삼각 부등식. 삼각 부등식과 그 해법 이중 삼각 부등식을 해결하는 방법

벨로루시 공화국 교육부

교육기관

"고멜 주립대학교

Francysk Skaryna의 이름을 따서 명명됨"

수학 학부

대수·기하학과

방어용으로 승인됨

머리 부서 Shemetkov L.A.

삼각 방정식과 부등식

코스 작업

집행자:

그룹 M-51의 학생

센티미터. 고르스키

과학 지도교수 Ph.D.-M.Sc.,

선임강사

V.G. 사포노프

고멜 2008

소개

삼각 방정식을 푸는 기본 방법

채권 차압 통고

삼각 함수의 곱을 합으로 변환하여 방정식 풀기

삼중 인수 공식을 사용하여 방정식 풀기

일부 삼각함수를 곱하면

비표준 삼각 방정식

삼각부등식

뿌리의 선택

독립적인 솔루션을 위한 과제

결론

사용된 소스 목록

고대에는 천문학, 토지 측량 및 건설의 요구와 관련하여 삼각법이 발생했습니다. 즉, 본질적으로 순전히 기하학적이었고 주로 표현되었습니다.<<исчисление хорд>>. 시간이 지남에 따라 일부 분석적인 순간이 산재되기 시작했습니다. 18세기 전반에 삼각법은 새로운 방향을 취하고 수학적 분석으로 옮겨가는 급격한 변화가 있었습니다. 삼각관계가 함수로 간주되기 시작한 것은 이때였습니다.

삼각방정식은 수학에서 가장 어려운 주제 중 하나입니다. 학교 과정수학. 삼각 방정식은 면적 측정, 입체 측정, 천문학, 물리학 및 기타 분야의 문제를 해결할 때 발생합니다. 삼각 방정식과 부등식은 해마다 중앙 집중식 테스트 작업에서 발견됩니다.

가장 중요한 차이점 삼각 방정식대수적 방정식에서 그것은 대수 방정식에서 최종 번호근, 그리고 삼각법 --- 무한, 이는 뿌리 선택을 크게 복잡하게 만듭니다. 삼각 방정식의 또 다른 특징은 답을 작성하는 고유하지 않은 형식입니다.

이 논문은 삼각방정식과 부등식을 푸는 방법에 대해 다루고 있습니다.

논문은 6개 부분으로 구성된다.

첫 번째 섹션에서는 기본적인 이론적 정보를 제공합니다: 삼각함수와 역삼각함수의 정의 및 속성; 일부 인수에 대한 삼각 함수 값 표; 삼각함수를 다른 삼각함수로 표현하는 것은 삼각함수 표현, 특히 역삼각함수를 포함하는 표현을 변환하는 데 매우 중요합니다. 학교에서 잘 알려진 기본 삼각함수 공식 외에 역삼각함수를 포함하는 표현을 단순화하는 공식도 제공됩니다.

두 번째 섹션에서는 삼각 방정식을 푸는 기본 방법을 간략하게 설명합니다. 기본삼각방정식의 해, 인수분해 방법, 삼각방정식을 대수방정식으로 줄이는 방법 등을 다룬다. 삼각 방정식에 대한 해는 여러 가지 방법으로 작성될 수 있고 이러한 해의 형태로는 이러한 해가 동일한지 다른지 즉시 결정할 수 없기 때문에<<сбить с толку>> 테스트를 풀 때 삼각 방정식을 풀기 위한 일반적인 방식을 고려하고 그룹의 변환을 자세히 고려했습니다. 일반 솔루션삼각 방정식.

세 번째 섹션에서는 함수적 접근 방식을 기반으로 한 솔루션인 비표준 삼각 방정식을 검토합니다.

네 번째 섹션에서는 삼각 부등식에 대해 설명합니다. 단위원과 그래픽 방법을 사용하여 기본 삼각 부등식을 해결하는 방법을 자세히 설명합니다. 초등부등식을 통해 비초등부등식을 푸는 과정과 이미 학생들에게 잘 알려진 간격의 방법을 기술한다.

다섯 번째 섹션에서는 가장 많은 것을 제시합니다. 어려운 작업: 삼각 방정식을 푸는 것뿐만 아니라, 찾은 근 중에서 어떤 조건을 만족하는 근을 선택해야 하는 경우. 이 섹션에서는 일반적인 루트 선택 작업에 ​​대한 솔루션을 제공합니다. 필요한 이론적 정보근 선택: 정수 집합을 분리된 하위 집합으로 분할하고 방정식을 정수(diaphantine)로 푼다.

여섯 번째 섹션에서는 다음 작업을 제시합니다. 독립적인 결정, 테스트 형태로 설계되었습니다. 20가지 테스트 작업에는 중앙 집중식 테스트 중에 발생할 수 있는 가장 어려운 작업이 포함되어 있습니다.

기본 삼각 방정식

기본 삼각 방정식은 형식의 방정식입니다. 여기서 --- 삼각 함수 중 하나: , , , .

기본 삼각 방정식에는 무한한 수의 근이 있습니다. 예를 들어 다음 값은 방정식을 만족합니다: , , 등. 일반식이를 따라 방정식의 모든 근이 발견됩니다. 여기서 는 다음과 같습니다.

여기서는 임의의 정수 값을 사용할 수 있으며, 각 값은 방정식의 특정 근에 해당합니다. 이 공식에서 (및 기본 삼각 방정식을 푸는 다른 공식에서도) 호출됩니다. 매개변수. 일반적으로 를 써서 매개변수가 모든 정수 값을 허용할 수 있다는 점을 강조합니다.

방정식의 해 , 여기서 는 공식에 의해 구해집니다

방정식은 공식을 사용하여 해결됩니다.

방정식은 공식에 따릅니다.

특히 일반 공식을 사용하지 않고 해를 작성할 수 있는 기본 삼각 방정식의 몇 가지 특별한 경우에 주목해 보겠습니다.

삼각 방정식을 풀 때 삼각 함수의 주기가 중요한 역할을 합니다. 따라서 우리는 두 가지 유용한 정리를 제시합니다.

정리 ---가 함수의 주요 기간인 경우 숫자는 함수의 주요 기간입니다.

기능의 기간은 존재하는 경우 상응할 수 있다고 합니다. 정수그래서 뭐.

정리 주기 함수와 , 가 상응하는 과 를 갖는 경우 함수의 주기인 공통 주기를 갖습니다. , , .

정리에 따르면 함수의 주기는 , , 이며, 반드시 주 주기는 아닙니다. 예를 들어, 기능의 주요 기간 및 --- , 해당 제품의 주요 기간 --- 입니다.

보조 논증 소개

형식의 표현을 변환하는 표준 방법에 따라 다음 기술은 다음과 같습니다. --- 모서리, 평등에 의해 주어진 , . 누구에게나 그러한 각도가 존재합니다. 따라서 . 만약 , 또는 , , , 다른 경우에는.

삼각 방정식을 푸는 방법

삼각 방정식을 풀 때 따라야 할 기본 방식은 다음과 같습니다.

주어진 방정식을 푸는 것은 기본 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. 솔루션 --- 전환수, 인수분해, 미지수 대체. 기본 원칙은 뿌리를 잃지 않는 것입니다. 이는 다음 방정식으로 이동할 때 추가(외부) 근이 나타나는 것을 두려워하지 않고 "체인"의 각 후속 방정식(또는 분기의 경우 방정식 세트)에만 주의를 기울인다는 것을 의미합니다. )는 이전 결과의 결과입니다. 뿌리를 선택하는 한 가지 가능한 방법은 테스트입니다. 삼각 방정식의 경우 일반적으로 근 선택 및 확인과 관련된 어려움이 대수 방정식에 비해 급격히 증가한다는 점을 즉시 알아두십시오. 결국 우리는 무한한 수의 항으로 구성된 계열을 확인해야 합니다.

삼각 방정식을 풀 때 미지수의 대체에 대해 특별히 언급해야 합니다. 대부분의 경우 필요한 대체 후에 대수 방정식이 얻어집니다. 더욱이, 겉보기에는 삼각법이지만 본질적으로 삼각법이 아닌 방정식의 경우는 그리 드물지 않습니다. --- 교체변수 --- 대수학으로 바뀌고 삼각법으로의 복귀는 기본 삼각 방정식을 푸는 단계에서만 발생합니다.

다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 미지수의 대체는 첫 번째 기회에 이루어져야 하며, 대체 후 결과 방정식은 근 선택 단계를 포함하여 끝까지 풀어야 하며 그런 다음 원래의 미지수로 돌아가야 합니다.

삼각 방정식의 특징 중 하나는 답이 많은 경우 다양한 방식으로 작성될 수 있다는 것입니다. 방정식을 풀기 위해서라도 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

1) 두 가지 시리즈의 형태로: , , ;

2) 위의 시리즈를 조합한 표준 형식: , ;

3) 왜냐하면 , 그러면 답변은 다음 형식으로 작성될 수 있습니다. , . (다음에서 응답 레코드에 , 또는 매개변수가 있으면 자동으로 이 매개변수가 가능한 모든 정수 값을 허용한다는 의미입니다. 예외가 지정됩니다.)

분명히 나열된 세 가지 사례는 고려 중인 방정식에 대한 답을 작성할 수 있는 모든 가능성을 소진하지 않습니다(무한히 많음).

예를 들어, 평등이 참인 경우 . 따라서 처음 두 경우의 경우 다음과 같이 바꿀 수 있습니다. .

일반적으로 답변은 포인트 2를 기반으로 작성됩니다. 다음 권장 사항을 기억하는 것이 유용합니다. 작업이 방정식을 푸는 것으로 끝나지 않으면 여전히 조사를 수행하고 근을 선택해야 하며 가장 편리한 기록 형식입니다. 는 포인트 1에 표시되어 있습니다. (방정식에 대해서도 유사한 권장 사항이 제공되어야 합니다.)

말한 내용을 설명하는 예를 고려해 보겠습니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.가장 확실한 방법은 다음과 같습니다. 이 방정식은 과 의 두 가지로 나뉩니다. 각각을 해결하고 얻은 답을 결합하면 .

또 다른 방법.이후, 학위를 줄이기 위한 공식을 대체하고 사용합니다. 작은 변환 후에 우리는 를 얻습니다. .

얼핏 보면 아무 것도 아닌데 특별한 이점두 번째 공식은 첫 번째 공식과 비교할 수 없습니다. 그러나 예를 들어 보면 다음과 같습니다. 방정식에는 해결책이 있지만 첫 번째 방법은 답을 제공합니다. . "보고" 평등함을 증명하세요 그렇게 쉽지는 않습니다.

답변. .

삼각 방정식의 일반 해 그룹 변환 및 결합

우리는 고려할 것이다 산술 진행, 양방향으로 끝없이 확장됩니다. 이 진행의 구성원은 진행의 중앙 또는 제로 구성원이라고 하는 특정 구성원의 오른쪽과 왼쪽에 위치한 두 그룹의 구성원으로 나눌 수 있습니다.

무한 수열의 항 중 하나를 0으로 고정함으로써 나머지 모든 항에 대해 이중 번호 지정을 수행해야 합니다. 오른쪽에 있는 항에는 양수, 0의 왼쪽에 있는 항에는 음수입니다.

일반적으로 수열의 차이가 영 항인 경우 무한 산술 수열의 모든 (번째) 항에 대한 공식은 다음과 같습니다.

무한 산술 진행의 모든 ​​항에 대한 수식 변환

1. 제로항에 대한 진행의 차이를 더하거나 빼면 진행은 변하지 않고 제로항만 이동합니다. 즉, 회원번호가 변경됩니다.

2. 변수값의 계수에 를 곱하면 오른쪽과 왼쪽 멤버 그룹만 재배열됩니다.

3. 연속항이 무한 진행되는 경우

예를 들어, , , ..., , 동일한 차이를 갖는 진행의 중심 항을 다음과 동일하게 만듭니다.

그런 다음 진행과 일련의 진행은 동일한 숫자를 나타냅니다.

예 행은 다음 세 개의 행으로 대체될 수 있습니다: , , .

4. 동일한 차이를 갖는 무한 수열이 차이가 있는 산술 수열을 형성하는 중심 용어 숫자를 갖는 경우, 이러한 계열은 차이가 있는 하나의 수열로 대체될 수 있으며 이러한 수열의 중심 용어 중 하나와 동일한 중심 용어로 대체될 수 있습니다. 즉. 만약에

그런 다음 이러한 진행은 하나로 결합됩니다.

예 ...둘 다 하나의 그룹으로 결합됩니다. .

공통해가 있는 그룹을 공통해가 없는 그룹으로 변환하기 위해 이러한 그룹을 공통 주기를 갖는 그룹으로 분해한 다음 반복되는 그룹을 제외하고 결과 그룹을 통합하려고 합니다.

채권 차압 통고

인수분해 방법은 다음과 같습니다.

그런 다음 방정식의 모든 해

일련의 방정식에 대한 해법입니다

반대 진술은 일반적으로 거짓입니다. 모집단에 대한 모든 해가 방정식에 대한 해가 되는 것은 아닙니다. 이는 개별 방정식의 해가 함수 정의 영역에 포함되지 않을 수 있다는 사실로 설명됩니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.기본 사용 삼각함수 항등식, 방정식을 다음과 같은 형식으로 표현해 보겠습니다.

답변. ; .

삼각함수의 합을 곱으로 변환

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.공식을 적용하면 등가 방정식을 얻습니다.

답변. .

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.안에 이 경우, 삼각 함수의 합에 대한 공식을 적용하기 전에 축소 공식을 사용해야 합니다. . 결과적으로 우리는 등가 방정식을 얻습니다.

답변. , .

삼각 함수의 곱을 합으로 변환하여 방정식 풀기

여러 방정식을 풀 때 공식이 사용됩니다.

예 방정식을 풀어보세요

해결책.

답변. , .

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.공식을 적용하면 동등한 방정식을 얻습니다.

답변. .

축소 공식을 사용하여 방정식 풀기

다양한 삼각 방정식을 풀 때 공식이 중요한 역할을 합니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.공식을 적용하면 등가 방정식을 얻습니다.

답변. ; .

삼중 인수 공식을 사용하여 방정식 풀기

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.공식을 적용하면 방정식을 얻습니다.

답변. ; .

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.우리가 얻는 정도를 줄이기 위한 공식을 적용하면 다음과 같습니다. . 적용하면 우리는 다음을 얻습니다:

답변. ; .

같은 이름의 삼각 함수의 동일성

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.

답변. , .

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.방정식을 변형해 보겠습니다.

답변. .

예 다음 방정식을 만족하는 것으로 알려져 있습니다.

금액을 찾아보세요.

해결책.방정식으로부터 다음과 같습니다:

답변. .

형식의 합을 생각해 봅시다.

이 금액은 곱셈과 나눗셈을 통해 제품으로 변환될 수 있습니다.

이 기술은 일부 삼각 방정식을 푸는 데 사용될 수 있지만 결과적으로 외부 근이 나타날 수 있다는 점을 명심해야 합니다. 다음 공식을 요약해 보겠습니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.집합이 원래 방정식의 해임을 알 수 있습니다. 따라서 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 를 곱해도 추가 근이 나타나지 않습니다.

우리는 .

답변. ; .

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.방정식의 왼쪽과 오른쪽에 를 곱하고 삼각 함수의 곱을 합으로 변환하는 공식을 적용해 보겠습니다.

이 방정식은 두 방정식의 조합과 같습니다 과 , wherece 및 .

방정식의 근은 방정식의 근이 아니므로 를 제외해야 합니다. 이는 세트에서 를 제외해야 함을 의미합니다.

답변.그리고 , .

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.표현식을 변형해 보겠습니다.

방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

답변. .

삼각 방정식을 대수 방정식으로 줄이기

제곱으로 축소 가능

방정식의 형식이 다음과 같은 경우

그런 다음 교체로 인해 정사각형이 됩니다. () 그리고.

용어 대신에 가 있는 경우 필요한 교체는 입니다.

방정식

에 내려진다 이차 방정식

프레젠테이션 . 가 방정식의 근이 아니라는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 대입을 하면 방정식이 2차 방정식으로 줄어듭니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.왼쪽으로 이동시켜서 로 바꾸고, and로 표현해보자.

단순화 후에 우리는 다음을 얻습니다: . 용어를 용어별로 나누고 교체합니다.

으로 돌아가서 우리는 .

에 대해 동종 방정식,

다음 형식의 방정식을 생각해 보세요.

어디 , , , ..., , --- 유효한숫자. 방정식 왼쪽의 각 항에서 단항식의 차수가 동일합니다. 즉, 사인과 코사인 차수의 합은 동일하고 같습니다. 이 방정식은 동종의및 에 상대적이며 숫자는 호출됩니다. 동질성 지표 .

이면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.

그 해는 , 즉 숫자 , . 괄호 안에 적힌 두 번째 방정식도 동질적이지만 차수는 1 낮습니다.

이면 이 숫자는 방정식의 근이 아닙니다.

우리가 얻을 때: , 방정식 (1)의 왼쪽은 값을 취합니다.

따라서 , 및 에 대해 방정식의 양변을 로 나눌 수 있습니다. 결과적으로 우리는 방정식을 얻습니다.

이는 대체에 의해 쉽게 대수적으로 축소될 수 있습니다.

동질성 지수가 1인 동차 방정식. 방정식이 있을 때 .

이면 이 방정식은 방정식 , , wherece , 와 동일합니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.이 방정식은 1차 동질적입니다. 두 부분을 다음과 같이 나눕니다: , , , .

답변. .

예 다음 형식의 균질 방정식을 얻을 때

해결책.

이면 방정식의 양변을 로 나누면 방정식을 얻습니다. , 대체를 통해 쉽게 제곱으로 줄일 수 있습니다. . 만약에 이면 방정식은 실수근 , 을 갖습니다. 원래 방정식에는 , , 의 두 가지 해 그룹이 있습니다.

만약에 이면 방정식에 해가 없습니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.이 방정식은 2차 동질적입니다. 방정식의 양변을 로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다. , 그럼 , , . , , ; ...

답변. .

방정식은 다음 형식의 방정식으로 축소됩니다.

이를 위해서는 ID를 사용하는 것으로 충분합니다.

특히, 방정식을 다음과 같이 대체하면 방정식은 동차로 축소됩니다. , 그러면 우리는 동등한 방정식을 얻습니다:

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.방정식을 동종 방정식으로 변환해 보겠습니다.

방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. , 우리는 방정식을 얻습니다:

, 그러면 우리는 이차 방정식에 도달합니다: , , , , .

답변. .

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.양수 값이 있다는 점을 고려하여 방정식의 양쪽 변을 제곱해 보겠습니다.

그렇게 놔둬, 그러면 우리는 얻을 거야 , , .

답변. .

항등식을 사용하여 방정식 풀기

다음 공식을 알아두면 유용합니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.사용하여 우리는 얻습니다.

답변.

우리는 공식 자체를 제공하는 것이 아니라 공식을 도출하는 방법을 제공합니다.

따라서,

비슷하게, .

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.표현식을 변형해 보겠습니다.

방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

받아들임으로써 우리는 받습니다. , . 따라서

답변. .

범용 삼각법 치환

형태의 삼각 방정식

어디 --- 합리적인공식의 도움으로 함수 - 와 공식의 도움으로 인수 , , , 에 대한 유리 방정식으로 축소될 수 있으며, 그 후 방정식은 다음을 사용하여 대수 유리 방정식으로 축소될 수 있습니다. 보편적 삼각 치환의 공식

공식을 사용하면 점에서 정의되지 않기 때문에 원래 방정식의 OD가 좁아질 수 있으므로 이러한 경우 각도가 원래 방정식의 근인지 확인해야 합니다. .

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.작업 조건에 따라. 공식을 적용하고 대입하면 다음을 얻습니다.

어디서부터 그러므로 .

형태의 방정식

형식의 방정식, 여기서 --- 다항식, 미지의 대체를 사용하여 해결됩니다.

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.교체를 수행하고 이를 고려하면, 우리는 다음을 얻습니다.

어디 , . --- 외부 루트이기 때문에 . 방정식의 근원 이다 .

기능 제한 사용

중앙 집중식 테스트를 수행할 때 제한된 기능과 에 기반한 솔루션을 사용하는 방정식을 만나는 것은 그리 드물지 않습니다. 예를 들어:

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.이후 , , 그러면 왼쪽은 초과하지 않고 와 같습니다.

두 방정식을 모두 만족하는 값을 찾기 위해 다음과 같이 진행합니다. 그 중 하나를 해결한 다음 발견된 값 중에서 다른 하나를 만족하는 값을 선택합니다.

두 번째부터 시작하겠습니다: , . 그 다음에 , .

짝수에 대해서만 가 있을 것이 분명합니다.

답변. .

다음 방정식을 풀면 또 다른 아이디어가 실현됩니다.

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.부동산을 활용해보자 지수 함수: , .

이러한 불평등을 용어별로 추가하면 다음과 같습니다.

따라서 이 방정식의 좌변은 두 개의 등식이 충족되는 경우에만 동일합니다.

즉, , , 값을 취할 수 있거나 , 값을 취할 수 있습니다.

답변. , .

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책., . 따라서, .

답변. .

예 방정식을 풀어보세요

해결책., 그러면 역삼각함수의 정의로부터 우리는 그리고 .

이후 불평등은 방정식에서 따릅니다. . 이후 및 , 다음 및 . 그러나 그것이 바로 그 이유입니다.

그렇다면. 이전에 가 확립되었으므로 .

답변. , .

예 방정식을 풀어보세요

해결책.방정식의 허용 가능한 값 범위는 입니다.

먼저 우리는 함수를 보여줍니다

어느 경우든 양수 값만 사용할 수 있습니다.

다음과 같은 기능을 상상해 봅시다: .

이므로 다음과 같은 일이 발생합니다. .

따라서 부등식을 증명하려면 다음을 증명해야 합니다. . 이를 위해 이 부등식의 양쪽을 세제곱하면 다음과 같습니다.

결과적인 수치적 부등식은 다음을 나타냅니다. 를 고려하면 방정식의 왼쪽은 음수가 아닙니다.

이제 방정식의 우변을 살펴보겠습니다.

왜냐하면 , 저것

그러나 다음과 같이 알려져 있습니다. . 즉, 다음과 같습니다. 방정식의 오른쪽은 를 초과하지 않습니다. 이전에 방정식의 왼쪽이 음수가 아니라는 것이 입증되었으므로 의 평등은 양쪽이 동일한 경우에만 발생할 수 있으며 이는 의 경우에만 가능합니다.

답변. .

예 방정식을 풀어보세요

해결책.다음과 같이 표시하자. . Cauchy-Bunyakovsky 부등식을 적용하면 다음을 얻습니다. 그것은 다음과 같습니다 . 반면에 . 따라서 방정식에는 근이 없습니다.

답변. .

예 방정식을 푼다:

해결책.방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

답변. .

삼각함수 방정식과 결합 방정식을 풀기 위한 함수적 방법

변환의 결과로 모든 방정식이 하나 또는 다른 방정식으로 축소될 수 있는 것은 아닙니다. 표준보기, 이에 대한 구체적인 해결 방법이 있습니다. 이러한 경우 단조성, 경계성, 패리티, 주기성 등과 같은 함수의 속성을 사용하는 것이 유용한 것으로 나타났습니다. 따라서 함수 중 하나가 간격에 따라 감소하고 두 번째 함수가 증가하면 방정식에 이 간격에서 루트는 고유하며 예를 들어 선택하여 찾을 수 있습니다. 함수가 위의 경계인 경우 및 , 함수가 아래의 경계인 경우 및 , 방정식은 연립방정식과 동일합니다.

예 방정식을 풀어보세요

해결책.원래 방정식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

에 대해 이차방정식으로 풀어보세요. 그러면 우리는

인구의 첫 번째 방정식을 풀어 봅시다. 함수의 제한된 특성을 고려하여 방정식은 세그먼트에만 근을 가질 수 있다는 결론에 도달합니다. 이 간격에서 함수는 증가하고 함수는 감소합니다. 따라서 이 방정식에 근이 있으면 고유한 방정식입니다. 선택으로 찾아냅니다.

답변. .

예 방정식을 풀어보세요

해결책.하자 그리고 , 그러면 원래 방정식은 함수 방정식으로 작성될 수 있습니다. 함수가 홀수이므로 . 이 경우 방정식을 얻습니다.

, 및 는 에 대해 단조롭기 때문에 방정식은 방정식과 동일합니다. 즉, , 이는 단일 루트를 갖습니다.

답변. .

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.미분 정리에 기초 복잡한 기능그 기능은 분명하다 감소 (기능 감소, 증가, 감소). 이것으로부터 다음과 같은 기능이 분명해졌습니다. 에 정의되어 감소합니다. 따라서 이 방정식은 최대 하나의 근을 갖습니다. 왜냐하면 , 저것

답변. .

예 방정식을 풀어보세요.

해결책.세 가지 간격으로 방정식을 생각해 봅시다.

가) 하자. 그런 다음 이 세트에서 원래 방정식은 방정식과 동일합니다. 간격에 대한 해결책이 없습니다. 왜냐하면 , , ㅏ . 구간에서 원래 방정식에도 근이 없습니다. 왜냐하면 , ㅏ .

b) 하자. 그러면 이 세트에서 원래 방정식은 다음 방정식과 같습니다.

구간의 근은 숫자 , , , 입니다.

c) 하자. 그러면 이 세트에서 원래 방정식은 다음 방정식과 같습니다.

, 및 로 인해 구간에 대한 해가 없습니다. 구간에서 방정식에는 해가 없습니다. 왜냐하면 , , ㅏ .

답변. , , , .

대칭 방법

대칭 방법은 작업 공식화에 방정식, 부등식, 시스템 등의 고유한 솔루션이 필요할 때 사용하는 것이 편리합니다. 또는 솔루션 수의 정확한 표시. 이 경우 주어진 표현식의 대칭성을 감지해야 합니다.

또한 가능한 다양한 유형의 대칭을 고려할 필요가 있습니다.

마찬가지로 중요한 것은 대칭 추론에서 논리적 단계를 엄격하게 준수하는 것입니다.

일반적으로 대칭을 사용하면 필요한 조건만 설정한 다음 해당 조건의 충분성을 확인해야 합니다.

예 방정식에 고유한 해가 있는 매개변수의 모든 값을 찾습니다.

해결책.과 는 짝수 함수이므로 방정식의 왼쪽은 짝수 함수입니다.

그래서 만약 --- 해결책방정식, 즉 방정식의 해이기도 합니다. 만약에 --- 유일한 것방정식의 해를 구한 다음 필요한 , .

우리는 선택할 것입니다 가능한값이 방정식의 근이 되어야 합니다.

다른 값은 문제의 조건을 만족할 수 없다는 점을 즉시 알아두겠습니다.

하지만 선정된 사람들이 모두 실제로 과제 조건을 충족하는지 여부는 아직 알려지지 않았습니다.

적절.

1) 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. .

2) 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

모든 사람과 . 따라서 마지막 방정식은 시스템과 동일합니다.

따라서 우리는 방정식에 고유한 해가 있음을 증명했습니다.

답변. .

함수 탐색을 통한 솔루션

예 방정식의 모든 해를 증명하십시오.

정수.

해결책.원래 방정식의 주요 기간은 입니다. 그러므로 우리는 먼저 이 방정식을 구간에서 검토합니다.

방정식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

마이크로 계산기를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

만약 , 그러면 이전 평등으로부터 우리는 다음을 얻습니다:

결과 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

수행된 계산을 통해 세그먼트에 속하는 방정식의 근이 , 및 이라고 가정할 수 있습니다.

직접 테스트를 통해 이 가설이 확인되었습니다. 따라서 방정식의 근은 정수 , 이라는 것이 입증되었습니다.

예 방정식을 풀어보세요 .

해결책.방정식의 주요 기간을 찾아 봅시다. 함수의 기본 주기는 입니다. 주요 기능 기간은 입니다. 의 최소공배수는 와 같습니다. 따라서 방정식의 주요 기간은 입니다. 허락하다 .

분명히 그것은 방정식에 대한 해결책입니다. 간격에. 기능은 음수입니다. 그러므로 방정식의 다른 근은 x와 의 구간에서만 찾아야 합니다.

마이크로 계산기를 사용하여 먼저 방정식 근의 대략적인 값을 찾습니다. 이를 위해 함수 값 테이블을 컴파일합니다. 간격과 ; 즉, 간격과 .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

표에서 다음 가설을 쉽게 식별할 수 있습니다. 세그먼트에 속하는 방정식의 근은 숫자입니다. ; . 직접 테스트를 통해 이 가설이 확인되었습니다.

답변. ; ; .

단위원을 사용하여 삼각부등식 풀기

가 삼각함수 중 하나인 형식의 삼각부등식을 풀 때, 부등식의 해를 가장 명확하게 표현하고 답을 적기 위해서는 삼각원을 사용하는 것이 편리합니다. 삼각 부등식을 해결하는 주요 방법은 이를 가장 단순한 유형의 부등식으로 줄이는 것입니다. 이러한 불평등을 해결하는 방법에 대한 예를 살펴보겠습니다.

예 불평등을 해결하십시오.

해결책.삼각원을 그리고 그 위에 세로 좌표가 초과하는 점을 표시해 봅시다.

이 불평등에 대한 해결책은 다음과 같습니다. 또한 특정 숫자가 에 의해 지정된 간격의 숫자와 다른 경우에도 가 될 것임이 분명합니다. 따라서 찾은 솔루션 세그먼트의 끝에만 추가하면 됩니다. 마지막으로, 우리는 원래의 불평등에 대한 해결책은 다음과 같습니다. .

답변. .

탄젠트와 코탄젠트의 부등식을 풀려면 탄젠트와 코탄젠트의 선 개념이 유용합니다. 이는 직선이며 각각 (그림 (1)과 (2)에서) 삼각법 원에 접합니다.

좌표 원점을 원점으로 하여 가로축의 양의 방향과 각도를 이루는 광선을 구성하면 점에서 이 광선의 교차점까지의 세그먼트 길이가 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 접선은 이 광선이 가로축과 이루는 각도의 접선과 정확히 같습니다. 코탄젠트에 대해서도 유사한 관찰이 발생합니다.

예 불평등을 해결하십시오.

해결책.를 표시하면 불평등은 가장 간단한 형태를 취하게 됩니다: . 접선의 최소 양수 주기(LPP)와 동일한 길이의 간격을 고려해 보겠습니다. 이 세그먼트에서 접선을 사용하여 다음을 설정합니다. 이제 NPP 기능 이후 추가해야 할 사항을 기억해 보겠습니다. 그래서, . 변수로 돌아가서 우리는 그것을 얻습니다.

답변. .

역삼각함수 그래프를 사용하여 역삼각함수로 부등식을 푸는 것이 편리합니다. 예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

삼각부등식을 그래픽으로 풀기

만약에 참고하세요 --- 주기적함수의 경우, 불평등을 해결하려면 길이가 함수의 주기와 동일한 세그먼트에서 해를 찾아야 합니다. 원래 부등식에 대한 모든 해는 발견된 값뿐만 아니라 함수의 정수 주기로 발견된 값과 다른 모든 값으로 구성됩니다.

불평등 ()에 대한 해결책을 고려해 봅시다.

이후 불평등에는 해결책이 없습니다. 이면 부등식에 대한 해의 집합은 모든 실수의 집합입니다.

허락하다 . 사인 함수는 양의 주기가 가장 작으므로 부등식은 길이가 긴 세그먼트(예: 세그먼트)에서 먼저 해결될 수 있습니다. 우리는 함수와 ()의 그래프를 만듭니다. 다음 형식의 불평등으로 제공됩니다.

이 작업에서는 단순 수준과 올림피아드 수준의 삼각 방정식과 부등식을 해결하는 방법이 고려되었습니다. 삼각 방정식과 부등식을 해결하는 주요 방법이 고려되었으며, 또한 구체적으로 --- 특징삼각 방정식과 부등식, 그리고 삼각 방정식에 적용되는 방정식과 부등식을 풀기 위한 일반적인 함수 방법에만 해당됩니다.

이 논문은 기본적인 이론적 정보를 제공합니다: 삼각함수와 역삼각함수의 정의와 속성; 삼각함수를 다른 삼각함수로 표현하는 것은 삼각함수 표현, 특히 역삼각함수를 포함하는 표현을 변환하는 데 매우 중요합니다. 학교에서 잘 알려진 기본 삼각함수 공식 외에 역삼각함수를 포함하는 표현을 단순화하는 공식도 제공됩니다. 기본삼각방정식의 해, 인수분해 방법, 삼각방정식을 대수방정식으로 줄이는 방법 등을 다룬다. 삼각 방정식에 대한 해는 여러 가지 방법으로 작성될 수 있고 이러한 해의 형태로 인해 이러한 해가 동일한지 다른지 즉시 확인할 수 없기 때문에 삼각 방정식을 푸는 일반적인 방식이 고려되고 변환 삼각 방정식의 일반 해 그룹이 자세히 고려됩니다. 단위원과 그래픽 방법을 사용하여 기본 삼각 부등식을 해결하는 방법을 자세히 설명합니다. 초등부등식을 통해 비초등부등식을 푸는 과정과 이미 학생들에게 잘 알려진 간격의 방법을 기술한다. 루트 선택을 위한 일반적인 작업에 대한 솔루션이 제공됩니다. 근을 선택하는 데 필요한 이론적 정보가 제공됩니다: 정수 집합을 분리된 부분 집합으로 분할하기, 방정식을 정수로 풀기(diaphantine).

이 논문의 결과는 교과 과정 및 논문 준비, 학생을 위한 선택과목 준비 시 교육 자료로 사용될 수 있으며, 입학 시험 및 중앙 집중 시험을 준비하는 데에도 사용될 수 있습니다.

Vygodsky Ya.Ya., 초등 수학 핸드북. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: 나우카, 1970.

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간단한 삼각 방정식 풀기

먼저 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 공식을 기억해 봅시다.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

간단한 삼각 부등식을 해결합니다.

가장 간단한 삼각 부등식을 풀려면 먼저 해당 방정식을 푼 다음 삼각 원을 사용하여 부등식에 대한 해를 찾아야 합니다. 예제를 사용하여 가장 간단한 삼각 부등식에 대한 솔루션을 고려해 보겠습니다.

실시예 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

삼각부등식 $sinx=\frac(1)(2)$에 대한 해를 구해 봅시다.

\ \

그림 1. 불평등 $sinx\ge \frac(1)(2)$의 해.

부등식에는 "보다 크거나 같음" 기호가 있으므로 해는 방정식의 해를 기준으로 원의 위쪽 호에 있습니다.

답: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

실시예 2

삼각부등식 $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$에 대한 해를 구해 봅시다.

\ \

삼각원에 답을 표시해 봅시다.

부등식에는 "보다 작음" 기호가 있으므로 해는 방정식의 해를 기준으로 왼쪽에 있는 원호에 있습니다.

답: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

실시예 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

삼각부등식 $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$에 대한 해를 구해 봅시다.

\ \

여기에는 정의 영역도 필요합니다. 우리가 기억하는 것처럼, 접선 함수 $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$

삼각원에 답을 표시해 봅시다.

그림 3. 부등식의 해법 $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

부등식에는 "작거나 같음" 기호가 있으므로 해는 그림 3에서 파란색으로 표시된 원호에 있습니다.

답:$\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\right.\left.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\right]$

실시예 4

삼각부등식 $ctgx=\sqrt(3)$의 해를 구해 봅시다.

\ \

여기에는 정의 영역도 필요합니다. 우리가 기억하는 것처럼 접선 함수 $x\ne \pi n,n\in Z$

삼각원에 답을 표시해 봅시다.

그림 4. 부등식의 해법 $ctgx\le \sqrt(3)$.

부등식에는 "보다 큼" 기호가 있으므로 해는 그림 4에서 파란색으로 표시된 원호에 있습니다.

답:$\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\right)$

정의

삼각 부등식은 삼각 함수의 부호 아래에 변수를 포함하는 부등식입니다.

삼각부등식 풀기

삼각 부등식을 푸는 것은 종종 다음 형식의 가장 간단한 삼각 부등식을 푸는 것으로 귀결됩니다: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \), \(\ \ 운영자 이름(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \ ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)

가장 간단한 삼각 부등식은 그래픽으로 또는 삼각법 원 단위를 사용하여 해결됩니다.

정의에 따르면, 각도 \(\\alpha \)의 사인은 단위원(그림 1)의 점 \(\P_(\alpha)(x, y)\)의 세로좌표이고, 코사인은 다음과 같습니다. 이 지점의 가로좌표. 이 사실은 단위원을 사용하여 코사인과 사인으로 간단한 삼각 부등식을 해결하는 데 사용됩니다.

삼각 부등식 해결의 예

운동

부등식 \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \) 풀기

해결됨

\(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| 이므로 이 부등식에는 해결책이 있으며 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다.

첫 번째 방법. 이 불평등을 그래픽으로 해결해 보겠습니다. 이를 위해 사인 \(\ y=\sin x \)(그림 2)과 직선 \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \)의 그래프를 다음과 같이 구성해 보겠습니다. 하나의 좌표계

직선 \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) 그래프 아래에 정현파가 위치하는 간격을 강조해 보겠습니다. 이 그래프의 교차점의 가로 좌표 \(\ x_(1) \) 및 \(\ x_(2) \)를 찾아보겠습니다. \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt( 3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+ 2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

우리는 \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) 간격을 얻었지만 함수 \(\ y=\sin x \) 가 주기적이고 주기 \(\ 2 \pi \) 를 갖는 경우, 답은 간격의 합집합이 됩니다: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac( 7 \pi)(3)+ 2 \pi k\right]\), \(\k \in Z\)

두 번째 방법. 단위원과 직선 \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \)을 구성해 봅시다. 이들의 교차점은 \(\ P_(x_(1)) \) 및 \로 나타냅니다. (\ P_(x_(2 )) \) (그림 3). 원래 부등식에 대한 해법은 \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) 보다 작은 세로좌표 점 세트입니다. 시계 반대 방향으로 도는 방식으로 \(\ \boldsymbol(I)_(1) \)과 \(\ \boldsymbol(I)_(2) \)의 값을 구해 보면, \(\ x_(1) 그림 3

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

사인 함수의 주기성을 고려하여 마침내 간격 \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \를 얻습니다. 파이\오른쪽] \), \(\k\in Z\)

답\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \), \(\ k \Z\에서)

운동

부등식 \(\ \sin x>2\) 풀기

해결책

사인은 유계 함수입니다: \(\ |\sin x| \leq 1 \) 이 부등식의 우변은 1보다 크므로 해결책이 없습니다.

답변: 해결책이 없습니다.

운동

부등식 \(\ \cos x>\frac(1)(2) \) 풀기

해결책

이 부등식은 그래픽 방식과 단위원을 사용하는 두 가지 방법으로 해결할 수 있습니다. 각 방법을 고려해 보겠습니다.

첫 번째 방법. 부등식의 왼쪽과 오른쪽을 설명하는 함수, 즉 \(\ y=\cos x \) 및 \(\ y=\frac(1)(2) \)를 하나의 좌표계로 묘사해 보겠습니다. 코사인 함수 그래프 \(\ y=\cos x \)가 직선 그래프 \(\ y=\frac(1)(2) \) 위에 위치하는 간격을 강조해 보겠습니다(그림 4). ).

점 \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) 및 \(\ x_(2) \)의 가로 좌표를 찾아보겠습니다. 즉, 함수 그래프의 교차점 \(\ y=\cos x \) 및 \(\ y=\frac (1)(2) \) 는 표시된 부등식이 유지되는 구간 중 하나의 끝입니다. \(\x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3)\); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

코사인이 주기 \(\ 2 \pi \) 를 갖는 주기 함수라는 점을 고려하면, 답은 \(\ \left(-\frac(\pi) 간격의 \(\ x \) 값이 됩니다. (3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

두 번째 방법. 단위원과 직선 \(\x=\frac(1)(2)\)을 만들어 봅시다(가로좌표 축은 단위원의 코사인에 해당하므로). 직선과 단위원의 교차점인 \(\ P_(x_(1)) \) 및 \(\ P_(x_(2)) \)(그림 5)를 표시하겠습니다. 원래 방정식의 해는 \(\ \frac(1)(2) \)보다 작은 가로좌표 점 세트가 됩니다. \(\ x_(1) \) 및 \(\ 2 \)의 값을 시계 반대 방향으로 돌면서 구해 보겠습니다. \(\ x_(1) 코사인의 주기성을 고려하여 마침내 간격 \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\k \in Z\)

답: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k\in Z\)

운동

부등식 풀기 \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

해결책

하나의 좌표계에서 함수 \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \)의 그래프를 구성해 보겠습니다.

함수 \(\ y=\operatorname(ctg) x \)의 그래프가 직선 그래프 \(\ y=-\frac(\sqrt(3))보다 높지 않은 곳에 위치하는 간격을 강조해 보겠습니다. )(3) \) (그림 6) .

\(\ x_(0) \) 부등식 \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac( \sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)( 3)=\frac(2\pi)(3)\)

이 간격의 다른 쪽 끝은 \(\ \pi \) 지점이고 이 지점의 함수 \(\ y=\operatorname(ctg) x \)는 정의되지 않습니다. 따라서 이 부등식에 대한 해법 중 하나는 구간 \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x입니다.

답:\(\x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\k \in Z\)

복소수 인수를 사용한 삼각 부등식

복잡한 인수가 있는 삼각 부등식은 치환을 사용하여 단순 삼각 부등식으로 줄일 수 있습니다. 푼 후 역대입을 하여 원래의 미지수가 표현됩니다.

운동

부등식 풀기 \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

해결책

이 부등식의 우변에 코사인을 표현해 보겠습니다. \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

\(\ t=2 x+100^(\circ) \) 대체를 수행한 후 이 부등식은 가장 단순한 부등식 \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)으로 변환됩니다.

단위원을 이용하여 풀어보자. 빌드하자 단위원직선 \(\x=-\frac(1)(2)\) 입니다. \(\P_(1)\) 및 \(\P_(2)\) – 직선과 단위원의 교차점을 표시하겠습니다(그림 7).

원래의 부등식에 대한 해법은 가로좌표 점의 집합이 될 것이며 그 중 \(\ -\frac(1)(2)\)보다 많지 않습니다. 점 \(\ P_(1) \) 은 각도 \(\ 120^(\circ) \) 에 해당하고 점 \(\ P_(2) \) 에 해당합니다. 따라서 코사인의 주기를 고려하면 \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \) ,\(\n\in Z\)

역방향 변경을 해보자 \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\원)+360^(\원) \cdot n\), \(\n \in Z\)

먼저 \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \을 빼기 위해 \(\ \mathbf(x) \)를 표현해 보겠습니다. leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\ Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in 지\)

그런 다음 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\n \in Z\); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

답\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

이중 삼각 부등식

운동

이중 삼각 부등식 풀기 \(\ \frac(1)(2)

해결책

\(\ t=\frac(x)(2) \) 대체를 도입하면 원래 부등식은 \(\ \frac(1)(2) 형식을 취합니다.

단위원을 이용하여 풀어보자. 단위원의 세로축은 사인에 해당하므로 세로좌표가 \(\ x=\frac(1)(2) \)보다 크고 \(\보다 작거나 같은 세로좌표 세트를 선택합니다. \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . 그림 8에서 이러한 점은 호 \(\P_(t_(1))\), \(\P_(t_(2))\) 및 \(\P_(t_(3))\)에 위치합니다. , \( \P_(t_(4))\) . 시계 반대 방향으로 도는 값 \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \)를 구하고, \ (\t_(1)\(\t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3\ pi)(4) \);\(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi) (6)\)

따라서 우리는 사인 함수의 주기성을 고려하여 다음과 같이 쓸 수 있는 두 개의 간격을 얻습니다. \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k 역방향 변경을 해보자 \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)( 6)+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \ pi k \(\ \mathbf( x) \)를 표현해 보겠습니다. 이렇게 하려면 두 부등식의 모든 변에 2를 곱하면 \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq가 됩니다. 엑스

답\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\right) \), \(\k \in Z \)

삼각부등식을 해결하는 방법

관련성. 역사적으로 삼각 방정식과 부등식은 학교 커리큘럼에서 특별한 위치를 차지해 왔습니다. 삼각법은 학교 과정과 전체 수학 과학에서 가장 중요한 부분 중 하나라고 말할 수 있습니다.

삼각 방정식과 부등식은 교육 자료의 내용과 학습 중에 형성될 수 있고 형성되어야 하며 많은 문제를 해결하는 데 적용되어야 하는 교육 및 인지 활동 방법 측면에서 중등학교 수학 과정의 중심 위치 중 하나를 차지합니다. 이론적이고 응용적인 성격의 문제.

삼각방정식과 부등식을 푸는 것은 모든 것에 관련된 학생들의 지식을 체계화하기 위한 전제조건을 만듭니다. 교육 자료삼각법(예: 삼각 함수의 속성, 삼각 표현식 변환 방법 등)을 사용하여 대수학(방정식, 방정식의 동등성, 부등식, 등식)에서 연구된 자료와의 효과적인 연결을 설정할 수 있습니다. 정체성 변화 대수적 표현등.).

즉, 삼각 방정식과 부등식을 해결하기 위한 기술을 고려하려면 이러한 기술을 새로운 내용으로 전환하는 것이 필요합니다.

이론의 중요성과 수많은 적용은 선택한 주제의 관련성을 입증합니다. 이를 통해 과정 작업의 목표, 목표 및 연구 주제를 결정할 수 있습니다.

공부의 목적: 사용 가능한 유형의 삼각 부등식, 이를 해결하기 위한 기본 및 특수 방법을 일반화하고 학생의 삼각 부등식을 해결하기 위한 일련의 문제를 선택합니다.

연구 목표:

1. 연구 주제에 관한 이용 가능한 문헌 분석을 바탕으로 자료를 체계화합니다.

2. "삼각법적 부등식"이라는 주제를 통합하는 데 필요한 일련의 작업을 제공합니다.

연구대상 학교 수학 과정의 삼각 부등식입니다.

연구 주제: 삼각부등식의 종류와 해결방법.

이론적 중요성 자료를 체계화하는 것입니다.

실질적인 의미: 문제 해결에 이론적 지식 적용; 삼각 부등식을 해결하기 위한 주요 일반적인 방법 분석.

연구방법 : 분석 과학 문헌, 습득한 지식의 종합 및 일반화, 문제 해결 분석, 불평등 해결을 위한 최적의 방법 검색.

§1. 삼각부등식의 유형과 이를 해결하는 기본 방법

1.1. 가장 간단한 삼각 부등식

또는 > 기호로 연결된 두 개의 삼각 표현식을 삼각 부등식이라고 합니다.

삼각 부등식을 푸는 것은 부등식이 충족되는 부등식에 포함된 미지수의 값 집합을 찾는 것을 의미합니다.

삼각부등식의 주요 부분은 이를 가장 간단한 해법으로 줄여서 해결됩니다.

이는 인수분해, 변수 변경(
,
등), 일반적인 불평등이 먼저 해결된 다음 형식의 불평등이 해결됩니다.
등등, 또는 다른 방법.

가장 간단한 부등식은 단위원을 사용하거나 그래픽을 사용하여 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다.

허락하다에프(엑스  – 기본 삼각함수 중 하나입니다. 불평등을 해결하려면
한 기간에 해를 찾는 것으로 충분합니다. 즉, 길이가 함수의 주기와 동일한 세그먼트에 대해에프  엑스  . 그러면 원래의 불평등에 대한 해결책이 모두 발견될 것입니다엑스 , 함수의 정수 기간으로 찾은 값과 다른 값도 있습니다. 이 경우에는 그래픽 방식을 사용하는 것이 편리합니다.

불평등을 해결하는 알고리즘의 예를 들어 보겠습니다.
(
) 그리고
.

불평등 해결을 위한 알고리즘
(
).

1. 숫자의 사인 정의 공식화엑스 단위원에.

3. 세로축에 좌표로 점을 표시합니다.ㅏ .

4. 이 점을 통해 OX 축과 평행한 선을 그리고 원과 교차점을 표시합니다.

5. 모든 점의 세로 좌표가 다음보다 작은 원호를 선택합니다.ㅏ .

6. 라운드의 방향(반시계방향)을 표시하고, 간격의 끝부분에 함수의 주기를 더하여 답을 적습니다.2πn ,
.

불평등 해결을 위한 알고리즘
.

1. 숫자의 탄젠트 정의 공식화엑스 단위원에.

2. 단위원을 그립니다.

3. 접선을 그리고 그 위에 세로좌표로 점을 표시합니다.ㅏ .

4. 이 점을 원점과 연결하고 결과 세그먼트와 단위원의 교차점을 표시합니다.

5. 원호를 선택합니다. 모든 점은 접선의 세로 좌표가 다음보다 작습니다.ㅏ .

6. 순회 방향을 표시하고 함수 정의 영역을 고려하여 마침표를 추가하여 답을 작성합니다.πn ,
(항목 왼쪽의 숫자는 항상 적은 수, 오른쪽에 서 있음).

불평등을 해결하기 위한 간단한 방정식 및 공식에 대한 솔루션의 그래픽 해석 일반적인 견해부록 (부록 1 및 2)에 표시되어 있습니다.

예시 1. 불평등을 해결
.

단위원에 직선을 그리세요
, 이는 점 A와 B에서 원과 교차합니다.

모든 의미와이 간격 NM이 더 큽니다. , AMB 호의 모든 점이 이 부등식을 만족합니다. 모든 회전 각도에서 대형 , 그러나 더 작음 ,
더 큰 가치를 갖게 될 것입니다 (단, 1개 이상은 불가).

그림 1

따라서 불평등에 대한 해결책은 해당 구간의 모든 값이 됩니다.
, 즉.
. 이 부등식에 대한 모든 해를 얻으려면 이 간격의 끝에 추가하는 것으로 충분합니다.
, 어디
, 즉.
,
. 값은
그리고
방정식의 근이다
,

저것들.
;
.

답변:
,
.

1.2. 그래픽 방식

실제로 삼각부등식을 해결하는 그래픽 방법이 유용한 경우가 많습니다. 불평등의 예를 사용하여 방법의 본질을 고려해 봅시다
:

1. 인수가 복잡한 경우(와는 다름)엑스 ), 다음으로 교체티 .

2. 하나의 좌표 평면에 구축합니다.장난감 함수 그래프
그리고
.

3. 우리는 그런 것을 발견합니다그래프의 인접한 두 교차점, 그 사이사인파위치한더 높은 똑바로
. 우리는 이 점들의 가로좌표를 찾습니다.

4. 인수에 대한 이중 부등식을 작성합니다.티 , 코사인 기간을 고려하여 (티 발견된 가로좌표 사이에 있을 것입니다).

5. 역대입(원래 인수로 돌아가기)을 하고 값을 표현합니다.엑스 이중 불평등으로부터 우리는 숫자 간격의 형태로 답을 씁니다.

예시 2. 불평등 해결: .

그래픽 방법을 사용하여 부등식을 풀 때는 최대한 정확하게 함수 그래프를 구성해야 합니다. 부등식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

하나의 좌표계에서 함수 그래프를 구성해 봅시다
그리고
(그림 2).

그림 2

함수 그래프는 점에서 교차합니다.ㅏ 좌표와 함께
;
. 사이
그래프 포인트
그래프 포인트 아래
. 그리고 언제
함수 값은 동일합니다. 그렇기 때문에
~에
.

답변:
.

1.3. 대수적 방법

종종 원래의 삼각 부등식은 잘 선택된 대체를 통해 대수적(합리적 또는 비합리적) 부등식으로 축소될 수 있습니다. 이 방법부등식 변환, 대체 도입 또는 변수 대체가 포함됩니다.

이 방법을 적용한 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

예시 3. 가장 단순한 형태로의 축소
.

(그림 3)

그림 3

,
.

답변:
,

예시 4. 불평등 해결:

ODZ:
,
.

수식 사용:
,

부등식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.
.

아니면, 믿고
간단한 변환 후에 우리는

,

,

.

간격 방법을 사용하여 마지막 부등식을 풀면 다음을 얻습니다.

그림 4

, 각각
. 그런 다음 그림에서. 팔로우 4명
, 어디
.

그림 5

답변:
,
.

1.4. 간격 방법

일반 계획간격 방법을 사용하여 삼각 부등식을 해결합니다.

삼각함수 공식을 사용하여 인수분해합니다.

함수의 불연속점과 영점을 찾아 원 위에 놓습니다.

아무 점이나 찍으세요에게 (그러나 이전에는 발견되지 않았습니다) 제품의 표시를 찾으십시오. 곱이 양수이면 각도에 ​​해당하는 광선의 단위원 외부에 점을 배치합니다. 그렇지 않으면 원 안에 점을 놓습니다.

요점이 충족되면 우수횟수가 많으면 이를 짝수 다중성 지점이라고 부르기로 하고, 홀수 번이면 홀수 다중성 지점이라고 부르겠습니다. 다음과 같이 호를 그립니다. 점에서 시작에게 , 다음 점이 홀수 다중성이면 호는 이 점에서 원과 교차하지만 점이 짝수 다중성이면 교차하지 않습니다.

원 뒤의 호는 양의 간격입니다. 원 안에는 음수 공백이 있습니다.

실시예 5. 불평등 해결

,
.

첫 번째 시리즈의 포인트:
.

두 번째 시리즈의 포인트:
.

각 점은 홀수 번 발생합니다. 즉, 모든 점의 다중성은 홀수입니다.

제품의 표시를 알아볼까요?
: . 단위원의 모든 점을 표시해 보겠습니다(그림 6).

쌀. 6

답변:
,
;
,
;
,
.

실시예 6 . 불평등을 해결.

해결책:

표현식의 0을 찾아봅시다 .

받다애중 :

,
;

,
;

,
;

,
;

단위원 계열 값에 대하여엑스 1 점으로 표현
. 시리즈엑스 2 포인트를 준다
. 시리즈엑스 3 우리는 2점을 얻습니다
. 마지막으로, 시리즈엑스 4 점을 나타내게 됩니다
. 이 모든 점을 단위원에 그려서 각 점 옆에 있는 괄호 안에 다중성을 나타냅니다.

이제 숫자를 보자 평등할 것입니다. 기호를 기반으로 추정해 보겠습니다.

그럼, 완전 정지ㅏ 각도를 형성하는 광선에서 선택되어야 합니다. 빔으로오, 단위원 바깥. (보조 빔에 유의하십시오.에 대한 ㅏ 그림으로 묘사할 필요는 전혀 없습니다. 점ㅏ 대략적으로 선택됩니다.)

이제 그 시점부터ㅏ 표시된 모든 점에 순차적으로 물결 모양의 연속 선을 그립니다. 그리고 포인트에서는
우리 선은 한 영역에서 다른 영역으로 이동합니다. 단위원 외부에 있으면 단위원 내부로 이동합니다. 지점에 접근 중 , 이 점의 다중도가 짝수이므로 선은 내부 영역으로 돌아갑니다. 마찬가지로 그 시점에서 (다중에서도) 선은 외부 영역으로 바뀌어야 합니다. 그래서 우리는 그림과 같은 특정 그림을 그렸습니다. 7. 단위원에서 원하는 부분을 강조 표시하는 데 도움이 됩니다. "+" 기호로 표시되어 있습니다.

그림 7

최종 답변:

메모. 물결선이 단위원에 표시된 점을 모두 돌고 나서 다시 그 점으로 돌아가지 못하는 경우ㅏ , "불법적인" 위치에서 원을 넘지 않으면 이는 솔루션에 오류가 발생했음을 의미합니다. 즉, 홀수의 루트가 누락되었습니다.

답변: .

§2. 삼각부등식을 해결하기 위한 일련의 문제

삼각부등식을 해결하는 학생의 능력을 개발하는 과정에서도 3단계로 구분할 수 있습니다.

1. 준비,

2. 단순 삼각부등식을 해결하는 능력을 개발합니다.

3. 다른 유형의 삼각 부등식 도입.

준비 단계의 목적은 불평등을 해결하기 위해 삼각법 원이나 그래프를 사용하는 능력, 즉 다음과 같은 학생의 능력을 개발하는 것이 필요하다는 것입니다.

형태의 단순한 부등식을 해결하는 능력
,
,
,
, 사인 및 코사인 함수의 속성을 사용합니다.

숫자원의 호 또는 함수 그래프의 호에 대한 이중 부등식을 구성하는 능력

삼각함수 표현의 다양한 변형을 수행하는 능력.

삼각 함수의 속성에 대한 학생들의 지식을 체계화하는 과정에서 이 단계를 구현하는 것이 좋습니다. 주요 수단은 학생에게 제공되고 교사의 지도 하에 또는 독립적으로 수행되는 과제뿐만 아니라 삼각 방정식을 풀기 위해 개발된 기술일 수 있습니다.

이러한 작업의 예는 다음과 같습니다.

1 . 단위원에 점을 표시하세요. , 만약에

.

2. 점이 좌표면의 어느 부분에 위치합니까? , 만약에 같음:

3. 삼각원에 점을 표시하세요. , 만약에:

4. 표현식을 삼각 함수로 변환나병사.

ㅏ)
, 비)
, V)

5. 아크 MR이 부여됩니다.중 - 가운데나-번째 분기,아르 자형 - 가운데II분기. 변수 값 제한티 for: (이중 불평등을 만듭니다) a) arc MR; b) RM 호.

6. 그래프의 선택된 부분에 대한 이중 부등식을 적어보세요.

쌀. 1

7. 불평등 해결
,
,
,
.

8. 표현식 변환 .

삼각법 불평등을 해결하는 학습의 두 번째 단계에서는 학생 활동 조직 방법론과 관련하여 다음 권장 사항을 제공할 수 있습니다. 이 경우, 가장 간단한 삼각 방정식을 풀면서 형성된 삼각 원 또는 그래프를 사용하여 작업하는 학생들의 기존 기술에 중점을 둘 필요가 있습니다.

첫째, 예를 들어 다음 형식의 부등식으로 전환하여 가장 간단한 삼각 부등식을 해결하기 위한 일반적인 방법을 얻는 편의성을 동기를 부여할 수 있습니다.
. 에서 습득한 지식과 기술을 활용하여 준비 단계, 학생들은 제안된 불평등을 다음 형식으로 줄입니다.
, 그러나 결과적인 불평등에 대한 일련의 해결책을 찾는 것이 어려울 수 있습니다. 사인함수의 성질만으로는 풀 수 없습니다. 이 어려움은 적절한 그림을 참조하여 피할 수 있습니다(방정식을 그래픽으로 풀거나 단위원을 사용하여).

둘째, 교사는 과제를 완료하는 다양한 방법에 학생들의 관심을 끌고, 그래프와 삼각법 원을 사용하여 불평등을 해결하는 적절한 예를 제시해야 합니다.

불평등에 대한 다음 해결책을 고려해 보겠습니다.
.

1. 단위원을 이용하여 부등식을 푼다.

삼각법 부등식 해결에 대한 첫 번째 수업에서는 학생들에게 부등식을 해결하는 데 필요한 모든 기본 기술을 단계별 프레젠테이션으로 반영하는 상세한 솔루션 알고리즘을 제공합니다.

1 단계.단위원을 그리고 세로축에 점을 표시해 봅시다 그리고 X축에 평행한 직선을 그립니다. 이 선은 두 지점에서 단위원과 교차합니다. 이 각 점은 사인이 다음과 같은 숫자를 나타냅니다. .

2 단계.이 직선은 원을 두 개의 호로 나누었습니다. 다음보다 큰 사인을 갖는 숫자를 나타내는 것을 선택합시다. . 당연히 이 호는 그려진 직선 위에 위치합니다.

쌀. 2

3단계.표시된 호의 끝 중 하나를 선택합니다. 단위원의 이 지점이 나타내는 숫자 중 하나를 적어보자 .

4단계.선택한 호의 두 번째 끝에 해당하는 숫자를 선택하기 위해 이 호를 따라 명명된 끝에서 다른 쪽 끝으로 "걷습니다". 동시에 시계 반대 방향으로 움직일 때 우리가 겪게 될 숫자가 증가한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 반대 방향숫자가 줄어들 것입니다.) 단위원에 표시된 호의 두 번째 끝 부분에 표시된 숫자를 적어 봅시다. .

따라서 우리는 불평등을 본다.
부등식이 참인 숫자를 만족시키세요.
. 사인 함수의 동일한 주기에 위치한 숫자의 부등식을 해결했습니다. 따라서 불평등에 대한 모든 해는 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.

학생들에게 그림을 주의 깊게 검토하고 불평등에 대한 모든 해결책이 왜 나타나는지 알아내도록 요청해야 합니다.
형태로 쓸 수 있다
,
.

쌀. 삼

코사인 함수의 부등식을 풀 때 세로축에 평행한 직선을 그린다는 사실에 학생들의 관심을 끌 필요가 있습니다.

그래픽 방식불평등에 대한 해결책.

우리는 그래프를 작성합니다
그리고
, 을 고려하면
.

쌀. 4

그런 다음 방정식을 작성합니다.
그리고 그의 결정
,
,
, 수식을 사용하여 찾았습니다.
,
,
.

(기부N 값 0, 1, 2를 사용하여 컴파일된 방정식의 세 가지 근을 찾습니다. 가치
는 그래프 교차점의 연속된 세 개의 가로좌표입니다.
그리고
. 분명히, 항상 간격을 두고
불평등이 유지된다
, 그리고 간격에
– 불평등
. 우리는 첫 번째 경우에 관심이 있으며, 이 간격의 끝에 사인 주기의 배수인 숫자를 추가하면 부등식에 대한 해를 얻습니다.
처럼:
,
.

쌀. 5

요약하다. 불평등을 해결하려면
, 해당 방정식을 만들고 풀어야 합니다. 결과 공식에서 근을 찾으세요. 그리고 , 부등식에 대한 답을 다음 형식으로 작성하십시오. ,
.

셋째, 해당 삼각 부등식의 근 집합에 대한 사실은 이를 그래픽으로 풀 때 매우 명확하게 확인됩니다.

쌀. 6

부등식의 해법인 회전이 삼각함수의 주기와 동일한 간격으로 반복된다는 것을 학생들에게 보여줄 필요가 있습니다. 사인 함수 그래프에 대한 유사한 그림을 고려할 수도 있습니다.

넷째, 삼각 함수의 합(차)을 곱으로 변환하는 학생들의 기술을 업데이트하는 작업을 수행하고 삼각 부등식을 해결하는 데 있어 이러한 기술의 역할에 학생들의 관심을 유도하는 것이 좋습니다.

이러한 작업은 교사가 제안한 작업을 학생들이 독립적으로 완료함으로써 구성될 수 있으며 그 중 다음을 강조합니다.

다섯째, 학생들은 그래프나 삼각원을 사용하여 각 단순 삼각 부등식의 해를 설명해야 합니다. 삼각법 부등식을 풀 때 해당 그림은 주어진 부등식에 대한 일련의 솔루션을 기록하는 매우 편리한 수단 역할을 하기 때문에 그 편의성, 특히 원의 사용에 확실히 주의를 기울여야 합니다.

다음 계획에 따라 가장 단순한 것이 아닌 삼각 부등식을 해결하는 방법을 학생들에게 소개하는 것이 좋습니다. 특정 삼각 부등식으로 전환 해당 삼각 방정식으로 전환 솔루션을 위한 결합 검색(교사-학생) 독립 전송 동일한 유형의 다른 부등식에 대한 방법을 찾았습니다.

삼각법에 대한 학생들의 지식을 체계화하기 위해, 해결 과정에서 구현할 수 있는 다양한 변환이 필요한 부등식을 특별히 선택하고 그 특징에 학생들의 관심을 집중시키는 것이 좋습니다.

그러한 생산적 불평등에 대해 우리는 예를 들어 다음과 같이 제안할 수 있습니다.

결론적으로 삼각부등식을 해결하기 위한 일련의 문제의 예를 제시합니다.

1. 불평등을 해결합니다.

2. 불평등을 해결합니다. 3. 불평등에 대한 모든 해결책을 찾으십시오. 4. 불평등에 대한 모든 해결책을 찾으십시오.

ㅏ)
, 조건을 만족함
;

비)
, 조건을 만족함
.

5. 불평등에 대한 모든 해결책을 찾으십시오.

ㅏ) ;

비) ;

V)
;

G)
;

디)
.

6. 불평등을 해결합니다.

ㅏ) ;

비) ;

V) ;

G)
;

d) ;

마) ;

그리고)
.

7. 불평등을 해결합니다.

ㅏ)
;

비) ;

V) ;

G) .

8. 불평등을 해결합니다.

ㅏ) ;

비) ;

V) ;

G)
;

디)
;

마) ;

그리고)
;

시간) .

수학을 공부하는 학생들에게 과제 6과 7을 제공하는 것이 좋습니다. 높은 수준, 과제 8 – 고급 수학 학습이 포함된 수업을 듣는 학생들을 위한 것입니다.

§삼. 삼각부등식을 해결하기 위한 특별한 방법

삼각 방정식을 풀기 위한 특별한 방법, 즉 삼각 방정식을 푸는 데에만 사용할 수 있는 방법입니다. 이러한 방법은 삼각 함수의 속성 사용과 다양한 삼각 공식 및 항등식의 사용을 기반으로 합니다.

3.1. 섹터 방식

삼각 부등식을 해결하기 위한 섹터 방법을 고려해 보겠습니다. 형식의 불평등 해결

, 어디피 ( 엑스 ) 그리고큐 ( 엑스 ) – 합리적인 불평등을 해결하는 것과 유사하게 합리적인 삼각 함수(사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 합리적으로 포함됨). 합리적 불평등수직선에서 간격법을 이용하여 푸는 것이 편리합니다. 합리적인 삼각 부등식을 해결하기 위한 유사체는 섹터 방법입니다. 삼각법 원, 을 위한죄악 그리고코스엑스 (
) 또는 삼각법 반원tgx 그리고ctgx (
).

간격법에서는 다음 형식의 분자와 분모의 각 선형 인수를
숫자 축의 점에 해당합니다. , 그리고 이 지점을 지나면
기호가 변경됩니다. 섹터 방식에서는 형식의 각 요소가
, 어디
- 기능 중 하나죄악 또는코스엑스 그리고
, 삼각법 원에는 두 개의 각도가 대응됩니다 그리고
, 원을 두 개의 섹터로 나눕니다. 통과할 때 그리고 기능
기호가 변경됩니다.

다음 사항을 기억해야 합니다.

a) 형태의 요소
그리고
, 어디
, 모든 값에 대한 부호 유지 . 분자와 분모의 이러한 인수는 변경하여 폐기됩니다(만약
) 그러한 거부가 있을 때마다 부등호가 반전됩니다.

b) 형태의 요소
그리고
폐기되기도 합니다. 더욱이, 이것이 분모의 요소라면, 형태의 불평등이 등가 불평등 시스템에 추가됩니다.
그리고
. 이것이 분자의 인수인 경우 등가 제한 시스템에서 불평등에 해당합니다.
그리고
엄격한 초기 불평등과 평등의 경우
그리고
엄격하지 않은 초기 부등식의 경우. 승수를 버릴 때
또는
부등호가 반전됩니다.

예시 1. 불평등 해결: a)
, 비)
. 우리는 b) 기능을 가지고 있습니다. 우리가 가지고 있는 불평등을 해결하고,

3.2. 동심원 방식

이 방법은 유리 부등식 시스템을 해결하기 위한 평행 숫자 축 방법과 유사합니다.

불평등 시스템의 예를 생각해 봅시다.

실시예 5. 단순 삼각 부등식 시스템 풀기

먼저, 각 부등식을 개별적으로 해결합니다(그림 5). 오른쪽으로 상단 모서리그림에서 우리는 삼각법 원이 고려되는 인수를 나타냅니다.

그림 5

다음으로, 우리는 논증을 위한 동심원 시스템을 구축합니다.엑스 . 첫 번째 부등식의 해에 따라 원을 그리고 음영 처리한 다음 더 큰 반경의 원을 그리고 두 번째 부등식의 해에 따라 음영 처리한 다음 세 번째 부등식에 대한 원과 기본 원을 만듭니다. 우리는 모든 원과 교차하도록 시스템 중심에서 호의 끝을 통해 광선을 그립니다. 우리는 기본 원에서 솔루션을 형성합니다(그림 6).

그림 6

답변:
,
.

결론

모든 작업 코스 연구완료되었습니다. 체계화 이론적 자료: 삼각 부등식의 주요 유형과 이를 해결하는 주요 방법이 제공됩니다(그래픽, 대수, 간격 방법, 섹터 및 동심원 방법). 각 방법에 대해 부등식을 해결하는 예가 제공되었습니다. 이론적인 부분에 이어 실무적인 부분이 이어졌습니다. 여기에는 삼각 부등식을 해결하기 위한 일련의 작업이 포함되어 있습니다.

이 교과 과정은 학생들이 다음과 같이 사용할 수 있습니다. 독립적 인 일. 학생들은 이 주제의 숙달 수준을 확인하고 다양한 복잡성의 작업 완료를 연습할 수 있습니다.

이 문제에 관한 관련 문헌을 연구한 결과, 학교 대수학 및 초등 분석 과정에서 삼각부등식을 해결하는 능력과 기술이 매우 중요하며 이를 개발하려면 수학 교사의 상당한 노력이 필요하다는 결론을 내릴 수 있습니다.

따라서 이 작업은 "삼각 불평등"이라는 주제에 대한 학생들의 교육을 효과적으로 구성할 수 있으므로 수학 교사에게 유용할 것입니다.

최종 적격 작품으로 확장하여 연구를 계속할 수 있습니다..

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부록 1

단순 부등식에 대한 해법의 그래픽 해석

쌀. 1

쌀. 2

그림 3

그림 4

그림 5

그림 6

그림 7

그림 8

부록 2

단순 부등식에 대한 해법