Zpráva na téma trigonometrie v medicíně. Trigonometrie ve světě kolem nás a lidském životě

Trigonometrie je obor matematiky, který studuje goniometrické funkce a jejich použití v geometrii. Goniometrické funkce se používají k popisu vlastností různých úhlů, trojúhelníků a periodických funkcí. Studium trigonometrie vám pomůže porozumět těmto vlastnostem. Školní aktivity a samostatná práce vám pomůže naučit se základy trigonometrie a pochopit mnoho periodických procesů.

Kroky

Naučte se základy trigonometrie

Seznamte se s pojmem trojúhelník. V podstatě se trigonometrie zabývá studiem různých vztahů v trojúhelníku. Trojúhelník má tři strany a tři úhly. Součet úhlů libovolného trojúhelníku je 180 stupňů. Při učení trigonometrie je nutné se seznámit s trojúhelníky a souvisejícími pojmy, jako jsou:

• přepona je nejdelší strana pravoúhlý trojuhelník;
• tupý úhel - úhel větší než 90 stupňů;
• ostrý úhel je úhel menší než 90 stupňů.

1. Naučte se kreslit jednotkovou kružnici. Jednotková kružnice umožňuje sestrojit libovolný pravoúhlý trojúhelník tak, že přepona je rovna jedné. To je užitečné při práci s goniometrickými funkcemi, jako je sinus a kosinus. Po zvládnutí jednotkového kruhu můžete snadno najít hodnoty goniometrických funkcí pro určité úhly a vyřešit problémy, ve kterých se trojúhelníky s těmito úhly objevují.

   • Příklad 1. Sinus úhlu 30 stupňů je 0,50. To znamená, že délka nohy proti danému úhlu se rovná polovině délky přepony.
   • Příklad 2. Pomocí tohoto poměru můžete vypočítat délku přepony trojúhelníku, ve kterém je úhel 30 stupňů a délka nohy naproti tomuto úhlu je 7 centimetrů. V tomto případě bude délka přepony 14 centimetrů.

2. Seznamte se s goniometrickými funkcemi. Existuje šest základních goniometrických funkcí, které musíte znát, když se učíte trigonometrii. Tyto funkce představují vztahy mezi různými stranami pravoúhlého trojúhelníku a pomáhají vám porozumět vlastnostem jakéhokoli trojúhelníku. Těchto šest funkcí je:

   • sinus (hřích);
   • kosinus (cos);
   • tečna (tg);
   • secant (sec);
   • kosekant (cosec);
   • kotangens (ctg).

3. Pamatujte na vztahy mezi funkcemi. Při studiu trigonometrie je nesmírně důležité pochopit, že všechny goniometrické funkce jsou vzájemně propojeny. Přestože se funkce sinus, kosinus, tangens a další používají různými způsoby, jsou široce používány, protože mezi nimi existují určité vztahy. Tyto vztahy lze snadno pochopit pomocí jednotkový kruh. Naučte se používat jednotkový kruh a pomocí vztahů, které popisuje, budete schopni vyřešit mnoho problémů.

   Aplikace trigonometrie

   1. Přečtěte si o hlavních oblastech vědy, které používají trigonometrii. Trigonometrie je užitečná v mnoha odvětvích matematiky a dalších exaktních věd. Trigonometrie lze použít k nalezení úhlů a úseček. Navíc goniometrické funkce mohou popisovat jakýkoli cyklický proces.

      • Například vibrace pružiny mohou být popsány sinusovou funkcí.

   2. Přemýšlejte o dávkových procesech. Někdy je obtížné pochopit abstraktní pojmy matematiky a dalších exaktních věd. Jsou však přítomni ve vnějším světě, a to jim může usnadnit pochopení. Podívejte se blíže na periodické jevy kolem sebe a zkuste je propojit s trigonometrií.

      • Měsíc má předvídatelný cyklus asi 29,5 dne.

   3. Představte si, jak lze studovat přírodní cykly. Když pochopíte, že v přírodě existuje mnoho periodických procesů, přemýšlejte o tom, jak můžete tyto procesy studovat. V duchu si představte, jak vypadá obraz takových procesů na grafu. Pomocí grafu můžete napsat rovnici, která popisuje pozorovaný jev. Zde se hodí goniometrické funkce.

      • Představte si příliv a odliv moře. Při přílivu se voda zvedne na určitou úroveň a poté je příliv nízký a hladina vody klesá. Po odlivu opět následuje příliv a hladina vody stoupá. Tento cyklický proces může pokračovat donekonečna. Může být popsána goniometrickou funkcí, jako je kosinus.

   Prostudujte si látku předem

   1. Přečtěte si příslušnou část. Pro některé lidi je obtížné uchopit myšlenky trigonometrie napoprvé. Pokud se s příslušným materiálem seznámíte před hodinou, lépe jej vstřebáte. Zkuste si probíranou látku častěji opakovat – najdete tak více vztahů mezi různými pojmy a pojmy trigonometrie.

      • Navíc vám umožní předem identifikovat nejasné body.

   2. Udržujte obrys. Zatímco listování v učebnici je lepší než nic, učení trigonometrie vyžaduje pomalé a promyšlené čtení. Při studiu jakékoli části si poznamenejte podrobnou poznámku. Pamatujte, že znalosti trigonometrie se shromažďují postupně a nový materiál navazuje na to, co jste se dosud naučili, takže zapisování toho, co jste se naučili, vám pomůže posunout se vpřed.

      • Mimo jiné si zapište otázky, které musíte svému učiteli později položit.

   3. Vyřešte úlohy uvedené v učebnici. I když je pro vás trigonometrie jednoduchá, musíte řešit problémy. Abyste se ujistili, že skutečně rozumíte tomu, co jste se naučili, zkuste před hodinou vyřešit několik problémů. Pokud s tím máte problémy, určíte si, co přesně potřebujete během lekcí zjistit.

      • V mnoha učebnicích jsou odpovědi na problémy uvedeny na konci. S jejich pomocí můžete zkontrolovat, zda jste problémy vyřešili správně.

   4. Vezměte si do třídy vše, co potřebujete. Nezapomeňte na poznámky a řešení problémů. Tyto praktické materiály vám pomohou oprášit to, co jste se již naučili, a posouvat se ve studiu látky vpřed. Ujasněte si také případné otázky, které máte při čtení učebnice.

MĚSTSKÝ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE

"GYMNÁZIUM №1"

"TRIGONOMETRIE V REÁLNÉM ŽIVOTĚ"

informační projekt

Dokončeno:

Krasnov Egor

žák 9. třídy

Dozorce:

Borodkina Taťána Ivanovna

Železnogorsk

Úvod ……………………………………………………….. 3

Relevance ………………………………………………………….. 3

Účel ……………………………………………………………… 4

Úkoly ………………………………………………………….. 4

1.4 Metody………………………………………………………………...4

2. Trigonometrie a historie jejího vývoje………………………………..5

2.1 Trigonometrie a fáze formování………………………….5

2.2 Trigonometrie jako pojem. Funkce……………….7

2.3 Výskyt sinus……………………………………………….7

2.4 Vznik kosinus……………………………………………….8

2.5 Vznik tečny a kotangens……………………….9

2.6 Další rozvoj trigonometrie………………………..9

3. Trigonometrie a skutečný život………………………..…………………...12

3.1.Navigace………………………………………………………………………………… 12

3.2Algebra….…………………………………..………………………………………… 14

3.3.Fyzika………………………………………..…………………………………………………14

3.4 Medicína, biologie a biorytmy…..………………………….....15

3.5.Hudba………………………………….…..…………………………....19

3.6.Informatika………………………….…..……………………....21

3.7 Oblast stavebnictví a geodézie………………………………....22

3.8 Trigonometrie v umění a architektuře………………..…..22

Závěr. …………………………………..………………………………..…..25

Reference.………………………….…………………..…………………27

Dodatek 1 …………………………………….……………………….…………………29

Úvod

V moderní svět významná pozornost je věnována matematice jako jedné z oblastí vědecká činnost a učit se. Jak víme, jednou ze součástí matematiky je trigonometrie. Trigonometrie je obor matematiky, který studuje goniometrické funkce. Domnívám se, že toto téma je relevantní především z praktického hlediska. Absolvujeme školu a chápeme, že pro mnoho profesí je znalost trigonometrie prostě nezbytná, protože. umožňuje měřit vzdálenosti k blízkým hvězdám v astronomii, mezi orientačními body v geografii, ovládat satelitní navigační systémy. Principy trigonometrie se také používají v oblastech jako hudební teorie, akustika, optika, analýza finančního trhu, elektronika, teorie pravděpodobnosti, statistika, biologie, medicína (včetně ultrazvuku a počítačové tomografie), farmacie, chemie, teorie čísel (a v důsledku toho i kryptografie), seismologie, meteorologie, oceánologie, kartografie, mnoho oborů fyziky, strojní inženýrství, počítačová geodézie, krystalová architektura, telefon.

Za druhé, relevantnost témata „Trigonometrie v reálný život„je, že znalost trigonometrie otevře nové způsoby řešení různých problémů v mnoha oblastech vědy a zjednoduší pochopení některých aspektů různých věd.

Již dlouhou dobu je zavedena praxe, ve které se studenti setkávají s trigonometrií třikrát. Můžeme tedy říci, že trigonometrie má tři části. Tyto části jsou vzájemně propojené a závislé na čase. Zároveň jsou naprosto odlišné, nemají podobné rysy jak z hlediska významu, který je stanoven při vysvětlení základních pojmů, tak z hlediska funkcí.

K prvnímu seznámení dochází v 8. třídě. Toto je období, kdy školáci studují: "Poměry mezi stranami a úhly pravoúhlého trojúhelníku." V procesu studia trigonometrie je uveden pojem kosinus, sinus a tangens.

Dalším krokem je pokračování v seznamování s trigonometrií v 9. ročníku. Zvyšuje se míra složitosti, mění se způsoby a metody řešení příkladů. Nyní místo kosinus a tečen přichází kruh a jeho možnosti.

Posledním stupněm je 10. ročník, ve kterém se trigonometrie stává složitější, mění se způsoby řešení problémů. Je zaveden koncept radiánové míry úhlu. Jsou představeny grafy goniometrických funkcí. V této fázi žáci začínají řešit a učit se goniometrické rovnice. Ale ne jako geometrie. K úplnému pochopení trigonometrie je třeba se seznámit s historií jejího vzniku a vývoje. Po seznámení historický odkaz a studiem činnosti děl velkých osobností, matematiků a vědců, můžeme pochopit, jak trigonometrie ovlivňuje naše životy, jak pomáhá vytvářet nové objekty, objevovat.

cíl můj projekt je studovat vliv trigonometrie na lidský život a rozvíjet zájem o ni. Po vyřešení tohoto cíle budeme schopni pochopit, jaké místo zaujímá trigonometrie v našem světě, jaké praktické problémy řeší.

K dosažení tohoto cíle jsme určili následující úkoly:

1. Seznámit se s historií vzniku a vývoje trigonometrie;

2. Zvažte příklady praktického dopadu trigonometrie v různých oblastech činnosti;

3. Ukažte na příkladech možnosti trigonometrie a její uplatnění v životě člověka.

Metody: Vyhledávání a sběr informací.

1. Trigonometrie a historie jejího vývoje

Co je to trigonometrie? Tento termín zahrnuje sekci v matematice, která studuje vztah mezi různými úhly, studuje délky stran trojúhelníku a algebraické identity goniometrických funkcí. Je těžké si představit, že nás tato oblast matematiky napadá Každodenní život.

1.1 Trigonometrie a fáze jejího vzniku

Vraťme se k historii jeho vývoje, fázím formování. Od starověku získala trigonometrie své počátky, rozvinula se a ukázala první výsledky. Vůbec první informace o vzniku a vývoji této oblasti můžeme vidět v rukopisech, které jsou v starověký Egypt, Babylon, Starověká Čína. Zkoumáním 56. problému z Rhindského papyru (2. tisíciletí př. n. l.) lze vidět, že navrhuje najít svah pyramidy, jejíž výška je 250 loket. Délka strany základny jehlanu je 360 ​​loktů (obr. 1). Je zvláštní, že Egypťané při řešení tohoto problému současně používali dva systémy měření - "lokty" a "dlaně". Dnes bychom při řešení tohoto problému našli tangens úhlu: znát polovinu základny a apotému (obr. 1).

Dalším krokem byla fáze rozvoje vědy, která je spojena s astronomem Aristarchem ze Samosu, který žil ve III století před naším letopočtem. E. Pojednání, které uvažuje o velikostech a vzdálenostech Slunce a Měsíce, si dalo za konkrétní úkol. Bylo vyjádřeno v potřebě určit vzdálenost ke každému nebeskému tělesu. Aby bylo možné provést takové výpočty, bylo nutné vypočítat poměr stran pravoúhlého trojúhelníku se známou hodnotou jednoho z úhlů. Aristarchos považoval pravoúhlý trojúhelník tvořený Sluncem, Měsícem a Zemí během kvadratury. Pro výpočet hodnoty přepony, která byla základem vzdálenosti od Země ke Slunci, pomocí nohy, která je základem vzdálenosti od Země k Měsíci, se známou hodnotou zahrnutého úhlu (87°), což je ekvivalentní výpočtu hodnoty úhel hříchu 3. Podle Aristarcha leží tato hodnota v rozmezí od 1/20 do 1/18. To naznačuje, že vzdálenost od Slunce k Zemi je dvacetkrát větší než od Měsíce k Zemi. Víme však, že Slunce je 400krát dále než umístění Měsíce. Chybný úsudek vznikl kvůli nepřesnosti v měření úhlu.

O několik desetiletí později Claudius Ptolemaios ve své Ethnogeography, Analemma a Planisferium poskytuje podrobný výklad trigonometrických doplňků do kartografie, astronomie a mechaniky. Mimo jiné je zobrazena stereografická projekce, studuje se řada věcných otázek, např.: nastavit výšku a úhel nebeského tělesa podle jeho deklinace a hodinového úhlu. Z hlediska trigonometrie to znamená, že je potřeba najít stranu kulového trojúhelníku podle dalších 2 ploch a protilehlého úhlu (obr. 2)

Souhrnně lze poznamenat, že trigonometrie byla použita k:

Jasné stanovení denní doby;

Výpočet nadcházející polohy nebeských těles, epizod jejich východu a západu, zatmění Slunce a Měsíce;

Zjištění zeměpisných souřadnic aktuální polohy;

Výpočet vzdálenosti mezi megaměsty se známými zeměpisnými souřadnicemi.

Gnómon je starověký astronomický mechanismus, vertikální objekt (stéla, sloup, sloup), který umožňuje využít nejmenší délku svého stínu v poledne k určení úhlové výšky slunce (obr. 3).

Kotangens nám tedy byl prezentován jako délka stínu od vertikálního gnómonu 12 (někdy 7) jednotek vysokého. Všimněte si, že v původní verzi byly tyto definice použity k výpočtu slunečních hodin. Tečnu představoval stín padající z horizontálního gnómonu. Kosekans a sečna jsou chápány jako přepony, kterým odpovídají pravoúhlé trojúhelníky.

1.2 Trigonometrie jako pojem. Charakteristický

Poprvé se specifický termín „trigonometrie“ vyskytuje v roce 1505. Byl publikován a použit v knize německého teologa a matematika Bartholomea Pitisca. Zatímco věda se již používala k řešení astronomických, architektonických problémů.

Pojem trigonometrie je charakterizován řeckými kořeny. A skládá se ze dvou částí: „trojúhelník“ a „měřit“. Studiem překladu můžeme říci, že máme před sebou vědu, která studuje změny v trojúhelníkech. Vzhled trigonometrie je spojen s geodézií, astronomií a stavebním procesem. Ačkoli se název objevil relativně nedávno, mnoho definic a údajů, které se v současnosti připisují trigonometrii, bylo známo před rokem 2000.

1.3. Výskyt sinusu

Reprezentace sinus má dlouhou historii. Ve skutečnosti různé vztahy mezi segmenty trojúhelníku a kruhu (a v podstatě goniometrické funkce) se nacházejí již dříve ve 3. století. PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. v dílech slavných matematiků starověkého Řecka - Eukleida, Archiméda, Apollonia z Pergy. V římské době tyto vztahy již celkem pravidelně studoval Menelaos (1. století n. l.), i když nedostaly zvláštní jméno. Moderní sinus úhlu α je například studován jako poloviční tětiva, na které spočívá centrální úhel velikosti α, nebo jako tětiva zdvojeného oblouku.

V následujícím období matematiku po dlouhou dobu nejrychleji formovali indičtí a arabští vědci. Zejména ve 4.–5. století vznikl zvláštní termín dříve v pracích o astronomii slavného indického vědce Aryabhaty (476-cca 550), po němž je pojmenována první hinduistická družice Země. Segment nazval ardhajiva (ardha-polovina, jiva-přerušení tětivy, které připomíná osu). Později se vžil zkrácenější název jiva. Arabští matematici v IX století. výraz jiva (nebo džiba) byl nahrazen arabským slovem jaib (konkávnost). Během přechodu arabských matematických textů ve století XII. toto slovo bylo nahrazeno latinským sinus (sinus-ohyb) (obr. 4).

1.4. Vznik kosinusu

Definice a vznik pojmu "kosinus" je krátkodobější a úzce zaměřený. Kosinus znamená "přídavný sinus" (nebo jinak "sinus dalšího oblouku"; pamatujte cosα= sin(90° - a)). Zajímavostí je, že první způsoby řešení trojúhelníků, které jsou založeny na vztahu mezi stranami a úhly trojúhelníku, nalezené astronomem z r. Starověké Řecko Hipparchos ve druhém století před naším letopočtem. Tuto studii také provedl Claudius Ptolemaios. Postupně se objevovala nová fakta o vztahu mezi poměry stran trojúhelníku a jeho úhly, začala se uplatňovat nová definice - goniometrická funkce.

K formování trigonometrie významně přispěli arabští odborníci Al-Batani (850-929) a Abu-l-Wafa, Mohamed-bin Mohamed (940-998), kteří sestavili tabulky sinů a tečen pomocí 10' s přesností až 1/604. Sinusovou větu dříve znali indický profesor Bhaskara (nar. 1114, rok úmrtí není znám) a ázerbájdžánský astrolog a vědec Nasireddin Tusi Mukhamed (1201-1274). Kromě toho Nasireddin Tusi ve své práci „Práce na úplném čtyřúhelníku“ popsal přímou a sférickou trigonometrii jako samostatnou disciplínu (obr. 4).

1.5. Vznik tečny a kotangens

Tečny vznikly v souvislosti se závěrem problému stanovení délky stínu. Tangentu (a vedle kotangens) ustanovil v 10. století arabský aritmetik Abul-Wafa, který také sestavil původní tabulky pro hledání tangent a kotangens. Tyto objevy však zůstaly evropským vědcům dlouho neznámé a tečny byly znovu objeveny až ve 14. století německým aritmetikem, astronomem Regimontanem (1467). Argumentoval teorémem tečny. Regiomontanus také sestavil podrobné trigonometrické tabulky; Díky jeho práci se rovinná a sférická trigonometrie stala samostatnou disciplínou i v Evropě.

Označení "tangens", které pochází z latinského tanger (dotýkat se), vzniklo v roce 1583. Tangens se překládá jako "ovlivňující" (čára tečen je tečnou k jednotkové kružnici).
Trigonometrie byla dále vytvořena v dílech vynikajících astrologů Nicolaus Copernicus (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) a Johannes Kepler (1571-1630) a také v dílech matematika Francoise Vieta (1540-1603), který je zcela vylučován v tom, že je to zcela vylučoval vše, co je zcela vylučován, a absolutně vylučujícími o tom, že je to úplně vylučováno. tři data (obr. 4).

1.6 Další vývoj trigonometrie

Trigonometrie měla dlouhou dobu výhradně geometrickou podobu, tedy data, která v současnosti formulujeme v definicích goniometrických funkcí, byla formulována a argumentována s podporou geometrických pojmů a tvrzení. Existovala jako taková i ve středověku, i když se v ní někdy používaly analytické metody, zejména poté, co se objevily logaritmy. Možná, že maximální pobídky pro vytvoření trigonometrie se objevily ve spojení s řešením astronomických problémů, což vyvolalo velký pozitivní zájem (například za účelem vyřešení otázek zjišťování polohy lodi, předpovídání výpadku atd.). Astrologové se zabývali vztahem mezi stranami a úhly sférických trojúhelníků. A aritmetika starověku úspěšně zvládla položené otázky.

Od 17. století se goniometrické funkce používají k řešení rovnic, otázek mechaniky, optiky, elektřiny, radiotechniky, aby se zobrazily oscilační děje, šíření vln, výchylka různé prvky, pro studium střídavého galvanického proudu atd. Z tohoto důvodu byly goniometrické funkce prostudovány komplexně a hluboce a staly se nezbytnými pro celou matematiku.

Analytickou teorii goniometrických funkcí vytvořil především vynikající matematik 18. století Leonhard Euler (1707-1783) člen Petrohradská akademie vědy. Eulerovo rozsáhlé vědecké dědictví zahrnuje skvělé výsledky týkající se počtu, geometrie, teorie čísel, mechaniky a dalších aplikací matematiky. Byl to Euler, kdo jako první představil známé definice goniometrických funkcí, začal uvažovat o funkcích libovolného úhlu a získal redukční vzorce. Po Eulerovi získala trigonometrie podobu kalkulu: formální aplikací trigonometrických vzorců se začala dokazovat různá fakta, důkazy se staly mnohem kompaktnějšími, jednoduššími,

Tak se trigonometrie, která vznikla jako věda o řešení trojúhelníků, nakonec vyvinula ve vědu o goniometrických funkcích.

Později se část trigonometrie, která studuje vlastnosti goniometrických funkcí a vztahy mezi nimi, začala nazývat goniometrie (v překladu - nauka o měření úhlů, z řeckého gwnia - úhel, meterw - měřím). Termín goniometrie v Nedávno prakticky nepoužívaný.

2. Trigonometrie a reálný život

Moderní společnost vyznačující se neustálými změnami, objevy, vytvářením high-tech vynálezů, které zlepšují náš život. Trigonometrie se setkává a interaguje s fyzikou, biologií, matematikou, medicínou, geofyzikou, navigací, informatikou.

Pojďme se postupně seznámit s interakcí v jednotlivých odvětvích.

2.1 Navigace

Prvním bodem, který nám vysvětluje použití a výhody trigonometrie, je její vztah k navigaci. Navigací rozumíme vědu, jejímž účelem je studovat a vytvářet nejpohodlnější a nejužitečnější způsoby navigace. Vědci tedy vyvíjejí jednoduchou navigaci, která staví trasu z jednoho bodu do druhého, vyhodnocuje ji a vybírá ze všech nabízených tu nejlepší možnost. Tyto trasy jsou nezbytné pro námořníky, kteří na své cestě čelí mnoha obtížím, překážkám a otázkám ohledně průběhu pohybu. Navigace je také nezbytná: ​​piloti, kteří létají složitá high-tech letadla, se orientují, někdy ve velmi extrémních situacích; kosmonautů, jejichž práce je spojena s ohrožením života, se složitou výstavbou trasy a jejím rozvojem. Podívejme se podrobněji na následující pojmy a úkoly. Jako úkol si můžeme představit následující podmínku: víme zeměpisné souřadnice: zeměpisná šířka a délka mezi body A a B povrch Země. Je třeba najít nejkratší cestu mezi body A a B po zemském povrchu (poloměr Země se považuje za známý: R = 6371 km).

Můžeme také předložit řešení tohoto problému, a to: nejprve objasníme, že zeměpisná šířka bodu M zemského povrchu je hodnota úhlu, který svírá poloměr OM, kde O je střed Země, s rovinou rovníku: ≤ a na sever od rovníku je zeměpisná šířka považována za kladnou a na jih za zápornou. Pro zeměpisnou délku bodu M vezmeme hodnotu dihedrálního úhlu procházejícího v rovinách COM a SON. C znamená severní pól Země. Jako H rozumíme bod odpovídající greenwichské observatoři: ≤ (na východ od greenwichského poledníku je zeměpisná délka považována za kladnou, na západ - zápornou). Jak již víme, nejkratší vzdálenost mezi body A a B na zemském povrchu představuje délka nejmenšího z oblouků velké kružnice, která spojuje A a B. Tento druh oblouku můžeme nazvat ortodromou. V překladu z řečtiny je tento termín chápán jako pravý úhel. Z tohoto důvodu je naším úkolem určit délku strany AB sférického trojúhelníku ABC, kde C je chápáno jako severní polis.

Zajímavý příklad je následující. Při vytváření trasy námořníky je nutná precizní a pečlivá práce. Takže pro stanovení kurzu lodi na mapě, která byla vytvořena v projekci Gerharda Mercatora v roce 1569, byla naléhavá potřeba určit zeměpisnou šířku. Při plavbě na moře však v místech až do 17. století navigátoři neuváděli zeměpisnou šířku. Edmond Gunther (1623) poprvé použil v navigaci trigonometrické výpočty.

S jeho pomocí trigonometrie mohli piloti vypočítat chyby větru pro co nejpřesnější a nejbezpečnější ovládání letadla. Abychom mohli provést tyto výpočty, přejdeme k trojúhelníku rychlostí. Tento trojúhelník vyjadřuje vytvořenou rychlost vzduchu (V), vektor větru (W), vektor pozemní rychlost(Vp). PU - úhel stopy, SW - úhel větru, KUV - úhel směru větru (obr. 5) .

Chcete-li se seznámit s typem závislosti mezi prvky navigačního trojúhelníku rychlostí, musíte se podívat níže:

Vp \u003d V cos US + W cos SW; sin US = * sin SW, tg SW

K řešení navigačního trojúhelníku rychlostí se používají počítací zařízení, která využívají navigační pravítko a mentální výpočty.

2.2 Algebra

Další oblastí interakce trigonometrie je algebra. Právě díky goniometrickým funkcím se řeší velmi složité rovnice a úlohy vyžadující velké výpočty.

Jak víme, ve všech případech, kdy je potřeba interagovat s periodickými procesy a kmity, se dostáváme k použití goniometrických funkcí. Nezáleží na tom, co to je: akustika, optika nebo výkyv kyvadla.

2.3 Fyzika

Kromě navigace a algebry poskytuje trigonometrie přímý vliv a dopad ve fyzice. Když jsou předměty ponořeny do vody, nijak nemění svůj tvar ani objem. Úplným tajemstvím je vizuální efekt, který nutí naši vizi vnímat předmět jiným způsobem. Jednoduché trigonometrické vzorce a hodnoty sinusu úhlu dopadu a lomu polopřímky poskytují pravděpodobnost výpočtu konstantního indexu lomu při průchodu světelného paprsku z koule do koule. Například duha se objeví, protože sluneční světlo dochází k lomu v kapičkách vody suspendovaných ve vzduchu podle zákona lomu:

sinα / sinβ = n1 / n2

kde: n1 je index lomu prvního média; n2 je index lomu druhého média; α-úhel dopadu, β-úhel lomu světla.

Vstup nabitých prvků slunečního větru do horních vrstev atmosféry planet je dán interakcí magnetické pole země se slunečním větrem.

Síla působící na nabitou částici pohybující se v magnetické oblasti se nazývá Lorentzova síla. Je úměrná náboji částice a vektorovému součinu pole a rychlosti částice.

Odhalením praktických aspektů aplikace trigonometrie ve fyzice uvádíme příklad. Tento úkol nutno řešit pomocí goniometrických vzorců a metod řešení. Podmínky úkolu: nakloněná rovina, jehož úhel je 24,5o, je těleso o hmotnosti 90 kg. Je třeba zjistit, jakou silou těleso vyvíjí tlak na nakloněnou rovinu (tedy jakým tlakem těleso na tuto rovinu působí) (obr. 6).

Po určení os X a Y začneme vytvářet projekce sil na osy, nejprve pomocí tohoto vzorce:

ma = N + mg, pak se podívejte na obrázek,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N-mg cos24,50

dosadíme hmotu, zjistíme, že síla je 819 N.

Odpověď: 819 N

2.4 Medicína, biologie a biorytmy

Čtvrtou oblastí, kde má trigonometrie vážný vliv a pomoc, jsou dvě oblasti současně: medicína a biologie.

Jednou ze základních vlastností živé přírody je cykličnost většiny procesů v ní probíhajících. Mezi pohybem nebeská těla a živých organismů na Zemi existuje spojení. Živé organismy nejen zachycují světlo a teplo Slunce a Měsíce, ale mají také různé mechanismy, které přesně určují polohu Slunce, reagují na rytmus přílivu a odlivu, fáze Měsíce a pohyb naší planety.

Biologické rytmy, biorytmy, jsou víceméně pravidelné změny charakteru a intenzity biologických procesů. Schopnost takových změn v životní činnosti se dědí a nachází se téměř ve všech živých organismech. Lze je pozorovat v jednotlivých buňkách, tkáních a orgánech, celých organismech a populacích. Biorytmy se dělí na fyziologický, s periodami od zlomků sekund do několika minut a životní prostředí, v trvání, shodující se s jakýmsi rytmem životní prostředí. Patří sem denní, sezónní, roční, přílivové a lunární rytmy. Hlavní zemský rytmus je denní, díky rotaci Země kolem své osy, proto mají téměř všechny procesy v živém organismu denní periodicitu.

hromada environmentální faktory na naší planetě se pod vlivem této rotace přirozeně mění především světelný režim, teplota, tlak a vlhkost vzduchu, atmosférická a elektromagnetická pole, mořské přílivy.

Jsme ze sedmdesáti pěti procent voda, a pokud v době úplňku vystoupají vody oceánů o 19 metrů nad mořem a začne příliv, pak se voda v našem těle řítí i do horních částí těla. A lidé s vysoký krevní tlak exacerbace onemocnění jsou často pozorovány v těchto obdobích a přírodovědci, kteří sbírají léčivé byliny, přesně vědí, ve které fázi měsíce sbírat "vrcholky - (plody)", a ve které - "kořeny".

Všimli jste si toho v určitá období Dělá váš život nevysvětlitelné skoky? Najednou, z ničeho nic – emoce přetékají. Zvyšuje se citlivost, kterou může náhle vystřídat úplná apatie. Kreativní a neplodné dny, šťastné i nešťastné chvíle, změny nálad. Je třeba poznamenat, že schopnosti lidského těla se periodicky mění. Tento poznatek je základem „teorie tří biorytmů“.

Tělesný biorytmus – reguluje pohybovou aktivitu. Během první poloviny fyzického cyklu je člověk energický a dosahuje nejlepších výsledků ve své činnosti (druhá polovina - energie je horší než lenost).

Emocionální rytmus - v obdobích jeho aktivity se zvyšuje citlivost, zlepšuje se nálada. Člověk se stává podrážděným pro různé vnější kataklyzmata. Pokud má dobrá nálada, staví vzdušné zámky, sní o tom, že se zamiluje a zamiluje se. S poklesem emocionálního biorytmu dochází k poklesu duševní síly, mizí touha a radostná nálada.

Inteligentní biorytmus - zvládá paměť, schopnost učit se, logické myšlení. Ve fázi aktivity dochází k nárůstu a ve fázi druhé k poklesu tvůrčí činnosti, štěstí a úspěch není.

Teorie tří rytmů:

· Fyzický cyklus -23 dní. Určuje energii, sílu, vytrvalost, koordinaci pohybu

Emocionální cyklus - 28 dní. Stát nervový systém a nálada

· Intelektuální cyklus – 33 dní. Definuje tvořivost osobnosti

Trigonometrie se vyskytuje i v přírodě. Pohyb ryb ve vodě nastává podle zákona sinusového nebo kosinusového, pokud zafixujete bod na ocasu a poté zvážíte trajektorii pohybu. Při plavání má tělo ryby tvar křivky, která připomíná graf funkce y=tgx.

Během letu ptáka tvoří trajektorie klapky křídel sinusoidu.

Trigonometrie v medicíně. Výsledkem studie, kterou provedl student íránské univerzity v Shirazu, Wahid-Reza Abbasi, byli lékaři poprvé schopni zefektivnit informace související s elektrickou aktivitou srdce, nebo jinými slovy, elektrokardiografií.

Vzorec nazvaný Teherán byl představen široké vědecké komunitě na 14. konferenci geografické medicíny a poté na 28. konferenci o aplikaci výpočetní techniky v kardiologii, která se konala v Nizozemsku.

Tento vzorec je složitá algebraicko-trigonometrická rovnice sestávající z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie. Tento vzorec podle lékařů značně usnadňuje proces popisu hlavních parametrů činnosti srdce, čímž urychluje diagnostiku a zahájení vlastní léčby.

Mnoho lidí musí udělat EKG srdce, ale málokdo ví, že EKG lidského srdce je sinusový nebo kosinusový graf.

Trigonometrie pomáhá našemu mozku určit vzdálenosti objektů. Američtí vědci tvrdí, že mozek odhaduje vzdálenost objektů měřením úhlu mezi základní rovinou a rovinou vidění. Tohoto závěru bylo dosaženo po sérii experimentů, ve kterých byli účastníci požádáni, aby se na to podívali svět přes hranoly, které tento úhel zvětšují.

Takové zkreslení vedlo k tomu, že experimentální nosiče hranolů vnímaly vzdálené objekty jako bližší a nedokázaly si poradit s nejjednoduššími testy. Někteří z účastníků experimentů se dokonce naklonili dopředu a snažili se zarovnat svá těla kolmo k nesprávně zobrazenému povrchu země. Po 20 minutách si však na zkreslené vnímání zvykli a všechny problémy zmizely. Tato okolnost ukazuje na flexibilitu mechanismu, kterým mozek přizpůsobuje zrakový systém měnícím se vnějším podmínkám. Zajímavé je, že po odstranění hranolů byl nějakou dobu pozorován opačný efekt – nadhodnocení vzdálenosti.

Výsledky nové studie, jak se dalo čekat, budou zajímat inženýry navrhující navigační systémy pro roboty, ale i specialisty, kteří pracují na vytváření co nejrealističtějších virtuálních modelů. Aplikace jsou možné i v oblasti medicíny, při rehabilitaci pacientů s poškozením některých oblastí mozku.

2.5.Hudba

Hudební pole také spolupracuje s trigonometrií.

předkládám vaší pozornosti zajímavé informace o nějaké metodě, která přesně poskytuje spojení mezi trigonometrií a hudbou.

Tato metoda analýzy hudebních děl se nazývá „geometrická teorie hudby“. S jeho pomocí jsou hlavní hudební struktury a transformace převedeny do jazyka moderní geometrie.

Každá poznámka uvnitř nová teorie je reprezentován jako logaritmus frekvence odpovídajícího zvuku (nota „do“ první oktávy například odpovídá číslu 60, oktáva číslu 12). Tětiva je tedy reprezentována jako bod s danými souřadnicemi v geometrickém prostoru. Akordy jsou seskupeny do různých „rodin“, které odpovídají různým typům geometrických prostorů.

Při vývoji nové metody autoři použili 5 známých typů hudebních transformací, které dříve nebyly v hudební teorii při klasifikaci zvukových sekvencí zohledněny - oktávová permutace (O), permutace (P), transpozice (T), inverze (I) a změna kardinality (C). Všechny tyto transformace, jak píší autoři, tvoří tzv. OPTICKÉ symetrie v n-rozměrném prostoru a ukládají hudební informace o akordu – v jaké oktávě jsou jeho tóny, v jakém pořadí se hrají, kolikrát se opakují atd. Pomocí OPTIC symetrií jsou klasifikovány podobné, ale ne identické akordy a jejich sekvence.

Autoři článku ukazují, že různé kombinace těchto 5 symetrií tvoří mnoho různých hudebních struktur, z nichž některé jsou již známé v hudební teorii (posloupnost akordů bude například vyjádřena novými termíny jako OPC), a jiné jsou zásadně novými koncepty, které mohou být přijaty skladateli budoucnosti.

Jako příklad autoři uvádějí geometrické znázornění různých typů akordů čtyř zvuků – čtyřstěn. Koule na grafu představují typy akordů, barvy koulí odpovídají velikosti intervalů mezi zvuky akordů: modrá - malé intervaly, teplejší tóny - "řídší" zvuky akordů. Červená koule je nejharmoničtějším akordem se stejnými intervaly mezi notami, který byl oblíbený u skladatelů 19. století.

„Geometrická“ metoda hudební analýzy může podle autorů studie vést k vytvoření zásadně nových hudební nástroje a nové způsoby vizualizace hudby, jakož i změny v moderních metodách výuky hudby a ve způsobech studia různých hudebních stylů (klasická hudba, populární hudba, rocková hudba atd.). Nová terminologie také pomůže hlouběji porovnat hudební díla skladatelů z různých epoch a prezentovat výsledky výzkumu pohodlnější matematickou formou. Jinými slovy, navrhuje se vyčlenit jejich matematickou podstatu z hudebních děl.

Frekvence odpovídající stejné notě v první, druhé atd. oktávy, vztahují se jako 1:2:4:8 ... Podle legend, které se dostaly ze starověku, první, kdo se o to pokusil, byli Pythagoras a jeho studenti.

Diatonické měřítko 2:3:5 (obr. 8).

2.6.Informatika

Trigonometrie se svým vlivem neobešla ani informatiku. Jeho funkce jsou tedy použitelné pro přesné výpočty. Díky přítomný okamžik, můžeme aproximovat jakoukoli (v určitém smyslu „dobrou“) funkci jejím rozšířením do Fourierovy řady:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Proces výběru čísla nejvhodnějším způsobem čísla a0, a1, b1, a2, b2, ..., lze v podobě takového (nekonečného) součtu znázornit téměř libovolnou funkcí v počítači s požadovanou přesností.

Trigonometrie má vážnou roli a pomoc při vývoji a v procesu práce s grafickými informacemi. Pokud potřebujete simulovat proces, s popisem v elektronické podobě, s rotací určitého objektu kolem určité osy. Dochází k rotaci o určitý úhel. Chcete-li určit souřadnice bodů, budete muset násobit sinusem a kosinusem.

Jako příklad tedy můžete uvést Justina Windella, programátora a designéra pracujícího v Google Grafika Lab. Zveřejnil demo, které ukazuje příklad použití goniometrických funkcí k vytváření dynamických animací.

2.7 Oblast stavebnictví a geodézie

Zajímavým oborem, který spolupůsobí s trigonometrií, je obor stavebnictví a geodézie. Délky stran a úhly libovolného trojúhelníku v rovině jsou propojeny určitými vztahy, z nichž nejdůležitější se nazývají kosinové a sinové věty. Vzorce obsahující a, b, c znamenají, že písmena jsou reprezentována stranami trojúhelníku, které leží proti úhlům A, B, C. Tyto vzorce umožňují třem prvkům trojúhelníku – délkám stran a úhlům – obnovit zbývající tři prvky. Používají se při řešení praktických problémů, například v geodézii.

Celá „klasická“ geodézie je založena na trigonometrii. Jelikož vlastně od pradávna geodety fascinovalo, že „řeší“ trojúhelníky.

Proces výstavby budov, kolejí, mostů a dalších budov začíná průzkumem a projekční práce. Všechna měření na staveništi jsou bez výjimky prováděna s podporou geodetických přístrojů, jako je totální stanice a trigonometrické nivelety. Při trigonometrické nivelaci se zjišťuje výškový rozdíl mezi několika body zemského povrchu.

2.8 Trigonometrie v umění a architektuře

Od doby, kdy na Zemi začal existovat člověk, se věda stala základem pro zlepšování každodenního života a dalších oblastí života. Základem všeho, co člověk vytváří, jsou různé směry přírodních a matematických věd. Jedním z nich je geometrie. Architektura není jediným vědním oborem, ve kterém se používají trigonometrické vzorce. Většina kompozičních rozhodnutí a konstrukce kreseb probíhala přesně s pomocí geometrie. Teoretická data ale znamenají málo. Vezměme si příklad stavby jedné sochy francouzského mistra Zlatého věku umění.

Proporční poměr v konstrukci sochy byl dokonalý. Když však byla socha vyzdvižena na vysoký podstavec, vypadala ošklivě. Sochař nepočítal s tím, že mnoho detailů je perspektivně redukováno směrem k horizontu a při pohledu zdola nahoru již nevzniká dojem jeho ideálnosti. Bylo provedeno mnoho výpočtů, aby postava z velké výšky vypadala proporcionálně. V podstatě vycházely z metody pozorování, tedy přibližného měření, okem. Rozdílový koeficient určitých proporcí však umožnil přiblížit postavu ideálu. Když tedy známe přibližnou vzdálenost od sochy k pohledu, konkrétně od vrcholu sochy k lidským očím a výšku sochy, můžeme pomocí tabulky vypočítat sinus úhlu dopadu pohledu, a tím najít úhel pohledu (obr. 9).

Na obrázku 10 se situace mění, jelikož je socha zvednuta do výšky AC a HC se zvětší, můžeme vypočítat kosinus úhlu C, pomocí tabulky zjistíme úhel dopadu pohledu. V tomto procesu můžete vypočítat AH, stejně jako sinus úhlu C, což vám umožní zkontrolovat výsledky pomocí hlavního trigonometrická identita cos 2 a + hřích 2 a = 1.

Porovnáním měření AH v prvním a druhém případě lze zjistit koeficient úměrnosti. Následně dostaneme kresbu a následně sochu, po zvednutí se postava vizuálně přiblíží ideálu.

Ikonické budovy po celém světě byly navrženy s použitím matematiky, kterou lze považovat za génia architektury. Některé slavné příklady takových budov jsou Gaudího dětská škola v Barceloně, Mary Axe v Londýně, Vinařství Bodegas Isios ve Španělsku a restaurace Los Manantiales v Argentině. Návrh těchto budov se neobešel bez trigonometrie.

Závěr

Po studiu teoretických a aplikovaných aspektů trigonometrie jsem si uvědomil, že toto odvětví je úzce spjato s mnoha vědami. Na samém začátku byla trigonometrie nezbytná pro provádění a měření mezi úhly. Později však jednoduché měření úhlů přerostlo v plnohodnotnou vědu, která studuje goniometrické funkce. Můžeme identifikovat následující oblasti, ve kterých existuje úzké spojení mezi trigonometrií a fyzikou architektury, přírody, medicíny a biologie.

Takže díky trigonometrickým funkcím v medicíně byl objeven vzorec srdce, což je komplexní algebraicko-trigonometrická rovnost, která se skládá z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně možnosti dalších chybných výpočtů v případě arytmie. Tento objev pomáhá lékařům poskytovat kvalifikovanější a kvalitnější lékařskou péči.

Poznamenejme také. že celá klasická geodézie je založena na trigonometrii. Od pradávna se zeměměřiči zabývali „řešením“ trojúhelníků. Proces výstavby budov, silnic, mostů a dalších staveb začíná průzkumnými a projekčními pracemi. Veškerá měření na staveništi jsou prováděna pomocí geodetických přístrojů jako je teodolit a trigonometrická niveleta. Při trigonometrické nivelaci se zjišťuje výškový rozdíl mezi více body na zemském povrchu.

Když se seznámíme s jejím vlivem v jiných oblastech, můžeme konstatovat, že trigonometrie aktivně ovlivňuje život člověka. Propojení matematiky s vnějším světem umožňuje „zhmotnit“ znalosti školáků. Díky tomu dokážeme adekvátněji vnímat a osvojovat si znalosti a informace, které nás ve škole učí.

Cíl mého projektu byl úspěšně dokončen. Studoval jsem vliv trigonometrie v životě a rozvoj zájmu o ni.

Abychom tohoto cíle dosáhli, splnili jsme následující úkoly:

1. Seznámili jsme se s historií vzniku a vývoje trigonometrie;

2. Zvažované příklady praktického dopadu trigonometrie v různých oblastech činnosti;

3. Ukázat na příkladech možnosti trigonometrie a její aplikace v životě člověka.

Studium historie vzniku tohoto odvětví pomůže vzbudit zájem mezi školáky, utvořit si správný pohled na svět a zlepšit obecnou kulturu středoškoláka.

Tato práce bude užitečná pro středoškoláky, kteří ještě neviděli krásu trigonometrie a nejsou obeznámeni s oblastmi jejího uplatnění v okolním životě.

Bibliografie

Glazer G.I.

Glazer G.I.

Rybnikov K.A.

Bibliografie

A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin et al. "Algebra a počátky analýzy" Učebnice pro ročníky 10-11 vzdělávacích institucí, M., Education, 2013.

Glazer G.I. Dějepis matematiky ve škole: VII-VIII třída. - M.: Vzdělávání, 2012.

Glazer G.I. Historie matematiky ve škole: IX-X buňky. - M.: Vzdělávání, 2013.

Rybnikov K.A. Dějiny matematiky: Učebnice. - M.: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1994 A. - M.: postgraduální škola, 2016. - 134 s.

Olechnik, S.N. Problémy z algebry, trigonometrie a elementárních funkcí / S.N. Olekhnik. - M.: Vyšší škola, 2013. - 645 s.

Potapov, M.K. Algebra, trigonometrie a elementární funkce / M.K. Potapov. - M.: Vyšší škola, 2014. - 586 s.

Potapov, M.K. Algebra. Trigonometrie a elementární funkce / M.K. Potapov, V.V. Alexandrov, P.I. Pasichenko. - M.: [neuvedeno], 2015. - 762 s.

Příloha 1

Obr. 1Obrázek pyramidy. Výpočet sklonu b / h

Goniometr Seked Obecně vypadá egyptský vzorec pro výpočet sekedu pyramidy Tak:.

Staroegyptský termín seked“ označoval úhel sklonu. Bylo to přes výšku, rozdělené na polovinu základny. "Délka pyramidy na východní straně je 360 ​​(loktů), výška je 250 (loktů). Musíte vypočítat sklon východní strany. Chcete-li to provést, vezměte polovinu z 360, tj. 180. Vydělte 180 250. Získáte: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 loket. Všimněte si, že jeden loket se rovná 7 šířkám ruky. Nyní vynásobte výsledná čísla 7 takto: " Obr.2Gnomon Obr.3 Určení úhlové výšky slunce Obr.4 Základní vzorce trigonometrie Obr.5 Navigace v trigonometrii Obr.6 Fyzika v trigonometrii Obr.7 Teorie tří rytmů ( Fyzický cyklus je 23 dní. Určuje energii, sílu, vytrvalost, koordinaci pohybu; Emoční cyklus je 28 dní. Stav nervového systému a nálada; Intelektuální cyklus - 33 dní. Určuje tvůrčí schopnosti jednotlivce) Rýže. 8 Trigonometrie v hudbě Obr.9, 10 Trigonometrie v architektuře

zarovnat=na střed>

Trigonometrie- mikrosekce matematiky, která studuje vztah mezi úhly a délkami stran trojúhelníků, stejně jako algebraické identity goniometrických funkcí.
Existuje mnoho oblastí, kde se trigonometrie a goniometrické funkce uplatňují. Trigonometrie neboli trigonometrické funkce se používají v astronomii, námořní a letecké navigaci, akustice, optice, elektronice, architektuře a dalších oborech.

Historie vzniku trigonometrie

Historie trigonometrie jako vědy o vztahu mezi úhly a stranami trojúhelníku a dalšími geometrické tvary trvá přes dvě tisíciletí. Většinu těchto vztahů nelze vyjádřit pomocí běžných algebraických operací, a proto bylo nutné zavést speciální goniometrické funkce, původně prezentované ve formě číselných tabulek.
Historici se domnívají, že trigonometrii vytvořili starověcí astronomové a o něco později se začala používat v architektuře. Postupem času se záběr trigonometrie neustále rozšiřoval, dnes zahrnuje téměř všechny přírodní vědy, technologie a řada dalších oblastí činnosti.

Raná století

Z babylonské matematiky jsme zvyklí měřit úhly ve stupních, minutách a sekundách (zavedení těchto jednotek do starořecké matematiky se obvykle připisuje 2. století př. n. l.).

Hlavním úspěchem tohoto období byl poměr noh a přepony v pravoúhlém trojúhelníku, později nazývaný Pythagorova věta.

Starověké Řecko

Obecná a logicky souvislá prezentace goniometrických vztahů se objevila ve starověké řecké geometrii. Řečtí matematici ještě trigonometrii jako samostatnou vědu nevyčleňovali, byla pro ně součástí astronomie.
Hlavním úspěchem starověké trigonometrické teorie bylo řešení v obecné podobě problému „řešení trojúhelníků“, tedy hledání neznámých prvků trojúhelníku, na základě tří daných prvků (z nichž alespoň jeden je stranou).
Aplikované goniometrické úlohy jsou velmi různorodé - lze například nastavit měřitelné výsledky operací na vyjmenovaných veličinách (například součet úhlů nebo poměr délek stran).
Souběžně s rozvojem rovinné trigonometrie Řekové pod vlivem astronomie daleko pokročili sférickou trigonometrii. V Euklidových „Principech“ na toto téma existuje pouze teorém o poměru objemů kuliček různých průměrů, ale potřeby astronomie a kartografie způsobily rychlý vývoj sférická trigonometrie a příbuzné oblasti - systémy nebeské souřadnice, teorie kartografických projekcí, technologie astronomických přístrojů.

Středověk

Ve čtvrtém století, po smrti starověké vědy, se centrum rozvoje matematiky přestěhovalo do Indie. Změnili některé koncepty trigonometrie a přiblížili je moderním: jako první například zavedli kosinus.

První specializované pojednání o trigonometrii bylo dílem středoasijského vědce (X-XI století) „Kniha klíčů vědy o astronomii“ (995-996). Celý kurz trigonometrie obsahoval hlavní dílo Al-Biruniho – „Kánonu Mas'ud“ (Kniha III). Kromě tabulek sinů (s krokem 15") Al-Biruni dal tabulky tečen (s krokem 1°).

Poté, co byla arabská pojednání v XII-XIII století přeložena do latiny, mnoho myšlenek indických a perských matematiků se stalo majetkem evropské vědy. K prvnímu seznámení Evropanů s trigonometrií došlo zřejmě díky zij, jehož dva překlady vznikly ve 12. století.

První evropské dílo věnované výhradně trigonometrii se často nazývá Čtyři pojednání o přímých a obrácených akordech od anglického astronoma Richarda z Wallingfordu (kolem roku 1320). Trigonometrické tabulky, často přeložené z arabštiny, ale někdy původní, jsou obsaženy v dílech řady dalších autorů 14.–15. Mezi univerzitními kurzy pak zaujala místo trigonometrie.

nový čas

Rozvoj trigonometrie v moderní době se stal mimořádně důležitým nejen pro astronomii a astrologii, ale i pro další aplikace, především dělostřelectvo, optiku a navigaci při dálkových námořních cestách. Proto se po 16. století tímto tématem zabývalo mnoho významných vědců, mimo jiné Mikuláš Koperník, Johannes Kepler, Francois Viet. Dvě kapitoly věnoval Koperník trigonometrii ve svém pojednání O revolucích nebeských sfér (1543). Brzy (1551) se objevily 15místné trigonometrické tabulky Rhetica, studenta Koperníka. Kepler publikoval Optical Astronomy (1604).

Vieta v první části svého "Matematického kánonu" (1579) umístil různé tabulky, včetně trigonometrických, a ve druhé části podal podrobnou a systematickou, i když bez důkazu, představení rovinné a sférické trigonometrie. V roce 1593 připravil Vieta rozšířené vydání tohoto kapitálního díla.
Díky práci Albrechta Dürera se zrodila sinusoida.

18. století

Dal moderní vzhled trigonometrii. V pojednání Úvod do analýzy nekonečna (1748) dal Euler definici goniometrických funkcí ekvivalentních těm moderním a podle toho definoval inverzní funkce.

Euler považoval za přípustné záporné úhly a úhly větší než 360°, což umožnilo určit goniometrické funkce na celé reálné číselné ose a následně je rozšířit do komplexní roviny. Když vyvstala otázka rozšíření goniometrických funkcí na tupé úhly, byla znaménka těchto funkcí před Eulerem často vybrána chybně; mnoho matematiků považovalo například kosinus a tangens tupého úhlu za kladné. Euler určil tato znaménka pro úhly v různých souřadnicových kvadrantech na základě redukčních vzorců.
Euler nestudoval obecnou teorii goniometrických řad a nezkoumal konvergenci získaných řad, ale získal několik důležitých výsledků. Zejména odvodil expanze celočíselných mocnin sinus a kosinus.

Aplikace trigonometrie

Ti, kteří říkají, že trigonometrie není v reálném životě potřeba, mají svým způsobem pravdu. Jaké jsou jeho obvyklé aplikované úkoly? Změřte vzdálenost mezi nepřístupnými předměty.
Velký význam má triangulační technika, která umožňuje měřit vzdálenosti k blízkým hvězdám v astronomii, mezi orientačními body v geografii a ovládat satelitní navigační systémy. Je třeba také poznamenat použití trigonometrie v takových oblastech, jako je navigační technologie, hudební teorie, akustika, optika, analýza finančního trhu, elektronika, teorie pravděpodobnosti, statistika, biologie, medicína (včetně ultrazvuku a počítačové tomografie), farmacie, chemie, teorie čísel (a v důsledku toho i kryptografie), seismologie, meteorologie, oceánologie, kartografie, geografie, architektura telefonu, geodetické inženýrství, architektura, počítačová grafika, krystalová architektura grafiky atd.
Závěr: trigonometrie je obrovským pomocníkem v našem každodenním životě.

Trigonometrie v astronomii:

Potřeba řešení trojúhelníků byla poprvé objevena v astronomii; proto byla po dlouhou dobu vyvíjena a studována trigonometrie jako jedno z odvětví astronomie.

Hipparchem sestavené tabulky poloh Slunce a Měsíce umožnily předpovědět okamžiky začátku zatmění (s chybou 1-2 hodiny). Hipparchos byl první, kdo v astronomii použil metody sférické trigonometrie. Zlepšil přesnost pozorování pomocí vláken v goniometrických přístrojích – sextantech a kvadrantech – k nasměrování hvězdy na hvězdu. Vědec sestavil katalog pozic 850 hvězd, v té době obrovských, a rozdělil je podle jasnosti do 6 stupňů (magnitud). Hipparchos zavedl zeměpisné souřadnice – zeměpisnou šířku a délku a lze jej považovat za zakladatele matematické geografie. (asi 190 př. n. l. – asi 120 př. n. l.)


Kompletní řešeníúlohy určení všech prvků plochého nebo sférického trojúhelníku ze tří daných prvků, důležité expanze sin nx a cos nx v mocninách cos x a sinx. Znalost vzorce pro sinusy a kosinusy vícenásobných oblouků umožnila Vietovi vyřešit rovnici 45. stupně navrženou matematikem A. Roomenem; Viet ukázal, že řešení této rovnice spočívá v rozdělení úhlu na 45 stejných částí a že existuje 23 kladných kořenů této rovnice. Viet vyřešil Apolloniův problém s pravítkem a kompasem.
Řešení sférických trojúhelníků je jedním z úkolů astronomie.Vypočítejte strany a úhly libovolného sférického trojúhelníku ze tří vhodně daných stran nebo úhlů pomocí následujících vět: (sinusová věta) (kosinová věta pro úhly) (kosinová věta pro strany).

Trigonometrie ve fyzice:

typy oscilačních jevů.

Harmonické kmitání je jev periodické změny nějaké veličiny, při kterém má závislost na argumentu charakter funkce sinus nebo kosinus. Například množství, které se mění v čase takto harmonicky kolísá:

Kde x je hodnota měnící se veličiny, t je čas, A je amplituda kmitů, ω je cyklická frekvence kmitů, je úplná fáze kmitů, r je počáteční fáze kmitů.

Mechanické vibrace . Mechanické vibrace

Trigonometrie v přírodě.

Často si klademe otázku

• Jeden z základní vlastnosti
• jsou víceméně pravidelné změny charakteru a intenzity biologických procesů.
• Základní zemský rytmus- denně.

Trigonometrie v biologii

• Trigonometrie hraje v medicíně důležitou roli. S jeho pomocí objevili íránští vědci vzorec srdce - komplexní algebraicko-trigonometrickou rovnost, skládající se z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie.

• diatonické měřítko 2:3:5

Trigonometrie v architektuře

• Swiss Re Insurance Corporation v Londýně

1. Výklad

Uvedli jsme jen malou část toho, kde goniometrické funkce najdete.. Zjistili jsme

Dokázali jsme, že trigonometrie úzce souvisí s fyzikou, vyskytuje se v přírodě, medicíně. Je možné uvést nekonečně mnoho příkladů periodických procesů živé i neživé přírody. Všechny periodické procesy lze popsat pomocí goniometrických funkcí a znázornit na grafech

Myslíme si, že trigonometrie se odráží v našich životech a sférách

ve kterých hraje důležitou roli se rozšíří.

• Zjistilže trigonometrie byla uvedena do života potřebou měřit úhly, ale postupem času se vyvinula ve vědu o goniometrických funkcích.
• Dokázal
• Myslíme

Zobrazit obsah dokumentu
"Danilova T.V.-scénář"

MKOU „Něnecká střední škola – internátní škola pojmenovaná po. A.P. Pyrerki"

Vzdělávací projekt

" "

Danilová Taťána Vladimirovna

Učitel matematiky

Odůvodnění relevance projektu.

Trigonometrie je obor matematiky, který studuje goniometrické funkce. Je těžké si to představit, ale s touto vědou se setkáváme nejen v hodinách matematiky, ale i v každodenním životě. Možná si to neuvědomujete, ale trigonometrie se vyskytuje v takových vědách, jako je fyzika, biologie, hraje důležitou roli v medicíně a co je nejzajímavější, neobejde se bez ní ani hudba a architektura.
Slovo trigonometrie se poprvé objevuje v roce 1505 v názvu knihy německého matematika Pitisca.
Trigonometrie je řecké slovo a doslova znamená měření trojúhelníků (trigonan - trojúhelník, metro - měřím).
Vznik trigonometrie úzce souvisel s zeměměřičstvím, astronomií a stavebnictvím.

Školák ve věku 14-15 let vždy neví kam půjde studovat a kde pracovat.
U některých profesí je její znalost nezbytná, protože. umožňuje měřit vzdálenosti k blízkým hvězdám v astronomii, mezi orientačními body v geografii, ovládat satelitní navigační systémy. Principy trigonometrie se také používají v oblastech jako hudební teorie, akustika, optika, analýza finančního trhu, elektronika, teorie pravděpodobnosti, statistika, biologie, medicína (včetně ultrazvuku a počítačové tomografie), farmacie, chemie, teorie čísel (a v důsledku toho i kryptografie), seismologie, meteorologie, oceánologie, kartografie, mnoho oborů fyziky, strojní inženýrství, počítačová geodézie, krystalová architektura, telefon.

Vymezení předmětu zkoumání

3. Cíle projektu.

problémová otázka
1. Jaké pojmy trigonometrie se nejčastěji používají v reálném životě?
2. Jakou roli hraje trigonometrie v astronomii, fyzice, biologii a medicíně?
3. Jak spolu souvisí architektura, hudba a trigonometrie?

Hypotéza

Testování hypotéz

Trigonometrie (z řečtiny.trigonon - trojúhelník,metro - Metr) -

Historie trigonometrie:

Starověcí lidé vypočítali výšku stromu porovnáním délky jeho stínu s délkou stínu tyče, jejíž výška byla známá. Hvězdy vypočítaly polohu lodi na moři.

Další krok ve vývoji trigonometrie učinili Indiáni v období 5. až 12. století.

Samotný pojem kosinus se v dílech evropských vědců objevil mnohem později, poprvé na konci 16. století od tzv. „komplement sinus“, tzn. sinus úhlu, který doplňuje daný úhel až do 90°. "Sinus komplement" nebo (v latině) sinus komplementi se začalo zkracovat jako sinus co nebo co-sinus.

V XVII - XIX století. trigonometrie se stává jednou z kapitol matematické analýzy.

Velké uplatnění nachází v mechanice, fyzice a technice, zejména při studiu oscilačních pohybů a dalších periodických procesů.

Jean Fourier dokázal, že jakýkoli periodický pohyb může být reprezentován (s jakýmkoli stupněm přesnosti) jako součet jednoduchých harmonických oscilací.

do systému matematické analýzy.

Kde se používá trigonometrie?

Trigonometrické výpočty se používají téměř ve všech oblastech lidského života. Je třeba poznamenat použití v takových oblastech, jako jsou: astronomie, fyzika, příroda, biologie, hudba, medicína a mnoho dalších.

Trigonometrie v astronomii:

Potřeba řešení trojúhelníků byla poprvé objevena v astronomii; proto byla po dlouhou dobu vyvíjena a studována trigonometrie jako jedno z odvětví astronomie.

Potřeba řešení trojúhelníků byla poprvé objevena v astronomii; proto byla po dlouhou dobu vyvíjena a studována trigonometrie jako jedno z odvětví astronomie.

Úspěchy Viety v trigonometrii
Kompletní řešení problému určení všech prvků plochého nebo sférického trojúhelníku ze tří daných prvků, důležité expanze sin nx a cos nx v mocninách cos x a sinx. Znalost vzorce pro sinusy a kosinusy vícenásobných oblouků umožnila Vietovi vyřešit rovnici 45. stupně navrženou matematikem A. Roomenem; Viet ukázal, že řešení této rovnice spočívá v rozdělení úhlu na 45 stejných částí a že existuje 23 kladných kořenů této rovnice. Viet vyřešil Apolloniův problém s pravítkem a kompasem.
Řešení sférických trojúhelníků je jedním z úkolů astronomie.Vypočítejte strany a úhly libovolného sférického trojúhelníku ze tří vhodně daných stran nebo úhlů pomocí následujících vět: (sinusová věta) (kosinová věta pro úhly) (kosinová věta pro strany).

Trigonometrie ve fyzice:

Ve světě kolem nás se musíme potýkat s periodickými procesy, které se v pravidelných intervalech opakují. Tyto procesy se nazývají oscilační. Oscilační jevy různých fyzické povahy dodržovat obecné zákony a jsou popsány stejnými rovnicemi. Existují různé typy oscilačních jevů.

harmonické kmitání- jev periodické změny veličiny, při kterém má závislost na argumentu charakter funkce sinus nebo kosinus. Například množství, které se mění v čase takto harmonicky kolísá:

Kde x je hodnota měnící se veličiny, t je čas, A je amplituda kmitů, ω je cyklická frekvence kmitů, je úplná fáze kmitů, r je počáteční fáze kmitů.

Zobecněné harmonické kmitání v diferenciálním tvaru x'' + ω²x = 0.

Mechanické vibrace . Mechanické vibrace nazývané pohyby těles, které se opakují přesně ve stejných časových intervalech. Grafický obrázek Tato funkce poskytuje vizuální znázornění průběhu oscilačního procesu v čase. Příklady jednoduchých mechanických oscilačních systémů jsou závaží na pružině nebo matematické kyvadlo.

Trigonometrie v přírodě.

Často si klademe otázku Proč někdy vidíme věci, které tam ve skutečnosti nejsou?. Pro výzkum jsou navrženy následující otázky: „Jak se objevuje duha? Northern Lights?", "Co je optický klam? "Jak může trigonometrie pomoci odpovědět na tyto otázky?".

Teorii duhy poprvé uvedl v roce 1637 René Descartes. Vysvětlil duhu jako jev spojený s odrazem a lomem světla v dešťových kapkách.

Aurora Borealis Průnik nabitých částic slunečního větru do horní atmosféry planet je dán interakcí magnetického pole planety se slunečním větrem.

Síla působící na nabitou částici pohybující se v magnetickém poli se nazývá Lorentzova síla. Je úměrná náboji částice a vektorovému součinu pole a rychlosti částice.

Američtí vědci tvrdí, že mozek odhaduje vzdálenost objektů měřením úhlu mezi základní rovinou a rovinou vidění.

Kromě toho biologie používá takový koncept jako karotický sinus, karotický sinus a venózní nebo kavernózní sinus.

Trigonometrie hraje v medicíně důležitou roli. S jeho pomocí objevili íránští vědci vzorec srdce - komplexní algebraicko-trigonometrickou rovnost, skládající se z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie.

Jeden z základní vlastnostiživá příroda je cykličnost většiny procesů v ní probíhajících.

Biologické rytmy, biorytmy

Základní zemský rytmus- denně.

Model biorytmů lze sestavit pomocí goniometrických funkcí.

Trigonometrie v biologii

Jaké biologické procesy jsou spojeny s trigonometrií?

Trigonometrie hraje v medicíně důležitou roli. S jeho pomocí objevili íránští vědci vzorec srdce - komplexní algebraicko-trigonometrickou rovnost, skládající se z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie.

Biologické rytmy, biorytmy spojené s trigonometrií

Model biorytmů lze sestavit pomocí grafů goniometrických funkcí. Chcete-li to provést, musíte zadat datum narození osoby (den, měsíc, rok) a dobu trvání prognózy

Pohyb ryb ve vodě nastává podle zákona sinusového nebo kosinusového, pokud zafixujete bod na ocasu a poté zvážíte trajektorii pohybu.

Vznik hudební harmonie

Podle legend, které pocházejí ze starověku, první, kdo se o to pokusil, byl Pythagoras a jeho studenti.

Frekvence odpovídající stejné notě v první, druhé atd. oktávy spolu souvisí jako 1:2:4:8…

diatonické měřítko 2:3:5

Trigonometrie v architektuře

Gaudího dětská škola v Barceloně

Swiss Re Insurance Corporation v Londýně

Restaurace Felix Candela v Los Manantiales

Výklad

Uvedli jsme jen malou část toho, kde lze goniometrické funkce najít .. Zjistili jsme, že trigonometrie byla přivedena k životu potřebou měření úhlů, ale postupem času se vyvinula ve vědu o goniometrických funkcích.

Dokázali jsme, že trigonometrie úzce souvisí s fyzikou, vyskytuje se v přírodě, medicíně. Je možné uvést nekonečně mnoho příkladů periodických procesů živé i neživé přírody. Všechny periodické procesy lze popsat pomocí goniometrických funkcí a znázornit na grafech

Myslíme si, že trigonometrie se odráží v našich životech a sférách

ve kterých hraje důležitou roli se rozšíří.

Zjistilže trigonometrie byla uvedena do života potřebou měřit úhly, ale postupem času se vyvinula ve vědu o goniometrických funkcích.

Dokázalže trigonometrie úzce souvisí s fyzikou, nachází se v přírodě, hudbě, astronomii a medicíně.

Myslímeže trigonometrie se odráží v našem životě a oblasti, ve kterých hraje důležitou roli, se budou rozšiřovat.

7. Literatura.

Maple6 program, který implementuje obraz grafů

"wikipedie"

Study.ru

Math.ru "knihovna"

Zobrazit obsah prezentace
"Danilová T.V."

" Trigonometrie ve světě kolem nás a lidském životě "

Cíle výzkumu:

Propojení trigonometrie s reálným životem.

problémová otázka 1. Jaké pojmy trigonometrie se nejčastěji používají v reálném životě? 2. Jakou roli hraje trigonometrie v astronomii, fyzice, biologii a medicíně? 3. Jak spolu souvisí architektura, hudba a trigonometrie?

Hypotéza

Většinu fyzikálních jevů přírody, fyziologických procesů, zákonitostí v hudbě a umění lze popsat pomocí trigonometrie a trigonometrických funkcí.

Co je to trigonometrie???

Trigonometrie (z řeckého trigonon - trojúhelník, metro - metr) - mikrosekce matematiky, která studuje vztah mezi úhly a délkami stran trojúhelníků, stejně jako algebraické identity goniometrických funkcí.

Historie trigonometrie

Počátky trigonometrie sahají do starověkého Egypta, Babylónie a údolí Indu před více než 3000 lety.

Slovo trigonometrie se poprvé vyskytuje v roce 1505 v názvu knihy německého matematika Pitisca.

Poprvé byly metody řešení trojúhelníků založené na závislostech mezi stranami a úhly trojúhelníku nalezeny starověkými řeckými astronomy Hipparchem a Ptolemaiem.

Starověcí lidé vypočítali výšku stromu porovnáním délky jeho stínu s délkou stínu tyče, jejíž výška byla známá.

Hvězdy vypočítaly polohu lodi na moři.

Další krok ve vývoji trigonometrie učinili Indiáni v období 5. až 12. století.

V rozdíl od Řeků eytsy začal uvažovat a používat ve výpočtech ne celý akord MM  odpovídající středový úhel, ale pouze jeho polovinu MP, tedy sinus  polovina středového rohu.

Samotný pojem kosinus se v dílech evropských vědců objevil mnohem později poprvé na konci 16. století od t. « sinusový doplněk » , tj. sinus úhlu doplňujícího daný úhel na 90  . « Sinus přidání » nebo (v latině) sinus komplementi se stal zkráceným jako sinus co nebo co-sinus.

Spolu se sinusem zavedli Indiáni do trigonometrie kosinus , přesněji řečeno, začali při výpočtech používat kosinusovou čáru. Znali také poměry cos  =hřích(90  -  ) a hřích 2  + cos 2  =r 2 , stejně jako vzorce pro sinus součtu a rozdílu dvou úhlů.

V XVII - XIX století. trigonometrie se stává

jedna z kapitol matematické analýzy.

Velké uplatnění nachází v mechanice,

fyziky a techniky, zejména při studiu

oscilační pohyby a další

periodické procesy.

Viet věděl o vlastnostech periodicity goniometrických funkcí, jejichž první matematické studie souvisely s trigonometrií.

Dokázal, že každé periodikum

pohyb může být

prezentovány (s jakýmkoli stupněm

přesnost) jako součet prostého

harmonické vibrace.

Zakladatel analytická

teorie

trigonometrický funkcí .

Leonhard Euler

V „Úvod do analýzy nekonečna“ (1748)

léčí sinus, kosinus atd. ne jako

trigonometrické čáry, povinné

souvisí s kruhem, ale jak

goniometrické funkce, které

nahlíženo jako na vztah

pravoúhlý trojúhelník jako číslo

množství.

Vyloučeno z mých vzorců

R je celý sinus, přičemž

R = 1, a takto zjednodušeně

způsob psaní a počítání.

Rozvíjí doktrínu

o goniometrických funkcích

jakýkoli argument.

V 19. stol

vývoj teorie

trigonometrický

funkcí.

N. I. Lobačevskij

„Geometrické úvahy,“ píše Lobačevskij, „jsou nezbytné až do začátku trigonometrie, dokud neposlouží k odhalení zvláštní vlastnosti goniometrických funkcí... Proto se trigonometrie stává zcela nezávislou na geometrii a má všechny výhody analýzy.“

Etapy vývoje trigonometrie:

• Trigonometrii přivedla k životu potřeba měřit úhly.

• Prvními kroky v trigonometrii bylo stanovení vztahů mezi velikostí úhlu a poměrem speciálně konstruovaných úseček. Výsledkem je schopnost řešit ploché trojúhelníky.

• Potřeba tabelovat hodnoty zavedených goniometrických funkcí.

• Goniometrické funkce se proměnily v samostatné objekty výzkumu.

• V XVIII století. goniometrické funkce byly povoleny

do systému matematické analýzy.

Kde se používá trigonometrie?

Trigonometrické výpočty se používají téměř ve všech oblastech lidského života. Je třeba poznamenat použití v takových oblastech, jako jsou: astronomie, fyzika, příroda, biologie, hudba, medicína a mnoho dalších.

Trigonometrie v astronomii

Potřeba řešení trojúhelníků byla poprvé objevena v astronomii; proto byla po dlouhou dobu vyvíjena a studována trigonometrie jako jedno z odvětví astronomie.

Trigonometrie také dosáhla značných výšek mezi indickými středověkými astronomy.

Hlavním úspěchem indických astronomů bylo nahrazení akordů

sinusů, které umožňovaly vstoupit různé funkce příbuzný

se stranami a úhly pravoúhlého trojúhelníku.

Tak byl v Indii položen začátek trigonometrie.

jako nauka o goniometrických veličinách.

Hipparchem sestavené tabulky poloh Slunce a Měsíce umožnily předpovědět okamžiky začátku zatmění (s chybou 1-2 hodiny). Hipparchos byl první, kdo v astronomii použil metody sférické trigonometrie. Zlepšil přesnost pozorování pomocí závitů v goniometrických přístrojích - sextantech a kvadrantech - k nasměrování hvězdy na hvězdu. Vědec sestavil katalog pozic 850 hvězd, v té době obrovských, a rozdělil je podle jasnosti do 6 stupňů (magnitud). Hipparchos zavedl zeměpisné souřadnice – zeměpisnou šířku a délku a lze jej považovat za zakladatele matematické geografie. (asi 190 př. n. l. – asi 120 př. n. l.)

Hipparchos

Trigonometrie ve fyzice

Ve světě kolem nás se musíme potýkat s periodickými procesy, které se v pravidelných intervalech opakují. Tyto procesy se nazývají oscilační. Oscilační jevy různé fyzikální povahy se řídí běžnými zákony a jsou popsány stejnými rovnicemi. Existují různé typy oscilačních jevů, například:

Mechanické vibrace

Harmonické vibrace

Harmonické vibrace

harmonické kmitání - jev periodické změny veličiny, při kterém má závislost na argumentu charakter funkce sinus nebo kosinus. Například množství, které se mění v čase takto harmonicky kolísá:

nebo

Kde x je hodnota měnící se veličiny, t je čas, A je amplituda kmitů, ω je cyklická frekvence kmitů, je úplná fáze kmitů, r je počáteční fáze kmitů.

Zobecněné harmonické kmitání v diferenciálním tvaru x'' + ω²x = 0.

Mechanické vibrace

Mechanické vibrace nazývané pohyby těles, které se opakují přesně ve stejných časových intervalech. Grafické znázornění této funkce poskytuje vizuální znázornění průběhu oscilačního procesu v čase.

Příklady jednoduchých mechanických oscilačních systémů jsou závaží na pružině nebo matematické kyvadlo.

Matematické kyvadlo

Na obrázku jsou znázorněny kmity kyvadla, pohybuje se po křivce zvané kosinus.

Trajektorie střely a vektorové projekce na osách X a Y

Z obrázku je vidět, že průměty vektorů na osy X a Y jsou rovné

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Trigonometrie v přírodě

Často si klademe otázku Proč někdy vidíme věci, které tam ve skutečnosti nejsou?. Pro výzkum jsou navrženy následující otázky: „Jak se objevuje duha? Polární záře?", "Co jsou optické iluze?" "Jak může trigonometrie pomoci odpovědět na tyto otázky?".

optický klam

přírodní

umělý

smíšený

teorie duhy

Duha se vytváří díky skutečnosti, že sluneční světlo je lámáno kapičkami vody zavěšenými ve vzduchu zákon lomu:

Teorii duhy poprvé uvedl v roce 1637 René Descartes. Vysvětlil duhu jako jev spojený s odrazem a lomem světla v dešťových kapkách.

hřích α / hřích β =n 1 /n 2

kde n 1 \u003d 1, n 2 ≈1,33 jsou indexy lomu vzduchu a vody, v tomto pořadí, α je úhel dopadu a β je úhel lomu světla.

Severní polární záře

Průnik nabitých částic slunečního větru do horní atmosféry planet je dán interakcí magnetického pole planety se slunečním větrem.

Síla působící na nabitou částici pohybující se v magnetickém poli se nazývá Lorentzova síla. Je úměrná náboji částice a vektorovému součinu pole a rychlosti částice.

• Američtí vědci tvrdí, že mozek odhaduje vzdálenost objektů měřením úhlu mezi základní rovinou a rovinou vidění.

• Kromě toho biologie používá takový koncept jako karotický sinus, karotický sinus a venózní nebo kavernózní sinus.

• Trigonometrie hraje v medicíně důležitou roli. S jeho pomocí objevili íránští vědci vzorec srdce - komplexní algebraicko-trigonometrickou rovnost, skládající se z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie.

• Jeden z základní vlastnostiživá příroda je cykličnost většiny procesů v ní probíhajících.

• Biologické rytmy, biorytmy jsou víceméně pravidelné změny charakteru a intenzity biologických procesů.

• Základní zemský rytmus- denně.

• Model biorytmů lze sestavit pomocí goniometrických funkcí.

Trigonometrie v biologii

Jaké biologické procesy jsou spojeny s trigonometrií?

• Trigonometrie hraje v medicíně důležitou roli. S jeho pomocí objevili íránští vědci vzorec srdce - komplexní algebraicko-trigonometrickou rovnost, skládající se z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie.
• Biologické rytmy, biorytmy jsou spojeny s trigonometrií.

• Model biorytmů lze sestavit pomocí grafů goniometrických funkcí.

• Chcete-li to provést, musíte zadat datum narození osoby (den, měsíc, rok) a dobu trvání prognózy.

Trigonometrie v biologii

Pohyb ryb ve vodě nastává podle zákona sinusového nebo kosinusového, pokud zafixujete bod na ocasu a poté zvážíte trajektorii pohybu.

Při plavání má tělo ryby tvar křivky, která připomíná graf funkce y=tgx.

Vznik hudební harmonie

• Podle legend, které pocházejí ze starověku, první, kdo se o to pokusil, byl Pythagoras a jeho studenti.

• Odpovídající frekvence

stejná nota v první, druhé atd. oktávy spolu souvisí jako 1:2:4:8…

• diatonické měřítko 2:3:5

Hudba má svou vlastní geometrii

Čtyřstěn různých typů akordů čtyř zvuků:

modrá - malé intervaly;

teplejší tóny - více "vybitých" zvuků akordů; červená koule je nejharmoničtějším akordem se stejnými intervaly mezi notami.

cos 2 C + hřích 2 C = 1

AC- vzdálenost od vrcholu sochy k očím osoby,

AN- výška sochy,

hřích C je sinus úhlu dopadu.

Trigonometrie v architektuře

Gaudího dětská škola v Barceloně

Swiss Re Insurance Corporation v Londýně

y = f(λ)cos θ

z = f(λ)sin θ

Felix Candela Restaurace v Los Manantiales

• Zjistilže trigonometrie byla uvedena do života potřebou měřit úhly, ale postupem času se vyvinula ve vědu o goniometrických funkcích.

• Dokázalže trigonometrie úzce souvisí s fyzikou, nachází se v přírodě, hudbě, astronomii a medicíně.

• Myslímeže trigonometrie se odráží v našem životě a oblasti, ve kterých hraje důležitou roli, se budou rozšiřovat.

Trigonometrie ušla ve vývoji dlouhou cestu. A nyní můžeme s jistotou říci, že trigonometrie nezávisí na jiných vědách a jiné vědy závisí na trigonometrii.

• Maslova T.N. "Studentská příručka matematiky"
• Maple6 program, který implementuje obraz grafů
• "wikipedie"
• Study.ru
• Math.ru "knihovna"
• Historie matematiky od starověku do začátek XIX století ve 3 svazcích// vyd. A. P. Juškevič. Moskva, 1970 - svazek 1-3 E. T. Bell Tvůrci matematiky.
• Předchůdci moderní matematiky// ed. S. N. Niro. Moskva, 1983 A. N. Tichonov, D. P. Kostomarov.
• Příběhy o aplikované matematice//Moskva, 1979. A. V. Vološinov. Matematika a umění // Moskva, 1992. Matematika v novinách. Dodatek novin ze dne 1.09.98.

Obecní rozpočtová vzdělávací instituce

průměrný všeobecná střední škola №10

s hloubkovým studiem jednotlivých předmětů

Projekt dokončili:

Pavlov Roman

žák třídy 10b

Dozorce:

učitel matematiky

Boldyreva N. A

Yelets, 2012

1. Úvod.

3. Svět trigonometrie.

· Trigonometrie ve fyzice.

· Trigonometrie v planimetrii.

· Trigonometrie v umění a architektuře.

· Trigonometrie v medicíně a biologii.

3.2 Grafické znázornění transformace „málo zajímavých“ goniometrických funkcí do originálních křivek (pomocí počítačový program"Funkce a grafy").

· Křivky v polárních souřadnicích (rozety).

· Křivky v kartézských souřadnicích (Lissajousovy křivky).

· Matematické ornamenty.

4. Závěr.

5. Seznam literatury.

Cíl projektu - rozvoj zájmu o studium tématu "Trigonometrie" v rámci algebry a začátek analýzy prizmatem užitné hodnoty studovaného materiálu; rozšíření grafických zobrazení obsahujících goniometrické funkce; aplikace trigonometrie v takových vědách, jako je fyzika, biologie. Hraje důležitou roli v medicíně a co je nejzajímavější, neobešla se bez ní ani hudba a architektura.

Předmět studia - trigonometrie

Předmět studia - použitá orientace trigonometrie; grafy některých funkcí pomocí goniometrických vzorců.

Cíle výzkumu:

1. Zvažte historii vzniku a vývoje trigonometrie.

2. Ukázat praktické aplikace trigonometrie v různých vědách na konkrétních příkladech.

3.Vysvětlete na konkrétních příkladech možnosti využití goniometrických funkcí, které umožňují přeměnit „málo zajímavé“ funkce na funkce, jejichž grafy mají velmi originální vzhled.

Hypotéza - předpoklady: Propojení trigonometrie s vnějším světem, význam trigonometrie při řešení mnoha praktických problémů, grafické možnosti goniometrických funkcí umožňují „zhmotnit“ znalosti školáků. To vám umožní lépe pochopit životně důležitou potřebu znalostí získaných při studiu trigonometrie, zvyšuje zájem o studium tohoto tématu.

Metody výzkumu - rozbor matematické literatury na dané téma; výběr konkrétních úkolů aplikovaného charakteru na toto téma; počítačové modelování na základě počítačového programu. otevřená matematika"Funkce a grafy" (Physicon).

1. Úvod

„Jedna věc zůstává jasná, že svět je uspořádán

hrozné a úžasné."

N. Rubtsov

Trigonometrie je odvětví matematiky, které studuje vztah mezi úhly a délkami stran trojúhelníků, stejně jako algebraické identity goniometrických funkcí. Je těžké si to představit, ale s touto vědou se setkáváme nejen v hodinách matematiky, ale i v každodenním životě. Možná si to neuvědomujete, ale trigonometrie se vyskytuje v takových vědách, jako je fyzika, biologie, hraje důležitou roli v medicíně a co je nejzajímavější, neobejde se bez ní ani hudba a architektura. Problémy s praktickým obsahem hrají významnou roli v rozvoji dovedností prakticky aplikovat teoretické znalosti získané studiem matematiky. Každého studenta matematiky zajímá, jak a kde uplatní získané znalosti. Tato práce poskytuje odpověď na tuto otázku.

2.Historie vývoje trigonometrie.

Slovo trigonometrie se skládal ze dvou řeckých slov: τρίγονον (trigonon-trojúhelník) a a μετρειν (metr - měřit) v doslovném překladu znamená měření trojúhelníku.

Právě tato úloha - měření trojúhelníků nebo, jak se dnes říká, řešení trojúhelníků, tj. určování všech stran a úhlů trojúhelníku podle jeho tří známých prvků (strana a dva úhly, dvě strany a úhel nebo tři strany) - tvořilo od starověku základ praktických aplikací trigonometrie.

Jako každá jiná věda vyrostla trigonometrie z lidské praxe v procesu řešení konkrétních praktických problémů. První etapy ve vývoji trigonometrie úzce souvisí s rozvojem astronomie. Velký vliv na rozvoj astronomie a s ní úzce související trigonometrie měly potřeby rozvíjející se navigace, která vyžadovala schopnost správně určit kurz lodi na volném moři podle polohy nebeských těles. Významnou roli ve vývoji trigonometrie sehrála potřeba sestavit zeměpisné mapy a úzce související potřeba správná definice velké vzdálenosti na zemském povrchu.

Práce starověkého řeckého astronoma měly zásadní význam pro rozvoj trigonometrie v době jejího vzniku. Hipparchos(polovina 2. století př. n. l.). Trigonometrie jako věda v moderním slova smyslu chyběla nejen u Hipparcha, ale ani u jiných starověkých vědců, protože ještě neměli ponětí o funkcích úhlů a ani nevznesli otázku o vztahu mezi úhly a stranami trojúhelníku v obecné podobě. Ale v podstatě pomocí jim známých prostředků elementární geometrie vyřešili problémy, kterými se trigonometrie zabývá. Přitom hlavním prostředkem k získání požadované výsledky existovala schopnost vypočítat délky kruhových tětiv na základě známých vztahů mezi stranami pravidelného tří-, čtyř-, pěti- a desetiúhelníku a poloměrem kružnice opsané.

Hipparchos sestavil první tabulky tětiv, tedy tabulky vyjadřující délku tětivy pro různé středové úhly v kružnici o konstantním poloměru. Byly to v podstatě tabulky dvojitých sinusů poloviny středového úhlu. Původní Hipparchovy tabulky (jako téměř vše, co napsal) se k nám však nedochovaly a představu si o nich můžeme udělat především ze skladby „Velká stavba“ nebo (v arabském překladu) „Almagest“ od slavného astronoma. Claudius Ptolemaios který žil v polovině 2. století našeho letopočtu. E.

Ptolemaios rozdělil obvod na 360 stupňů a průměr na 120 dílů. Poloměr považoval za 60 dílů (60¢¢). Každou z částí rozdělil na 60¢, každou minutu na 60¢¢, každou sekundu na 60 třetin (60¢¢¢) atd. pomocí naznačeného dělení Ptolemaios vyjádřil stranu pravidelného vepsaného šestiúhelníku nebo tětivy pod obloukem o 60° ve tvaru 60 dílů poloměru (60-ti kvadrantu nebo kvadratického čísla strany 9), ° 4h51¢10². Tětivu při 120° - straně vepsaného rovnostranného trojúhelníku - vyjádřil číslem 103h55¢23² atd. Pro pravoúhlý trojúhelník s přeponou rovnou průměru kružnice zapsal na základě Pythagorovy věty: (20 metr a) 203,203 | což odpovídá modernímu vzorci sin2a + cos2 a=1.

Almagest obsahuje tabulku tětiv po půl stupni od 0° do 180°, což z našeho moderního pohledu představuje tabulku sinus pro úhly od 0° do 90° každou čtvrt stupně.

Základem všech trigonometrických výpočtů mezi Řeky byla Ptolemaiova věta známá Hipparchovi: "obdélník postavený na úhlopříčkách čtyřúhelníku vepsaného do kruhu se rovná součtu obdélníků postavených na opačných stranách" (tj. součin úhlopříček se rovná součtu součinů protilehlých stran). Pomocí této věty byli Řekové schopni (pomocí Pythagorovy věty) vypočítat tětivu součtu (nebo tětivu rozdílu) těchto úhlů nebo tětivu poloviny daného úhlu, tj. byli schopni získat výsledky, které nyní dostáváme ze vzorců pro sinus součtu (nebo rozdílu) dvou úhlů nebo poloviny.

Nové kroky ve vývoji trigonometrie jsou spojeny s rozvojem matematické kultury národů Indie, Střední Asie a Evropou (PROTI-XII).

Důležitý krok vpřed v období od 5. do 12. století udělali hinduisté, kteří na rozdíl od Řeků začali uvažovat a používat ve výpočtech nikoli celou tětivu MM¢ (viz nákres) odpovídajícího středového úhlu, ale pouze jeho polovinu MP, tedy to, co dnes nazýváme sinusovou čárou a-polovina středového úhlu.

Spolu se sinusem zavedli Indové do trigonometrie i kosinus, přesněji řečeno začali při výpočtech používat kosinusovou čáru. (Samotný termín kosinus se v dílech evropských vědců poprvé objevil až mnohem později na konci 16. století od tzv. „sinus doplňku“, tedy sinus úhlu, který doplňuje daný úhel až do 90°. „Sinus doplňku“ nebo (latinsky) sinus komplementi se začalo zkracovat jako sinus co nebo co-sinus co).

Znali také poměry cosa=sin(90°-a) a sin2a+cos2a=r2 a také vzorce pro sinus součtu a rozdílu dvou úhlů.

Další etapa ve vývoji trigonometrie je spojena se zeměmi

Střední Asie, Střední východ, Zakavkazsko(VII-15. století)

Středoasijská matematika, která se vyvíjela v těsném spojení s astronomií a geografií, měla výrazný „výpočetní charakter“ a byla zaměřena na řešení aplikovaných problémů měření geometrie a trigonometrie, přičemž trigonometrie se zformovala ve speciální matematickou disciplínu do značné míry právě v pracích středoasijských vědců. Mezi nejvýznamnější úspěchy, kterých dosáhli, je třeba zaznamenat především zavedení všech šesti trigonometrických čar: sinus, kosinus, tečna, kotangens, sekanta a kosekans, z nichž pouze první dvě znali Řekové a Hinduisté.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj tyče o určité délce (a=12) pro j=1°,2°,3°……

Abu-l-Wafa z Khorasan, který žil v 10. století (940-998), sestavil podobnou „tabulku tečen“, tedy vypočítal délku stínu b=a×=a×tgj vrženého vodorovným kůlem o určité délce (a=60) na svislé stěně (viz nákres).

Je třeba poznamenat, že samotné termíny „tangens“ (v doslovném překladu – „dotýkající se“) a „kotangens“ pocházejí z latinský a objevil se v Evropě mnohem později (XVI-XVII století). Středoasijští vědci nazývali odpovídající čáry "stíny": kotangens - "první stín", tečna - "druhý stín".

Abu-l-Wafa poskytl naprosto přesnou geometrickou definici tečny v trigonometrickém kruhu a přidal čáry sečny a kosekans k čarám tečny a kotangens. Vyjádřil také (slovně) algebraické vztahy mezi všemi goniometrickými funkcemi a zejména pro případ, kdy je poloměr kruhu roven jedné. Tímto mimořádně důležitým případem se evropští vědci zabývali o 300 let později. Nakonec Abu-l-Wafa sestavil tabulku sinus každých 10¢.

V dílech středoasijských vědců se trigonometrie změnila z vědy sloužící astronomii ve zvláštní matematickou disciplínu nezávislého zájmu.

Trigonometrie se odděluje od astronomie a stává se nezávislá věda. Tato větev je obvykle spojována se jménem ázerbájdžánského matematika Nasiraddin Tusi ().

Poprvé v evropské vědě je harmonická prezentace trigonometrie uvedena v knize „On Triangles of Different Kinds“, kterou napsal Johann Müller, známější v matematice jako Regiomontana(). Zobecňuje v něm metody řešení pravoúhlých trojúhelníků a dává tabulky sinů s přesností 0,0000001. Zároveň je pozoruhodné, že předpokládal, že poloměr kruhu je stejný, tj. vyjádřil hodnoty goniometrických funkcí v desetinné zlomky, ve skutečnosti přechází ze šestikové číselné soustavy na desítkovou.

Anglický učenec 14. století Bradwardine() jako první v Evropě zavedl do trigonometrických výpočtů kotangens zvaný „přímý stín“ a tečnu zvanou „obrácený stín“.

Na prahu XVII století. Ve vývoji trigonometrie je nastíněn nový směr - analytický. Jestliže se předtím za hlavní cíl trigonometrie považovalo řešení trojúhelníků, výpočet prvků geometrických útvarů a nauka o goniometrických funkcích vycházela z geometrický základ, pak v XVII-XIX století. trigonometrie se postupně stává jednou z kapitol matematické analýzy. Věděl jsem také o vlastnostech periodicity goniometrických funkcí viet, jehož první matematické studie souvisely s trigonometrií.

švýcarský matematik Johann Bernoulli () již používaly symboly goniometrických funkcí.

V první polovině XIX století. Francouzský vědec J. Fourier dokázal, že každý periodický pohyb může být reprezentován jako součet jednoduchých harmonických kmitů.

Velký význam v historii trigonometrie mělo dílo slavného petrohradského akademika Leonhard Euler(), dal celé trigonometrii moderní vzhled.

Euler ve své práci „Úvod do analýzy“ (1748) rozvinul trigonometrii jako vědu o goniometrických funkcích, poskytl jí analytickou prezentaci, odvozující celou sadu goniometrických vzorců z několika základních vzorců.

Euler vlastní konečné řešení otázky znamének goniometrických funkcí ve všech čtvrtích kruhu, odvození redukčních vzorců pro obecné případy.

Po zavedení nových funkcí do matematiky - goniometrických funkcí se stalo účelným položit otázku rozšíření těchto funkcí do nekonečné řady. Ukazuje se, že taková rozšíření jsou možná:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Tyto řady značně usnadňují sestavování tabulek goniometrických veličin a jejich nalezení s jakoukoli mírou přesnosti.

V pracích byla dokončena analytická konstrukce teorie goniometrických funkcí, kterou započal Euler , Gauss, Cauchy, Fourier a další.

„Geometrické úvahy,“ píše Lobačevskij, „jsou nezbytné až do začátku trigonometrie, dokud neposlouží k odhalení zvláštní vlastnosti goniometrických funkcí... Proto se trigonometrie stává zcela nezávislou na geometrii a má všechny výhody analýzy.“

V dnešní době již není trigonometrie považována za samostatný obor matematiky. Její nejdůležitější část, nauka o goniometrických funkcích, je součástí obecnější doktríny funkcí studovaných v matematické analýze, budované z jednotného hlediska; druhá část - řešení trojúhelníků - je považována za hlavu geometrie.

3. Svět trigonometrie.

3.1 Aplikace trigonometrie v různých vědách.

Trigonometrické výpočty se používají téměř ve všech oblastech geometrie, fyziky a inženýrství.

Velký význam má technika triangulace, která umožňuje měřit vzdálenosti k blízkým hvězdám v astronomii, mezi orientačními body v geografii a ovládat satelitní navigační systémy. Je třeba poznamenat použití trigonometrie v následujících oblastech: navigační technika, hudební teorie, akustika, optika, analýza finančního trhu, elektronika, teorie pravděpodobnosti, statistika, biologie, medicína (včetně ultrazvuku), počítačová tomografie (ultrazvuk), farmacie, chemie, teorie čísel, seismologie, meteorologie, oceánologie, kartografie, řada oborů fyziky, topografie, počítačová geodézie, elektronická inženýrství, krystalografie, telefon.

Trigonometrie ve fyzice.

Harmonické vibrace.

Když se bod pohybuje po přímce střídavě jedním nebo druhým směrem, pak říkají, že bod dělá kolísání.

Jedním z nejjednodušších typů kmitů je pohyb po promítací ose bodu M, který se rovnoměrně otáčí po obvodu. Zákon těchto oscilací má tvar x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Obvykle se místo této frekvence uvažuje cyklická frekvencew=, udávající úhlovou rychlost rotace, vyjádřenou v radiánech za sekundu. V těchto zápisech máme: x=Rcos(wt+A). (2)

Číslo A volal počáteční fáze oscilace.

Studium oscilací jakéhokoli druhu je důležité již z toho důvodu, že se s oscilačními pohyby či vlnami setkáváme ve světě kolem nás velmi často a s velkým úspěchem je využíváme (zvukové vlny, elektromagnetické vlny).

Mechanické vibrace.

Mechanické kmity jsou pohyby těles, které se přesně (nebo přibližně) opakují v pravidelných intervalech. Příklady jednoduchých oscilačních systémů jsou závaží na pružině nebo kyvadlo. Vezměte například závaží zavěšené na pružině (viz obr.) a zatlačte je dolů. Kettlebell začne kmitat nahoru a dolů..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg" align="left" width="202 height=146" height="146"> Graf výkyvu (2) se získá z grafu výkyvu (1) posunutím doleva

na . Číslo a se nazývá počáteční fáze.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), kde l je délka kyvadla a j0 je počáteční úhel vychýlení. Čím delší je kyvadlo, tím pomaleji se kývá (jasně je to vidět na obr. 1-7, příloha VIII). Obrázek 8-16, Příloha VIII jasně ukazuje, jak změna počáteční výchylky ovlivňuje amplitudu kmitů kyvadla, přičemž perioda se nemění. Měřením periody kmitání kyvadla známé délky lze vypočítat zrychlení zemské přitažlivosti g v různých bodech zemského povrchu.

Vybití kondenzátoru.

Nejen mnoho mechanických vibrací se vyskytuje podle sinusového zákona. A v elektrických obvodech dochází k sinusovým oscilacím. Tedy v obvodu zobrazeném vpravo horním rohu model, náboj na deskách kondenzátoru se liší podle zákona q = CU + (q0 - CU) cos ωt, kde C je kapacita kondenzátoru, U je napětí na zdroji proudu, L je indukčnost cívky, https://pandia.ru/text/78/114/images/image0222_3 můžete nastavit parametry programu Graphun, v programu Graphun v programu Graphun. lační obvod a sestrojte odpovídající grafy g (t) a I (t). Grafy 1-4 jasně ukazují, jak napětí ovlivňuje změnu síly proudu a náboje kondenzátoru, přičemž je vidět, že při kladném napětí nabývá náboj také kladných hodnot. Obrázek 5-8 v Příloze IX ukazuje, že když se změní kapacita kondenzátoru (když se změní obr. 4, perioda oscilace IX se nezmění) zbývající parametry cívky-1 se nezmění. se mění, tj. mění se frekvence kmitů proudu v obvodu a mění se frekvence nabíjení kondenzátoru .. (viz Příloha IX).

Jak spojit dvě trubky.

Uvedené příklady mohou vyvolávat dojem, že sinusoidy se vyskytují pouze ve spojení s kmitáním. Nicméně není. Například sinusoidy se používají při spojování dvou válcových trubek pod úhlem k sobě. Chcete-li spojit dvě trubky tímto způsobem, musíte je šikmo řezat.

Pokud rozložíte potrubí řezané šikmo, pak bude shora ohraničeno sinusoidou. To lze ověřit tak, že svíčku obalíte papírem, šikmo rozstřihnete a papír rozložíte. Proto, abyste získali rovnoměrný řez trubky, můžete nejprve rozříznout plech shora podél sinusoidy a svinout ho do trubky.

teorie duhy.

Poprvé byla uvedena teorie duhy 1637 René Descartes. Vysvětlil duhu jako jev spojený s odrazem a lomem světla v dešťových kapkách.

Duha vzniká v důsledku skutečnosti, že sluneční světlo se láme ve vodních kapkách zavěšených ve vzduchu podle zákona lomu:

kde n1=1, n2≈1,33 jsou v tomto pořadí indexy lomu vzduchu a vody, α je úhel dopadu a β je úhel lomu světla.

Severní polární záře

Průnik nabitých částic slunečního větru do horní atmosféry planet je dán interakcí magnetického pole planety se slunečním větrem.

Síla působící na nabitou částici pohybující se v magnetickém poli se nazývá síla Lorenz. Je úměrná náboji částice a vektorovému součinu pole a rychlosti částice

Problémy z trigonometrie s praktickým obsahem.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Stanovení součinitele tření.

Těleso o hmotnosti P je umístěno na nakloněné rovině s úhlem sklonu a. Těleso vlivem vlastní hmotnosti zrychlilo dráhu S za t sekund. Určete součinitel tření k.

Tlaková síla těla na nakloněné rovině = kPcosa.

Síla, která táhne tělo dolů, je F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Pokud se těleso pohybuje po nakloněné rovině, pak zrychlení je

Z rovnosti (1) a (2) vyplývá, že g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48">=gtga-.

Trigonometrie v planimetrii.

Základní vzorce pro řešení úloh v geometrii pomocí trigonometrie:

sin2a=1/(1+ctg2a)=tg2a/(1+tg2a); cos2a=1/(1+tg2a)=ctg2a/(1+ctg2a);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Poměr stran a úhlů v pravoúhlém trojúhelníku:

1) Rameno pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu druhého ramene a tečny opačného úhlu.

2) Rameno pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu přepony a sinu uzavřeného úhlu.

3) Rameno pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu přepony a kosinu sevřeného úhlu.

4) Rameno pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu druhého ramene a kotangens uzavřeného úhlu.

Úkol 1:Na stranách AB a CD rovnoramenný lichoběžníkABCD body M aN takovým způsobem, že řádekMN je rovnoběžná se základnami lichoběžníku. Je známo, že v každém z vytvořených malých lichoběžníkůMBCN aAMND je možné vepsat kružnici a poloměry těchto kružnic jsou stejnér aR resp. Najděte důvodyAD aPŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.

Vzhledem k tomu: ABCD-lichoběžník, AB=CD, MєAB, NєCD, ​​​​MN||AD, do lichoběžníků MBCN a AMND lze vepsat kružnici o poloměrech r a R.

Nalézt: n. l. a před naším letopočtem.

Řešení:

Nechť O1 a O2 jsou středy kružnic vepsaných do malých lichoběžníků. Přímé O1K||CD.

V ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Protože ∆O2FD je obdélníkový, pak O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Protože AD=2DF=2R*ctg(α/2),

podobně BC = 2r*tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²2αt2g2)()=>2αt∈g/()=>2αt∈g/() (r/R ) => ctg(α/2)= √(R/r), pak AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), najdeme odpověď.

Odpovědět : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Úkol 2:V trojúhelníku ABC známé strany b, c a úhel mezi mediánem a výškou vycházející z vrcholu A. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC.

Vzhledem k tomu: ∆ ABC, AD-výška, AE-medián, DAE=α, AB=c, AC=b.

Nalézt: S∆ABC.

Řešení:

Nechť CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Podle zákona kosinů v ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); a v ∆ACE pomocí kosinové věty c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Odečtením rovnosti 2 od 1 dostaneme c²-b²=4xy*cosγ(3).

Protože S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), po dělení 3 4 dostaneme: (c²-b²)/S=4*ctgγ, ale ctgγ=tgαb, tedy S∆ABC= (c²-b²)/4*tgα.

Odpověď: (s²- b² )/4*tg α .

Trigonometrie v umění a architektuře.

Architektura není jediným vědním oborem, ve kterém se používají trigonometrické vzorce. Většina kompozičních rozhodnutí a konstrukce kreseb probíhala přesně s pomocí geometrie. Teoretická data ale znamenají málo. Chci uvést příklad stavby jedné sochy od francouzského mistra Zlatého věku umění.

Proporční poměr v konstrukci sochy byl dokonalý. Když však byla socha vyzdvižena na vysoký podstavec, vypadala ošklivě. Sochař nepočítal s tím, že mnoho detailů je perspektivně redukováno směrem k horizontu a při pohledu zdola nahoru již nevzniká dojem jeho ideálnosti. Bylo provedeno mnoho výpočtů, aby postava z velké výšky vypadala proporcionálně. V podstatě vycházely z metody pozorování, tedy přibližného měření, okem. Rozdílový koeficient určitých proporcí však umožnil přiblížit postavu ideálu. Když tedy známe přibližnou vzdálenost od sochy k pohledu, tedy od vrcholu sochy k očím člověka a výšku sochy, můžeme pomocí tabulky vypočítat sinus úhlu dopadu pohledu (totéž můžeme udělat se spodním úhlem pohledu), tím najdeme úhel pohledu (obr. 1).

Situace se mění (obr. 2), jelikož je socha zvednuta do výšky AC a HC se zvětší, můžeme vypočítat kosinus úhlu C, pomocí tabulky zjistíme úhel dopadu pohledu. V tomto procesu můžete vypočítat AH, stejně jako sinus úhlu C, což vám umožní zkontrolovat výsledky pomocí základní trigonometrické identity protože 2a+hřích 2a = 1.

Porovnáním měření AH v prvním a druhém případě lze zjistit koeficient úměrnosti. Následně dostaneme kresbu a následně sochu, po zvednutí se postava vizuálně přiblíží ideálu.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Trigonometrie v medicíně a biologii.

Model biorytmu

Model biorytmů lze sestavit pomocí goniometrických funkcí. Chcete-li sestavit model biorytmů, musíte zadat datum narození osoby, referenční datum (den, měsíc, rok) a dobu trvání předpovědi (počet dní).

Pohyb ryb ve vodě nastává podle zákona sinusového nebo kosinusového, pokud zafixujete bod na ocasu a poté zvážíte trajektorii pohybu. Při plavání má tělo ryby tvar křivky, která připomíná graf funkce y=tgx.

Srdce vzorec

Výsledkem studie provedené íránským univerzitním studentem Shiraz Wahid-Reza Abbasi, lékaři byli poprvé schopni zefektivnit informace související s elektrickou aktivitou srdce, nebo jinými slovy, elektrokardiografií.
Vzorec nazvaný Teherán byl představen široké vědecké komunitě na 14. konferenci geografické medicíny a poté na 28. konferenci o aplikaci výpočetní techniky v kardiologii, která se konala v Nizozemsku. Tento vzorec je složitá algebraicko-trigonometrická rovnice sestávající z 8 výrazů, 32 koeficientů a 33 hlavních parametrů, včetně několika dalších pro výpočty v případech arytmie. Tento vzorec podle lékařů značně usnadňuje proces popisu hlavních parametrů činnosti srdce, čímž urychluje diagnostiku a zahájení vlastní léčby.

Trigonometrie pomáhá našemu mozku určit vzdálenosti objektů.

Američtí vědci tvrdí, že mozek odhaduje vzdálenost objektů měřením úhlu mezi základní rovinou a rovinou vidění. Přísně vzato, myšlenka „měření úhlů“ není nová. Více umělců Starověká Čína kreslil vzdálené objekty výše v zorném poli a poněkud zanedbával zákony perspektivy. Alhazen, arabský vědec z 11. století, formuloval teorii určování vzdálenosti pomocí odhadu úhlů. Po dlouhém zapomnění v polovině minulého století myšlenku oživil psycholog James Gibson, který své závěry opřel o zkušenosti s piloty. vojenské letectví. Nicméně po promluvě o teorii

znovu zapomenuta.

Výsledky nové studie, jak se dalo čekat, budou zajímat inženýry navrhující navigační systémy pro roboty, ale i specialisty, kteří pracují na vytváření co nejrealističtějších virtuálních modelů. Aplikace jsou možné i v oblasti medicíny, při rehabilitaci pacientů s poškozením některých oblastí mozku.

3.2 Grafická znázornění transformace "málo zajímavých" goniometrických funkcí do originálních křivek.

Křivky v polárních souřadnicích.

S. 16is. 19 Zásuvky.

V polárních souřadnicích je vybrán jeden segment E, pól O a polární osa Ox. Poloha libovolného bodu M je určena polárním poloměrem OM a polárním úhlem j, který svírají svazek OM a svazek Ox. Číslo r vyjadřující délku OM v termínech E(OM=re) a číselná hodnota úhlu j, vyjádřená ve stupních nebo v radiánech, se nazývají polární souřadnice bodu M.

Pro jakýkoli bod jiný než O můžeme předpokládat 0≤j<2p и r>0. Při konstrukci křivek odpovídajících rovnicím ve tvaru r=f(j) je však přirozené přiřadit proměnné j jakékoli hodnoty (včetně záporných a těch, které přesahují 2p), a r se může ukázat jako kladné i záporné.

Abychom našli bod (j, r), nakreslíme z bodu O paprsek, který svírá s osou Ox úhel j, a nakreslíme na něj (pro r>0) nebo na jeho pokračování v opačném směru (pro r>0) úsečku ½ r ½e.

Vše se značně zjednoduší, pokud nejprve sestrojíte souřadnicovou mřížku složenou ze soustředných kružnic o poloměrech e, 2e, 3e atd. (se středem na pólu O) a paprsků, pro které j = 0 °, 10 °, 20 °, ..., 340 °, 350 °; tyto paprsky budou vhodné i pro j<0°, и при j>360°; například při j=740° a při j=-340° narazíme na paprsek, pro který je j=20°.

Studium těchto grafů pomáhá počítačový program Funkce a grafy. Pomocí možností tohoto programu prozkoumáme některé zajímavé grafy goniometrických funkcí.

1 .Uvažujte křivky dané rovnicemi:r=a+hřích3j

I. r=sin3j (trojlístek ) (Obr. 1)

II. r=1/2+sin3j (obr. 2), III. r=1+ sin3j (obr.3), r=3/2+ sin3j (obr.4) .

Křivka IV má nejmenší hodnotu r=0,5 a okvětní lístky mají nedokončený vzhled. Když je tedy a > 1, okvětní lístky trojlístku mají nedokončený vzhled.

2. Zvažte křivkykdyž a=0; 1/2; 1;3/2

Při a=0 (obr.1), při a=1/2 (obr.2), při a=1 (obr.3) jsou okvětní lístky hotové, při a=3/2 bude pět nedokončených okvětních lístků., (obr.4).

3. Obecně křivkar=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), protože v tomto sektoru bude vyžadováno 0°≤≤180°..gif" width="20" height="41">.gif" width="16" petal,0°"> a "se" bude překračovat hodnotu 3.

Obrázek 1-4 ukazuje vzhled okvětních lístků s =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width="16" height="41 src=">.

4. Rovnice nalezené německým přírodovědným matematikem Habenicht Pro geometrické tvary nalezené ve světě rostlin. Například rovnice r=4(1+cos3j) a r=4(1+cos3j)+4sin23j odpovídají křivkám znázorněným na obrázku 1.2.

Křivky v kartézských souřadnicích.

Lissajousovy křivky.

Mnoho zajímavých křivek lze sestrojit také v kartézských souřadnicích. Zvláště zajímavé jsou křivky, jejichž rovnice jsou uvedeny v parametrické podobě:

Kde t je pomocná proměnná (parametr). Uvažujme například Lissajousovy křivky, charakterizované v obecném případě rovnicemi:

Vezmeme-li čas jako parametr t, pak Lissajousovy údaje budou výsledkem sečtení dvou harmonických oscilačních pohybů prováděných ve vzájemně kolmých směrech. V obecném případě je křivka umístěna uvnitř obdélníku se stranami 2a a 2c.

Podívejme se na následující příklady

I.x=sin3t; y=sin 5t (obr.1)

II. x=sin3t; y=cos 5t (obr.2)

III. x=sin3t; y=sin 4t. (obr. 3)

Křivky mohou být uzavřené nebo otevřené.

Například nahrazení rovnic I rovnicemi: x=sin 3t; y=sin5(t+3) změní otevřenou křivku na uzavřenou křivku (obr. 4)

Zajímavé a zvláštní jsou řádky odpovídající rovnicím tvaru

na=arcsin(sin k(x-A)).

Z rovnice y=arcsin(sinx) vyplývá:

1) a 2) siny=sinx.

Za těchto dvou podmínek funkce y=x vyhovuje. Když to nakreslíme do grafu v intervalu (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41">, budeme mít y=p-x, protože sin(p-x)=sinx v tomto intervalu

. Zde bude graf reprezentován segmentem BC.

Protože sinx je periodická funkce s periodou 2p, přerušovaná čára ABC sestrojená v intervalu (,) se bude opakovat v dalších částech.

Rovnice y=arcsin(sinkx) bude odpovídat přerušované čáře s tečkou https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48">

vyhovuje souřadnicím bodů, které leží současně nad sinusoidou (pro ně y>sinx) a pod křivkou y=-sinx, tedy „oblast řešení“ soustavy se bude skládat z ploch zastíněných na obr. 1.

2. Zvažte nerovnosti

1) (y-sinx) (y+sinx)<0.

Abychom tuto nerovnost vyřešili, nejprve sestavíme grafy funkcí: y=sinx; y=-sinx.

Poté natřeme plochy, kde y>sinx a zároveň y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Tato nerovnost vyhoví plochám zastíněným na obr. 2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Pojďme k další nerovnosti:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Abychom tuto nerovnost vyřešili, nejprve vytvoříme funkční grafy: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Udělejme si tabulku možných řešení.

1 násobitel má znamení	2 multiplikátor má znamení	3 multiplikátor má znamení	4 multiplikátor má znamení

Poté zvážíme a překreslíme řešení následujících systémů.

)| a |y|>|sin(x-)|.

2) Druhý násobitel je menší než nula, tj. gif" width="17" height="41">)|.

3) Třetí faktor je menší než nula, tzn. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| a |y|>|sin(x+Akademické obory" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">akademické obory, technologie, každodenní život.

Využití modelovacího programu „Funkce a grafy“ výrazně rozšířilo možnosti provádění výzkumu, umožnilo zhmotnit poznatky při úvahách o aplikacích trigonometrie ve fyzice. Díky tomuto programu byly provedeny laboratorní počítačové studie mechanických kmitů na příkladu kmitání kyvadla a byly uvažovány kmity v elektrickém obvodu. Použití počítačového programu umožnilo zkoumat zajímavé matematické křivky definované pomocí goniometrické rovnice a vykreslování v polárních a kartézských souřadnicích. Grafické řešení trigonometrických nerovností vedlo k úvaze o zajímavých matematických ornamentech.

5. Seznam použité literatury.

1. ., Atanasov matematických problémů s praktickým obsahem: Kniha. pro učitele.-M.: Vzdělávání, str.

2. .Vilenkin v přírodě a technice: Kniha. pro mimoškolní četbu IX-X buňky - M .: Vzdělávání, 5s (World of Knowledge).

3. Domácí hry a zábava. Stát. vyd. fyzika a matematika lit. M, 9str.

4. Kozhurova trigonometrie pro technické školy. Stát. vyd. technicko-teoretická lit. M., 1956

5. Kniha. Pro mimoškolní četba matematika na střední škole. Stát. výchovně-ped. vyd. Min. Prosv. RF, M., str.

6. Tarakanovova trigonometrie. 10 buněk ..-M .: Drop obecný, str.

7. O trigonometrii a nejen o ní: příručka pro žáky 9.-11.-M .: Vzdělávání, 96.-80. léta.

8. Shapiro problémy s praktickým obsahem ve výuce matematiky. Rezervovat. pro učitele.-M.: Školství, 1990-96.