sharq, Zakavkaz(VII-15-asr)

Astronomiya va geografiya bilan chambarchas bog'liq holda rivojlanib, O'rta Osiyo matematikasi aniq "hisoblash xarakteri"ga ega bo'lib, geometriya va trigonometriyani o'lchashning amaliy masalalarini hal qilishga qaratilgan bo'lib, trigonometriya alohida matematik intizomga ko'p darajada shakllangan. Markaziy Osiyo olimlari. Ular erishgan eng muhim muvaffaqiyatlar qatorida, birinchi navbatda, barcha oltita trigonometrik chiziqning kiritilishini ta'kidlashimiz kerak: sinus, kosinus, tangens, kotangent, sekant va kosekant, ulardan faqat birinchi ikkitasi yunonlar va hindlarga ma'lum edi.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> j= uchun ma'lum uzunlikdagi (a=12) qutbning =a×ctgj 1°,2°,3°……

Abu-l-Vafo 10-asrda (940-998) yashab oʻtgan Xurosondan ham xuddi shunday “tangenslar jadvali”ni tuzgan, yaʼni maʼlum uzunlikdagi gorizontal qutb (a) quygan soyaning b=a×=a×tgj uzunligini hisoblagan. =60) vertikal devorda (chizmaga qarang).

Shuni ta'kidlash kerakki, "tangens" (so'zma-so'z tarjimada - "tegish") va "kotangens" atamalarining o'zi ham so'zlardan kelib chiqqan. lotin va Evropada ancha keyinroq (XVI-XVII asrlar) paydo bo'lgan. Markaziy Osiyo olimlari tegishli chiziqlarni “soya” deb atashgan: kotangent – “birinchi soya”, tangens – “ikkinchi soya”.

Abu-l-Vafo trigonometrik doiradagi tangens chizig'ining mutlaqo aniq geometrik ta'rifini bergan va tangens va kotangens chiziqlariga sekant va kosekant chiziqlarini qo'shgan. U, shuningdek, barcha trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi algebraik munosabatlarni (og'zaki) ifoda etdi, xususan, aylananing radiusi birga teng bo'lgan holatlar uchun. Bu nihoyatda muhim ishni Yevropa olimlari 300 yildan keyin ko‘rib chiqdilar. Nihoyat, Abu-l-Vafo har 10¢ sinuslar jadvalini tuzdi.

Markaziy Osiyo olimlari asarlarida trigonometriya astronomiyaga xizmat qiluvchi fandan mustaqil qiziqish uyg‘otadigan maxsus matematik fanga aylandi.

Trigonometriya astronomiyadan ajralib chiqadi va bo'ladi mustaqil fan. Bu filial odatda ozarbayjon matematikining nomi bilan bog'lanadi Nosiriddin Tusiy ().

Evropa fanida birinchi marta trigonometriyaning uyg'un taqdimoti muallif tomonidan yozilgan "Turli uchburchaklar to'g'risida" kitobida berilgan. Ioxann Myuller, matematikada yaxshi ma'lum Regiomontana(). Unda to'g'ri burchakli uchburchaklarni yechish usullarini umumlashtiradi va 0,0000001 aniqlikdagi sinuslar jadvallarini beradi. Shu bilan birga, u aylana radiusini teng deb qabul qilgani, ya'ni trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini quyidagicha ifodalagani diqqatga sazovordir. o'nli kasrlar, aslida kichik sonli sanoq sistemasidan oʻnlik sanoq tizimiga oʻtish.

14-asr ingliz olimi Bredvardin () u Evropada birinchi bo'lib trigonometrik hisoblarga "to'g'ridan-to'g'ri soya" deb nomlangan kotangentni va "teskari soya" deb nomlangan tangensni kiritdi.

XVII asr ostonasida. Trigonometriyaning rivojlanishida yangi yo'nalish - analitik belgilandi. Agar bundan oldin trigonometriyaning asosiy maqsadi uchburchaklarni yechish deb hisoblangan boʻlsa, geometrik shakllar elementlarini hisoblash va trigonometrik funksiyalar haqidagi taʼlimotga asoslanilgan. geometrik asos, keyin XVII-XIX asrlarda. trigonometriya asta-sekin matematik analizning boblaridan biriga aylanadi. Men trigonometrik funksiyalarning davriyligi xossalarini ham bilardim viet, birinchi matematik tadqiqotlari trigonometriya bilan bog'liq edi.

Shveytsariyalik matematik Ioxann Bernulli () allaqachon trigonometrik funktsiyalarning belgilaridan foydalangan.

XIX asrning birinchi yarmida. Fransuz olimi J. Furye har qanday davriy harakatni oddiy garmonik tebranishlar yig‘indisi sifatida tasvirlash mumkinligini isbotladi.

Trigonometriya tarixida mashhur Peterburg akademikining ishi katta ahamiyatga ega edi Leonhard Eyler(), u barcha trigonometriyaga zamonaviy ko'rinish berdi.

Eyler o'zining "Tahlilga kirish" (1748) asarida trigonometriyani trigonometrik funktsiyalar haqidagi fan sifatida rivojlantirdi, unga analitik taqdimot berdi, bir nechta asosiy formulalardan trigonometrik formulalarning butun to'plamini keltirib chiqardi.

Eyler aylananing barcha choraklaridagi trigonometrik funksiyalarning belgilari haqidagi savolning yakuniy yechimiga, umumiy holatlar uchun qisqartirish formulalarini chiqarishga tegishli.

Matematikaga yangi funksiyalar - trigonometrik funksiyalarni kiritgandan so'ng, bu funktsiyalarni cheksiz qatorga kengaytirish masalasini ko'tarish maqsadga muvofiq bo'ldi. Ma'lum bo'lishicha, bunday kengaytmalar mumkin:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Bu qatorlar trigonometrik miqdorlar jadvallarini tuzish va ularni istalgan darajadagi aniqlik bilan topishni ancha osonlashtiradi.

Eyler tomonidan boshlangan trigonometrik funktsiyalar nazariyasining analitik qurilishi ishlarda yakunlandi. , Gauss, Koshi, Furye va boshqalar.

Hozirgi vaqtda trigonometriya matematikaning mustaqil bo'limi sifatida qaralmaydi. Uning eng muhim qismi, trigonometrik funksiyalar haqidagi ta’limot matematik analizda o‘rganiladigan, yagona nuqtai nazardan qurilgan funksiyalar haqidagi umumiyroq ta’limotning bir qismidir; boshqa qismi - uchburchaklar yechimi - geometriya boshi hisoblanadi.

3. Trigonometriya olami.

3.1 Trigonometriyaning turli fanlarda qo‘llanilishi.

Trigonometrik hisoblar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi.

Astronomiyada yaqin yulduzlargacha bo'lgan masofani, geografiyaning diqqatga sazovor joylari orasidagi masofani o'lchash va sun'iy yo'ldosh navigatsiya tizimlarini boshqarish imkonini beruvchi triangulyatsiya texnikasi katta ahamiyatga ega. Quyidagi sohalarda trigonometriyadan foydalanishni ta'kidlash kerak: navigatsiya texnologiyasi, musiqa nazariyasi, akustika, optika, moliyaviy bozor tahlili, elektronika, ehtimollik nazariyasi, statistika, biologiya, tibbiyot (shu jumladan ultratovush), kompyuter tomografiyasi, farmatsevtika, kimyo, raqam. nazariya, seysmologiya, meteorologiya, okeanologiya, kartografiya, fizikaning koʻpgina tarmoqlari, topografiya, geodeziya, arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektron texnika, mashinasozlik, kompyuter grafikasi, kristallografiya.

Fizikada trigonometriya.

Garmonik tebranishlar.

Agar nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab bir yo'nalishda yoki boshqa yo'nalishda navbatma-navbat harakat qilsa, ular nuqta qiladi, deyishadi tebranishlar.

Tebranishlarning eng oddiy turlaridan biri aylana bo'ylab bir tekis aylanadigan M nuqtaning proyeksiyalar o'qi bo'ylab harakatidir. Bu tebranishlar qonuni shaklga ega x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Odatda, bu chastota o'rniga, kishi ko'rib chiqadi siklik chastotasiw=, sekundiga radyanlarda ifodalangan aylanishning burchak tezligini ko'rsatadi. Ushbu belgilarda bizda quyidagilar mavjud: x=Rchunki(wt+a). (2)

Raqam a chaqirdi tebranishning dastlabki bosqichi.

Har qanday turdagi tebranishlarni o'rganish juda muhim, chunki biz tebranish harakatlari yoki to'lqinlari atrofimizdagi dunyoda tez-tez uchrab turadi va ulardan katta muvaffaqiyat bilan foydalanamiz (tovush to'lqinlari, elektromagnit to'lqinlar).

Mexanik tebranishlar.

Mexanik tebranishlar jismlarning aniq (yoki taxminan) muntazam oraliqlarda takrorlanadigan harakatlaridir. Oddiy tebranish sistemalariga prujinali yoki mayatnikdagi og'irlik misol bo'la oladi. Masalan, kamonga osilgan og'irlikni oling (rasmga qarang) va uni pastga suring. Chovgum yuqoriga va pastga tebranishni boshlaydi..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg" " align= "chap" eni="202 balandlik=146" balandligi="146"> Chapga siljish orqali burilish grafigi (2) burilish grafigidan (1) olinadi

kuni . a soni boshlang'ich faza deb ataladi.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), bu erda l mayatnik uzunligi, j0 esa dastlabki burilish burchagi. Mayatnik qancha uzun bo'lsa, u shunchalik sekinroq tebranadi.(VIII-ilova 1-7-rasmda aniq ko'rinadi). 8-16-rasm, VIII-ilovada dastlabki og'ishning o'zgarishi sarkaç tebranishlarining amplitudasiga qanday ta'sir qilishini aniq ko'rsatib beradi, shu bilan birga davr o'zgarmaydi. Uzunligi ma'lum bo'lgan mayatnikning tebranish davrini o'lchab, yer yuzasining turli nuqtalarida erning tortishish kuchining g tezlanishini hisoblash mumkin.

Kondensatorning zaryadsizlanishi.

Sinusoidal qonun bo'yicha nafaqat ko'plab mexanik tebranishlar sodir bo'ladi. Va elektr zanjirlarida sinusoidal tebranishlar paydo bo'ladi. Shunday qilib, o'ng tomonda tasvirlangan sxemada yuqori burchak modellarda, kondansatör plitalaridagi zaryad q \u003d CU + (q0 - CU) cos ōt qonuniga muvofiq o'zgaradi, bu erda C - kondansatkichning sig'imi, U - oqim manbaidagi kuchlanish, L - indüktans. bobin, https://pandia.ru/text/78 /114/images/image022_30.jpg" align="chap" width="348" height="253 src=">Funktsiyalarda mavjud bo'lgan kondansatör modeli tufayli va Grafiklar dasturi, siz tebranish zanjirining parametrlarini o'rnatishingiz va mos keladigan g (t) va I (t) grafiklarini qurishingiz mumkin.1-4-chizmalarda kuchlanish oqim kuchi va kondansatör zaryadining o'zgarishiga qanday ta'sir qilishini aniq ko'rsatib beradi. musbat kuchlanish bilan zaryad ham musbat qiymatlarni qabul qilishi aniq.IX-ilovaning 5-8-rasmida kondansatör sig'imi o'zgarganda (IX-ilovaning 9-14-rasmda bobinning induktivligi o'zgarganda) ko'rsatilgan. va qolgan parametrlar o'zgarishsiz qoladi, tebranish davri o'zgaradi, ya'ni, kontaktlarning zanglashiga olib joriy tebranishlar chastotasi o'zgaradi va capacitor zaryad chastotasi o'zgaradi .. (qarang. Ilova IX).

Ikki quvurni qanday ulash mumkin.

Keltirilgan misollar sinusoidlar faqat tebranishlar bilan bog'liq holda paydo bo'ladi degan taassurot qoldirishi mumkin. Biroq, unday emas. Misol uchun, sinusoidlar ikkita silindrsimon quvurni bir-biriga burchak ostida ulashda ishlatiladi. Ikki quvurni shu tarzda ulash uchun siz ularni qiyshaytirib kesishingiz kerak.

Agar siz qiyshiq kesilgan quvurni ochsangiz, u yuqoridan sinusoid bilan chegaralanadi. Buni shamni qog'oz bilan o'rash, uni qiyshiq qilib kesish va qog'ozni ochish orqali tekshirish mumkin. Shuning uchun, trubaning bir tekis kesimini olish uchun siz avval sinusoid bo'ylab yuqoridan metall qatlamni kesib, uni quvurga o'rashingiz mumkin.

kamalak nazariyasi.

Kamalak nazariyasi birinchi marta berilgan 1637 yil Rene Dekart tomonidan. U kamalakni yorug'likning yomg'ir tomchilarida aks etishi va sinishi bilan bog'liq hodisa sifatida tushuntirdi.

Kamalak quyosh nurining sinish qonuniga binoan havoda muallaq turgan suv tomchilarida sinishi tufayli paydo bo'ladi:

bu yerda n1=1, n2≈1,33 mos ravishda havo va suvning sinish ko'rsatkichlari, a - tushish burchagi, b - yorug'likning sinish burchagi.

Shimoliy yog'du

Quyosh shamolining zaryadlangan zarrachalarining sayyoralarning yuqori atmosferasiga kirib borishi sayyora magnit maydonining quyosh shamoli bilan o'zaro ta'siri bilan belgilanadi.

Magnit maydonda harakatlanuvchi zaryadlangan zarrachaga ta'sir qiluvchi kuch kuch deyiladi Lorenz. U zarrachaning zaryadiga va maydonning vektor mahsulotiga va zarracha tezligiga proportsionaldir

Trigonometriyadan amaliy mazmunli masalalar.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Ishqalanish koeffitsientini aniqlash.

Og'irligi P bo'lgan jism qiyalik burchagi a bo'lgan qiya tekislikka joylashtirilgan. O'z vazni ta'sirida tana S yo'lini t soniyada tezlashtirdi. Ishqalanish koeffitsienti k ni aniqlang.

Nishab tekislikdagi tana bosimi kuchi =kPcosa.

Jismni pastga tortuvchi kuch F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Agar tana qiya tekislik bo'ylab harakat qilsa, u holda tezlashuv a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ; shuning uchun 2)

(1) va (2) tengliklardan g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Planimetriyada trigonometriya.

Trigonometriya yordamida geometriyadan masalalarni yechishning asosiy formulalari:

sin²a=1/(1+ctg²a)=tg²a/(1+tg²a); cos²a=1/(1+tg²a)=ctg²a/(1+ctg²a);

sin(a±b)=sina*cosb±cosa*sinb; cos(a±b)=cosa*cos+sina*sinb.

To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlar va burchaklar nisbati:

1) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i ikkinchi oyog'ining ko'paytmasiga va qarama-qarshi burchakning tangensiga teng.

2) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuza va unga kiritilgan burchak sinusining ko'paytmasiga teng.

3) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzaning ko'paytmasiga va unga kiritilgan burchakning kosinusiga teng.

4) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i ikkinchi oyoqning ko'paytmasiga va unga kiritilgan burchakning kotangensiga teng.

1-topshiriq:AB va C tomonlaridaD teng yon tomonli trapesiyaABCD nuqtalari M vaN shunday tarzdaki chiziqMN trapetsiya asoslariga parallel. Ma'lumki, har birida kichik trapeziyalar hosil bo'ladiMBCN vaAMND aylana chizish mumkin va bu doiralarning radiuslari tengdirr vamos ravishda R. Asoslarni topingAD vaMiloddan avvalgi.

Berilgan: ABCD-trapesiya, AB=CD, MêAB, NêCD, MN||AD, MBCN va AMND trapetsiyalarida mos ravishda r va R radiusli aylana chizish mumkin.

Toping: Miloddan avvalgi va miloddan avvalgi.

Yechim:

O1 va O2 kichik trapetsiyalarga chizilgan doiralarning markazlari bo'lsin. To'g'ridan-to'g'ri O1K||CD.

∆O1O2K da cosa =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

∆O2FD toʻrtburchak boʻlgani uchun O2DF = a/2 => FD=R*ctg(a/2). Chunki AD=2DF=2R*ctg(a/2),

xuddi shunday BC = 2r*tan(a/2).

cos a = (1-tg²a/2)/(1+tg²(a/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(a/2))/(1+tg²(a) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²a/2)/(1+tg²(a/2)) => tg (a/2)=√ (r/R) => ctg(a/2)= √(R/r), keyin AD=2R*ctg(a/2), BC=2r*tg(a/2), javobni topamiz.

Javob : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Vazifa 2:Uchburchakda ABC ma'lum partiyalar b, c va tepadan chiqadigan mediana va balandlik orasidagi burchak A. Uchburchakning maydonini hisoblang ABC.

Berilgan: ∆ ABC, AD-balandlik, AE-median, DAE=a, AB=c, AC=b.

Toping: S∆ABC.

Yechim:

CE=EB=x, AE=y, AED=g bo‘lsin. ∆AECda kosinuslar qonuni bo'yicha b²=x²+y²-2xy*cosyg(1); va ∆ACE da kosinuslar teoremasi bo'yicha c²=x²+y²+2xy*cosyg(2). 1 dan 2 tenglikni ayirib, c²-b²=4xy*cosyg(3) ni olamiz.

S∆ABC=2S∆ACE=xy*sing(4) boʻlgani uchun 3 tenglikni 4 ga boʻlsak: (c²-b²)/S=4*ctgg, lekin ctgg=tgab, shuning uchun S∆ABC= ( c²-) boʻladi. b²)/4*tga.

Javob: (s²- b² )/4*tg α .

San'at va arxitekturada trigonometriya.

Arxitektura trigonometrik formulalar qo'llaniladigan yagona fan sohasi emas. Ko'pgina kompozitsion qarorlar va chizmalarni qurish aniq geometriya yordamida amalga oshirildi. Ammo nazariy ma'lumotlar juda oz narsani anglatadi. Men san'atning oltin davrining frantsuz ustasi tomonidan bitta haykal yasaganiga misol keltirmoqchiman.

Haykalni qurishda mutanosib munosabatlar mukammal edi. Biroq, haykal baland poygaga ko‘tarilganda, u xunuk ko‘rinardi. Haykaltarosh ko'plab detallar ufqqa qarab istiqbolda qisqarishini va pastdan yuqoriga qarab, uning idealligi haqidagi taassurot endi yaratilmasligini hisobga olmadi. Katta balandlikdagi raqam mutanosib ko'rinishi uchun juda ko'p hisob-kitoblar amalga oshirildi. Asosan, ular ko'rish usuliga, ya'ni ko'z bilan o'lchashga asoslangan edi. Biroq, ma'lum nisbatlarning farq koeffitsienti raqamni idealga yaqinroq qilish imkonini berdi. Shunday qilib, haykaldan ko'rish nuqtasigacha, ya'ni haykalning tepasidan odamning ko'zlarigacha bo'lgan taxminiy masofani va haykalning balandligini bilib, biz ko'zning tushish burchagi sinusini hisoblashimiz mumkin. jadval (pastki nuqtai nazar bilan ham xuddi shunday qilishimiz mumkin), shu bilan nuqta ko'rinishini topamiz (1-rasm)

Vaziyat o'zgarmoqda (2-rasm), haykal balandligi AC va HC ortishiga ko'tarilganligi sababli, biz C burchakning kosinusini hisoblashimiz mumkin, jadvaldan foydalanib, biz qarashning tushish burchagini topamiz. Jarayonda siz AH ni, shuningdek, C burchak sinusini hisoblashingiz mumkin, bu sizga asosiy trigonometrik identifikatsiya yordamida natijalarni tekshirish imkonini beradi. chunki 2a+gunoh 2a = 1.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Tibbiyot va biologiyada trigonometriya.

Bioritm modeli

Bioritmlar modeli trigonometrik funksiyalar yordamida tuzilishi mumkin. Bioritmlar modelini yaratish uchun siz shaxsning tug'ilgan sanasini, havola qilingan sanani (kun, oy, yil) va prognozning davomiyligini (kunlar soni) kiritishingiz kerak.

Baliqlarning suvdagi harakati sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra sodir bo'ladi, agar siz quyruqdagi nuqtani o'rnatsangiz va keyin harakat traektoriyasini ko'rib chiqsangiz. Suzayotganda baliq tanasi y=tgx funksiya grafigiga o'xshash egri chiziq shaklini oladi.

Yurak formulasi

Eronlik universitet talabasi tomonidan olib borilgan tadqiqot natijasida Sheroz Vohid-Rizo Abbosiy, birinchi marta shifokorlar yurakning elektr faolligi yoki boshqacha aytganda, elektrokardiografiya bilan bog'liq ma'lumotlarni tartibga solishga muvaffaq bo'lishdi.
Tehron deb nomlangan formula 14-Geografik tibbiyot konferentsiyasida, so'ngra Niderlandiyada bo'lib o'tgan kardiologiyada kompyuter texnologiyalarini qo'llash bo'yicha 28-konferentsiyada keng ilmiy jamoatchilikka taqdim etildi. Ushbu formula murakkab algebraik-trigonometrik tenglama bo'lib, 8 ta ifoda, 32 koeffitsient va 33 ta asosiy parametr, shu jumladan aritmiya holatlarida hisob-kitoblar uchun bir nechta qo'shimcha parametrlardan iborat. Shifokorlarning fikriga ko'ra, bu formula yurak faoliyatining asosiy parametrlarini tavsiflash jarayonini sezilarli darajada osonlashtiradi va shu bilan tashxisni tezlashtiradi va haqiqiy davolanishni boshlaydi.

Trigonometriya miyamizga ob'ektlargacha bo'lgan masofani aniqlashga yordam beradi.

Amerikalik olimlarning ta'kidlashicha, miya yer tekisligi va ko'rish tekisligi orasidagi burchakni o'lchash orqali ob'ektlargacha bo'lgan masofani taxmin qiladi. To'g'ri aytganda, "burchaklarni o'lchash" g'oyasi yangi emas. Ko'proq rassomlar Qadimgi Xitoy uzoqdagi ob'ektlarni ko'rish sohasida yuqoriroq tortdi, istiqbol qonunlarini biroz e'tiborsiz qoldirdi. 11-asrda yashagan arab olimi Alxazen burchaklarni baholash orqali masofani aniqlash nazariyasini ishlab chiqdi. O'tgan asrning o'rtalarida uzoq vaqt unutilganidan so'ng, bu g'oya psixolog Jeyms Gibson tomonidan qayta tiklandi va u o'z xulosalarini uchuvchilar bilan ishlash tajribasiga asosladi. harbiy aviatsiya. Biroq, nazariya haqida gapirgandan keyin

yana unutilgan.

3.2 "Kichik qiziqarli" trigonometrik funktsiyalarni asl egri chiziqlarga aylantirishning grafik tasvirlari.

Qutb koordinatalaridagi egri chiziqlar.

Bilan. 16is. 19 Rozetkalar.

Polar koordinatalarda bitta segment tanlanadi e, qutb O va qutb o'qi Ox. Har qanday M nuqtaning o'rni OM qutb radiusi va OM nurlari va Ox nurlari hosil qilgan qutb burchagi j bilan aniqlanadi. OM uzunligini ifodalovchi r soni e(OM=re) va j burchakning daraja yoki radian bilan ifodalangan son qiymati M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi.

O dan boshqa har qanday nuqta uchun biz 0≤j ni qabul qilishimiz mumkin<2p и r>0. Biroq, r=f(j) ko‘rinishdagi tenglamalarga mos keladigan egri chiziqlarni qurishda j o‘zgaruvchisiga (shu jumladan manfiy va 2p dan yuqori) har qanday qiymatlarni berish tabiiydir va r bo‘lishi mumkin. ham ijobiy, ham salbiy.

(j, r) nuqtani topish uchun O nuqtadan Ox o'qi bilan j burchak hosil qiluvchi nurni chizamiz va unga (r>0 uchun) yoki qarama-qarshi yo'nalishdagi davomini (uchun) chizamiz. r>0) ½ r ½e segmenti.

Agar siz birinchi navbatda e, 2e, 3e va hokazo radiusli (markazi O qutbda joylashgan) konsentrik doiralardan va j = 0 °, 10 °, 20 °, . ,340°,350°; bu nurlar j uchun ham mos keladi<0°, и при j>360°; masalan, j=740° va j=-340° da j=20° bo'lgan nurga uramiz.

Ushbu grafiklarni o'rganish yordam beradi Funktsiyalar va grafiklar kompyuter dasturi. Ushbu dasturning imkoniyatlaridan foydalanib, biz trigonometrik funktsiyalarning qiziqarli grafiklarini o'rganamiz.

1 .Tenglamalar bilan berilgan egri chiziqlarni ko'rib chiqing:r=a+gunoh3j

I. r=sin3j (shamrok ) (1-rasm)

II. r=1/2+sin3j (2-rasm), III. r=1+ sin3j (3-rasm), r=3/2+ sin3j (4-rasm) .

IV egri chiziq eng kichik qiymatga ega r=0,5 va gulbarglari tugallanmagan ko'rinishga ega. Shunday qilib, a > 1 bo'lsa, shamrok barglari tugallanmagan ko'rinishga ega bo'ladi.

2. Egri chiziqlarni ko'rib chiqingqachon a=0; 1/2; 1;3/2

a=0 da (1-rasm), a=1/2 da (2-rasm), a=1 da (3-rasm) gulbarglar tugaydi, a=3/2 da beshta tugallanmagan gulbargcha paydo boladi., (4-rasm).

3. Umuman olganda, egri chiziqr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), chunki bu sektorda 0°≤≤180 °.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> bitta gulbarg 360° dan kattaroq "sektor"ni talab qiladi.

1-4-rasmda gulbarglarning ko'rinishi =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= bilan ko'rsatilgan. "16" balandligi="41 src=">.

4. Nemis tabiatshunos matematigi tomonidan topilgan tenglamalar Xabenicht Uchun geometrik shakllar o'simlik dunyosida topilgan. Masalan, r=4(1+cos3j) va r=4(1+cos3j)+4sin23j tenglamalar 1.2-rasmda keltirilgan egri chiziqlarga mos keladi.

Dekart koordinatalaridagi egri chiziqlar.

Lissaju egri chiziqlari.

Dekart koordinatalarida ko'plab qiziqarli egri chiziqlar ham tuzilishi mumkin. Tenglamalari parametrik shaklda berilgan egri chiziqlar ayniqsa qiziq:

Bu erda t - yordamchi o'zgaruvchi (parametr). Masalan, umumiy holatda tenglamalar bilan tavsiflangan Lissaju egri chiziqlarini ko'rib chiqing:

Agar t parametri sifatida vaqtni oladigan bo'lsak, u holda Lissaju figuralari o'zaro perpendikulyar yo'nalishda bajarilgan ikkita garmonik tebranish harakatining qo'shilishi natijasi bo'ladi. Umumiy holda, egri tomonlari 2a va 2c bo'lgan to'rtburchaklar ichida joylashgan.

Keling, quyidagi misollarni ko'rib chiqaylik

I.x=sin3t; y=sin 5t (1-rasm)

II. x=sin3t; y=cos 5t (2-rasm)

III. x=sin3t; y=sin 4t.(3-rasm)

Egri chiziqlar yopiq yoki ochiq bo'lishi mumkin.

Masalan, I tenglamalarni tenglamalar bilan almashtirish: x=sin 3t; y=sin5(t+3) ochiq egri chiziqni yopiq egri chiziqqa aylantiradi (4-rasm).

Shaklning tenglamalariga mos keladigan chiziqlar qiziqarli va o'ziga xosdir

da=arksin(sin k(x-a)).

y=arcsin(sinx) tenglamasidan kelib chiqadi:

1) va 2) siny=sinx.

Bu ikki shartda y=x funksiya qanoatlantiradi. Uni oraliqda grafiklang (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> bizda y=p-x bo'ladi, chunki sin( p-x) )=sinx va bu oraliqda

. Bu erda grafik BC segmenti bilan ifodalanadi.

Sinx davriy funksiya bo'lib, davri 2p bo'lganligi sababli (,) oraliqda tuzilgan ABC siniq chizig'i boshqa bo'limlarda takrorlanadi.

y=arcsin(sinkx) tenglama nuqtali siniq chiziqqa mos keladi https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

bir vaqtning o'zida sinusoiddan yuqorida (ular uchun y>sinx) va y=-sinx egri chizig'idan pastda joylashgan nuqtalar koordinatalarini qanoatlantiradi, ya'ni sistemaning "yechim maydoni" 1-rasmda soyalangan maydonlardan iborat bo'ladi.

2. Tengsizliklarni ko'rib chiqing

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Bu tengsizlikni yechish uchun avvalo funksiyalar grafiklarini tuzamiz: y=sinx; y=-sinx.

Keyin y>sinx va bir vaqtning o'zida y bo'lgan joylarni bo'yab qo'yamiz<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Bu tengsizlik 2-rasmda soyalangan maydonlarni qondiradi

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Keling, keyingi tengsizlikka o'tamiz:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Bu tengsizlikni yechish uchun avvalo funksiya grafiklarini tuzamiz: y=±arcsin(sinx); y=±arksin(sin(x+ )) .

Keling, mumkin bo'lgan echimlar jadvalini tuzamiz.

1 multiplikator belgisi bor	2 ko'paytiruvchi belgisi bor	3 ko'paytiruvchi belgisi bor	4 ko'paytiruvchi belgisi bor

Keyin biz quyidagi tizimlarning yechimlarini ko'rib chiqamiz va bo'yab chiqamiz.

)| va |y|>|sin(x-)|.

2) Ikkinchi multiplikator noldan kichik, ya'ni.gif" width="17" height="41">)|.

3) Uchinchi omil noldan kichik, ya'ni. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| va |y|>|sin(x+Akademik fanlar" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">akademik fanlar, texnologiya, kundalik hayot.

"Funktsiyalar va grafiklar" modellashtirish dasturidan foydalanish tadqiqot o'tkazish imkoniyatlarini sezilarli darajada kengaytirdi, trigonometriyaning fizikada qo'llanilishini ko'rib chiqishda bilimlarni moddiylashtirishga imkon berdi. Ushbu dastur tufayli mayatnik tebranishlari misolida mexanik tebranishlarni kompyuterda laboratoriya tadqiqotlari olib borildi va elektr zanjiridagi tebranishlar ko'rib chiqildi. Kompyuter dasturidan foydalanish yordamida aniqlangan qiziqarli matematik egri chiziqlarni tekshirish imkonini berdi trigonometrik tenglamalar qutb va dekart koordinatalarida chizma tuzish. Trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi qiziqarli matematik bezaklarni ko'rib chiqishga olib keldi.

5. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati.

1. ., Atanasov amaliy mazmunli matematik muammolar: Kitob. o'qituvchi uchun.-M.: Ta'lim, b.

2. .Vilenkin tabiat va texnologiyada: Kitob. sinfdan tashqari o'qish uchun IX-X hujayralar - M .: Ta'lim, 5s (Bilimlar olami).

3. Maishiy o'yinlar va o'yin-kulgilar. Davlat. ed. fizika va matematika yoqilgan. M, 9 ko'ch.

4. Texnikumlar uchun .Kozhurov trigonometriyasi. Davlat. ed. texnik-nazariy yoritilgan. M., 1956 yil

5. Kitob. Uchun sinfdan tashqari o'qish o'rta maktabda matematika. Davlat. tarbiyaviy-ped. ed. Min. Prosv. RF, M., p.

6. Tarakanov trigonometriyasi. 10 hujayra ..-M .: Bustard, p.

7. Trigonometriya haqida va nafaqat u haqida: 9-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma.-M .: Ta'lim, 1996-80-yillar.

8. Matematika o`qitishda amaliy mazmunli Shapiro masalalari. Kitob. o'qituvchi uchun.-M.: Ta'lim, 1990-96 yillar.

Tibbiyotda trigonometriya mavzusi bo'yicha xabar. Atrofimizdagi va inson hayotidagi trigonometriya

Qadamlar

Trigonometriya asoslarini bilib oling

Trigonometriyani qo'llash

Materialni oldindan o'rganing

Trigonometriyaning yaratilish tarixi

Ilk asrlar

Qadimgi Gretsiya

O'rta yosh

yangi vaqt

18-asr

Trigonometriyani qo'llash

Hujjat tarkibini ko'rish "Danilova T.V.-stsenariy"

Taqdimot mazmunini ko'rish "Danilova T.V."

Hujjat tarkibini ko'rish
"Danilova T.V.-stsenariy"

Taqdimot mazmunini ko'rish
"Danilova T.V."