Повідомлення на тему тригонометрію в медицині. Тригонометрія в навколишньому світі та житті людини

Тригонометрія - це розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання у геометрії. Тригонометричні функції використовуються для опису властивостей різних кутів, трикутників та періодичних функцій. Вивчення тригонометрії допоможе зрозуміти ці властивості. Заняття в школі та самостійна роботадопоможуть вам засвоїти основи тригонометрії та зрозуміти багато періодичних процесів.

Кроки

Вивчіть основи тригонометрії

Ознайомтеся із поняттям трикутника.По суті тригонометрія займається вивченням різних співвідношень у трикутниках. Трикутник має три сторони та три кути. Сума кутів будь-якого трикутника складає 180 градусів. При вивченні тригонометрії необхідно ознайомитися з трикутниками та пов'язаними з ними поняттями, такими як:

гіпотенуза - найдовша сторона прямокутного трикутника;
тупий кут - кут більше 90 градусів;
гострий кут - кут менше 90 градусів.

Навчіться будувати одиничне коло.Одиничне коло дає можливість побудувати будь-який прямокутний трикутник так, щоб гіпотенуза дорівнювала одиниці. Це зручно при роботі з тригонометричними функціями, такими як синус та косинус. Освоївши одиничне коло, ви легко зможете знаходити значення тригонометричних функцій для певних кутів і вирішувати завдання, у яких фігурують трикутники з цими кутами.
- Приклад 1. Синус кута завбільшки 30 градусів становить 0,50. Це означає, що довжина протилежного даному куту катета дорівнює половині довжини гіпотенузи.
- Приклад 2. За допомогою цього співвідношення можна обчислити довжину гіпотенузи трикутника, в якому є кут величиною 30 градусів, а довжина катета, що протилежить цьому куту, дорівнює 7 сантиметрам. І тут довжина гіпотенузи становитиме 14 сантиметрів.
Ознайомтеся із тригонометричними функціями.Існує шість основних тригонометричних функцій, які необхідно знати щодо тригонометрії. Ці функції є співвідношення між різними сторонами прямокутного трикутника і допомагають зрозуміти властивості будь-якого трикутника. Ось ці шість функцій:
- синус (sin);
- косинус (cos);
- тангенс (tg);
- секанс (sec);
- косеканс (cosec);
- котангенс (CTG).
Запам'ятайте співвідношення між функціями.При вивченні тригонометрії дуже важливо розуміти, що це тригонометричні функції пов'язані між собою. Хоча синус, косинус, тангенс та інші функції використовуються по-різному, вони знаходять широке застосування завдяки тому, що існують певні співвідношення. Ці співвідношення легко зрозуміти за допомогою одиничного кола. Навчіться користуватися одиничним колом, і за допомогою описуваних нею співвідношень ви зможете вирішувати багато завдань.

Застосування тригонометрії
1. Дізнайтеся про основні сфери науки, в яких використовується тригонометрія.Тригонометрія корисна у багатьох розділах математики та інших точних наук. За допомогою тригонометрії можна знайти величини кутів та прямих відрізків. Крім того, тригонометричними функціями можна описати будь-який циклічний процес.
  - Наприклад, коливання пружини можна описати синусоїдальною функцією.
2. Подумайте про періодичні процеси.Іноді абстрактні поняття математики та інших точних наук є важкими для розуміння. Тим не менш, вони присутні в навколишньому світі, і це може полегшити їхнє розуміння. Придивіться до періодичних явищ навколо вас і спробуйте пов'язати їх із тригонометрією.
  - Місяць має передбачуваний цикл, тривалість якого становить близько 29,5 днів.
3. Уявіть, як можна вивчати природні цикли.Коли зрозумієте, що у природі протікає безліч періодичних процесів, подумайте у тому, як можна вивчати ці процеси. Подумки уявіть, як виглядає зображення таких процесів на графіку. За допомогою графіка можна скласти рівняння, яке описує явище, що спостерігається. При цьому вам знадобляться тригонометричні функції.
  - Уявіть собі припливи та відливи на березі моря. Під час припливу вода піднімається до певного рівня, а потім настає відлив, і рівень води падає. Після відливу знову слідує приплив, і рівень води піднімається. Цей циклічний процес може тривати нескінченно. Його можна описати тригонометричною функцією, наприклад косинусом.
Вивчайте матеріал заздалегідь
1. Прочитайте відповідний розділ.Деяким людям важко засвоїти ідеї тригонометрії з першого разу. Якщо ви ознайомитеся з відповідним матеріалом перед заняттями, краще засвоїте його. Намагайтеся частіше повторювати предмет, що вивчається - таким чином ви виявите більше взаємозв'язків між різними поняттями і концепціями тригонометрії.
  - Крім того, це дозволить вам заздалегідь виявити незрозумілі моменти.
2. Ведіть конспект.Хоча побіжний перегляд підручника краще, ніж нічого, при вивченні тригонометрії необхідне повільне вдумливе читання. Під час вивчення будь-якого розділу ведіть докладний конспект. Пам'ятайте, що знання тригонометрії накопичується поступово, та новий матеріалспирається на вивчений раніше, тому записи вже пройденого допоможуть вам просунутися далі.
  - Крім іншого, записуйте питання, що виникли у вас, щоб потім задати їх вчителю.
3. Вирішуйте наведені у підручнику завдання.Навіть якщо вам легко дається тригонометрія, потрібно вирішувати завдання. Щоб переконатися, що ви зрозуміли вивчений матеріал, спробуйте перед заняттями вирішити кілька завдань. Якщо при цьому виникнуть проблеми, ви визначите, що саме вам потрібно з'ясувати під час занять.
  - У багатьох підручниках наприкінці наведено відповіді до завдань. З їхньою допомогою можна перевірити, чи правильно ви вирішили завдання.
4. Беріть на заняття все потрібне.Не забувайте свій конспект та вирішення завдань. Ці підручні матеріали допоможуть вам освіжити в пам'яті вже пройдене та просунутися далі у вивченні матеріалу. Прояснюйте також усі питання, які виникли у вас під час попереднього читання підручника.

МУНІЦИПАЛЬНЕ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА

«ГІМНАЗІЯ №1»

«ТРИГОНОМЕТРІЯ В РЕАЛЬНОМУ ЖИТТІ»

інформаційний проект

Виконав:

Краснов Єгор

учень 9А класу

Керівник:

Бородкіна Тетяна Іванівна

Залізногірськ

Вступ………………………………………………………..……3

Актуальність………………………………………………….3

Мета……………………………………………………………4

Завдання………………………………………………………….4

1.4 Методи………………………………………………………...4

2.Тригонометрія та історія її розвитку………………………………..5

2.1.Тригонометрія та етапи формування….………………….5

2.2.Тригонометрія як термін. Характеристика……………….7

2.3.Возникнення синуса……………………….……………….7

2.4.Возникнення косинуса…………………….……………….8

2.5.Возникнення тангенсу та котангенсу……………………….9

2.6 Подальший розвиток тригонометрії………………………..9

3.Тригонометрія і реальне життя……………………..……………...12

3.1.Навігація……………………………..…………………….....12

3.2 Алгебра….……………………………..…………………….....14

3.3.Фізика….……………………………..…………………….....14

3.4.Медицина, біологія та біоритми.…..…………………….....15

3.5.Музика…………………………….…..……………………....19

3.6.Інформатика..…………………….…..……………………....21

3.7.Сфера будівництва та геодезія.…………………………....22

3.8 Тригонометрія у мистецтві та архітектурі………………..…....22

Висновок. ……………………………..…………………………..…..25

Список литературы.………………………….…………….……………27

Додаток 1 .…....………………………….…………….……………29

Вступ

У сучасному світізначну увагу приділяють математиці як одній з областей. наукової діяльностіта вивчення. Як ми знаємо, однією зі складових математики є тригонометрія. Тригонометрія - це розділ математики, що вивчає тригонометричні функції. Я вважаю, що ця тема по-перше, актуальна з практичної точки зору. Ми закінчуємо навчання у шкільництві, і розуміємо, що багатьох професій знання тригонометрії просто необхідно, т.к. дозволяє вимірювати відстань до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Принципи тригонометрії використовуються і в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) та комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел ( і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

По-друге, актуальністьтеми «Тригонометрія в реального життя» полягає в тому, що знання тригонометрії відкриють нові способи вирішення різних завдань у багатьох сферах науки і спростять розуміння деяких аспектів різних наук.

Здавна встановилася така практика, коли школярі стикаються з тригонометрією тричі. Таким чином, ми можемо сказати, що тригонометрія складається із трьох частин. Ці частини взаємопов'язані, і залежить від часу. При цьому вони абсолютно різні, не мають схожих рис як за змістом, який закладається при поясненні основних понять, так і за функціями.

Перше знайомство виникає у 8 класі. Це період, коли школярі вивчають: «Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника». У процесі вивчення тригонометрії подається косинус, синус і тангенс.

Наступним етапом є продовження знайомства з тригонометрією у 9 класі. Рівень складності підвищується, змінюються способи та методи вирішення прикладів. Тепер, на місце косінусів і тангенсів приходить коло та його можливості.

Останнім етапом є 10 клас, у якому тригонометрія стає складнішою, змінюються способи вирішення завдань. Запроваджується поняття радіанної міри кута. Запроваджуються графіки тригонометричних функцій. На цьому етапі учні починають вирішувати та вивчати тригонометричні рівняння. Але ніяк не геометрії. Для повного розуміння тригонометрії необхідно ознайомитися з історією її виникнення та розвитку. Після знайомства з історичною довідкоюта вивчення діяльності робіт великих діячів, математиків та вчених, ми можемо зрозуміти, яким чином тригонометрія впливає на наше життя, як допомагає створювати нові об'єкти, робити відкриття.

Метоюмого проекту є вивчення впливу тригонометрії в житті людини та розвиток інтересу до неї. Після вирішення цієї мети ми зможемо зрозуміти, яке місце тригонометрія займає у світі, які практичні завдання решает.

Для вирішення поставленої мети ми визначили наступні завдання:

1. Познайомиться з історією становлення та розвитку тригонометрії;

2. Розглянути приклади практичного впливу тригонометрії у різних сферах діяльності;

3. Показати на прикладах можливості тригонометрії та її застосування в житті людини.

Методи:Пошук та збирання інформації.

1.Тригонометрія та історія її розвитку

Що таке тригонометрія? Даний термін має на увазі під собою розділ у математиці, який займається вивченням залежності між різними величинами кутів, вивчає довжини сторін трикутника та алгебраїчну тотожність тригонометричних функцій. Важко уявити, що ця галузь математики зустрічається нам у повсякденному житті.

1.1.Тригонометрія та етапи її формування

Давайте звернемося до історії її розвитку, етапів формування. З давніх-давен тригонометрія набирала свої зачатки, розвивалася і показувала перші результати. Найперші відомості про появу та розвиток цієї галузі ми можемо побачити в рукописах, які знаходяться в стародавньому Єгипті, Вавілон, Стародавній Китаї. Вивчивши 56 завдання з папірусу Рінда (II тисячоліття до н. е.), можна побачити, що вона пропонує знайти нахил піраміди, чия висота є висотою в 250 ліктя. Довжина боку основи піраміди дорівнює 360 ліктів (рис.1). Цікаво, що єгиптяни у вирішенні цього завдання використовували одночасно дві системи виміру – «лікті» та «долоні». Сьогодні при вирішенні цього завдання ми знайшли б тангенс кута: знаючи половину основи та апофему (рис.1).

p align="justify"> Наступним кроком став етап розвитку науки, який пов'язаний з астрономом Аристархом Самоскогім, який проживав у III столітті до н. е. Трактат, що розглядає величини та відстань Сонця та Місяця, ставив перед собою певне завдання. Вона виражалася необхідність визначення відстані до кожного небесного тіла. Для того, щоб зробити такі обчислення, потрібно було порахувати відносини сторін прямокутного трикутника за відомого значення одного з кутів. Аристарх розглядав прямокутний трикутник, утворений Сонцем, Місяцем та Землею під час квадратури. Для обчислення величини гіпотенузи, яка виступала за основу відстані від Землі до Сонця, використовуючи катет, що виступає за основу відстані від Землі до Місяця, за відомого значення прилеглого кута (87°), що еквівалентно обчисленню значення sin кута 3. За оцінкою Аристарха, ця величина лежить у проміжку від 1/20 до 1/18. Це говорить про те, що відстань від Сонця до Землі в двадцять разів більша, ніж від місяця до Землі. Однак, ми знаємо, що Сонце в 400 разів далі, ніж місце Місяця. Помилкова думка виникла через неточність у вимірі кута.

Через кілька десятиліть Клавдій Птоломей у своїх роботах «Етногеографія», «Аналема» і «Планісферій» надає детальний виклад тригонометричних доповнень до картографії, астрономії та механіки. З-поміж іншого, зображена стереографічна проекція, вивчено низку фактичних питань, наприклад: встановити висоту і кут небесного світила відповідно до його відмінювання та годинного кута. З точки зору тригонометрії, це означає, що необхідно відшукати бік сферичного трикутника згідно з іншими двома гранями і протилежним кутом (рис.2)

У сукупності можна відзначити, що тригонометрія застосовувалася з метою:

Чіткого встановлення часу;

Обчислення майбутнього розташування небесних світил, епізодів їхнього сходу та заходу, затемнень Сонця та Місяця;

знаходження географічних координат поточного місця;

Підрахунок дистанції між мегаполісами з відомими географічними координатами.

Гномон- стародавній астрономічний механізм, вертикальний предмет (стела, колона, жердина), який дозволяє за допомогою найменшої довжини його тіні опівдні визначити кутову висоту сонця (рис.3).

Таким чином, котангенс представлявся нам як довжина тіні від вертикального гномона заввишки 12 (іноді 7) одиниць. Зазначимо, що у початковому варіанті, дані визначення використовувалися для розрахунку сонячного годинника. Тангенс представлявся тінню, що падає від горизонтального гномона. Косеканс і секанс розуміються як гіпотенузи, які відповідають прямокутним трикутникам.

1.2.Тригонометрія як термін. Характеристика

Вперше конкретний термін «тригонометрія» зустрічається в 1505 р. Він був опублікований і використаний у книзі німецького теолога та математика Бартоломеуса Пітіскуса. Тоді як наука вже використовувалася на вирішення астрономічних, архітектурних проблем.

Термін тригонометрія характеризується грецьким корінням. І складається з двох частин: трикутник і міра. Вивчаючи переклад, ми можемо сказати, що маємо наука, вивчає зміни трикутників. Поява тригонометрії пов'язане із землеміром, астрономією та будівельним процесом. Хоча назва з'явилася відносно недавно, багато відносяться в даний час до тригонометрії визначення і дані були відомі раніше 2000 року.

1.3. Виникнення синусу

Тривалу історію має уявлення синуса. По суті різноманітні взаємини відрізків трикутника і кола (а сутнісно, і тригонометричні функції) зустрічаються раніше 3 в. до н.е. у працях знаменитих математиків Античної Греції – Евкліда, Архімеда, Аполлонія Пергського. У римський проміжок часу ці взаємини вже досить регулярно вивчалися Менелаєм (I ст. н. е.), хоча й не отримали особливої назви. Сучасний синус кута α, наприклад, вивчається як полухорда, яку спирається центральний кут величиною α, чи хорда подвоєної дуги.

У наступний період математика тривалий час найбільш швидко формувалася індійськими і арабськими вченими. У 4-5 століттях виник, зокрема, раніше особливий термін у працях з астрономії знаменитого індійського вченого Аріабхати (476-бл. 550), ім'ям якого названо перший індуський супутник Землі. Відрізок він назвав ардхаджива (ардха-половина, джива-тетива злам, яку нагадує вісь). Пізніше прищепилося скорочене найменування джива. Арабськими математиками в ІХ ст. Термін джива (або джиба) було замінено на арабське слово джайб (увігнутість). При переході арабських математичних текстів у XII ст. це слово було замінено латинським синусом (sinus-вигин) (рис.4).

1.4. Виникнення косинуса

Визначення та виникнення терміна «косинус» носить більш короткочасний та недалекий характер. Під косинусом розуміється "додатковий синус" (або інакше "синус додаткової дуги"; згадайте cosα=sin(90° - a)). Цікавим фактом є те, що перші способи розв'язання трикутників, які засновані на залежності між сторонами та кутами трикутника, знайдені астрономом з Стародавню ГреціюГіппарх у другому столітті до нашої ери. Цим вивченням також займався Клавдій Птолемей. Поступово з'являлися нові факти про залежність між відносинами сторін трикутника та його кутами, почали застосовувати нове визначення – тригонометрична функція.

Істотний внесок у формування тригонометрії зробили арабські експерти Аль-Батані (850-929) та Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), який зібрав таблиці синусів та тангенсів за допомогою 10' з правильністю до 1/604. Теорему синусів раніше знали індійський професор Бхаскара (нар. 1114, рік смерті невідомий) та азербайджанський астролог та вчений Насіреддін Тусі Мухамед (1201-1274). Крім цього, Насіреддін Тусі у своїй роботі «Праця про повного чотиристоронника» розповів пряму та сферичну тригонометрію як незалежну дисципліну (рис.4).

1.5. Виникнення тангенсу та котангенсу

Тангенси виникли у взаємозв'язку із укладанням завдання про встановлення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс) встановлений в X столітті арабським арифметиком Абу-ль-Вафой, який склав і початкові таблиці для знаходження тангенсів і котангенсів. Але дані відкриття тривалий час збереглися незнайомими європейським вченим, і тангенси були знову відкриті лише у XIV столітті німецьким арифметиком, астрономом Регімонтаном (1467). Він аргументував теорему тангенсів. Регіомонтан склав також детальні тригонометричні таблиці; завдяки його працям плоска та сферична тригонометрія стала самостійною дисципліною і в Європі.

Позначення «тангенс», що походить від латинського tanger (торкатися), виникло в 1583 р. Tangens перекладається як «зворушливий» (лінія тангенсів – дотична до одиничного кола).
Подальше формування тригонометрія отримала у роботах видатних астрологів Миколи Коперника (1473-1543), Тихо Браге (1546-1601) та Йоганна Кеплера (1571-1630), а також у працях математика Франсуа Вієта (1540-160) у визначенні всіх компонентів плоского чи сферичного трикутника за трьома даними (рис.4).

1.6 Подальший розвиток тригонометрії

Довгий час тригонометрія носила виключно геометричний вигляд, тобто дані, які ми в даний час формулюємо у визначеннях тригонометричних функцій, формулювалися та аргументувалися за допомогою геометричних понять та тверджень. Такою, вона існувала ще в середньовіччі, хоча іноді в ній застосовувалися і аналітичні методи, особливо після появи логарифмів. Мабуть, максимальні стимули до формування тригонометрії з'являлися у взаємозв'язку з розв'язанням задач астрономії, що давало величезний позитивний інтерес (наприклад, з метою вирішення питань встановлення розташування корабля, прогнозу затемнення і т. д.). Астрологів займали співвідношення між сторонами та кутами сферичних трикутників. А арифметики давнини успішно справлялися з поставленими питаннями.

Починаючи з XVII ст., тригонометричні функції стали застосовувати до вирішення рівнянь, питань механіки, оптики, електрики, радіотехніки з метою відображення коливальних дій, поширення хвиль, переміщення. різних елементів, Для дослідження змінного гальванічного струму і т. д. З цієї причини тригонометричні функції всебічно і глибоко вивчалися, і набули істотного значення для цілої математики.

Аналітична теорія тригонометричних функцій в основному була створена видатним математиком XVIII століття Леонардом Ейлером (1707-1783) членом Петербурзької Академіїнаук. Величезний науковий доробок Ейлера включає блискучі результати, що стосуються математичного аналізу, геометрії, теорії чисел, механіки та інших додатків математики. Саме Ейлер першим запровадив відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули наведення. Після Ейлера тригонометрія набула форми обчислення: різні факти стали доводитися шляхом формального застосування формул тригонометрії, докази стали набагато компактнішими,

Таким чином, тригонометрія, що виникла як наука про розв'язання трикутників, згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

Пізніше частина тригонометрії, яка вивчає властивості тригонометричних функцій та залежності між ними, почали називати гоніометрією (у перекладі – наука про вимірювання кутів, від грецького gwnia – кут, metrew – вимірюю). Термін гоніометрія в Останнім часомпрактично не використовується.

2. Тригонометрія та реальне життя

Сучасне суспільствохарактеризується постійними змінами, відкриттями, створенням високотехнологічних винаходів, що покращують наше життя. Тригонометрія зустрічається та взаємодіє з фізикою, біологією, математикою, медициною, геофізикою, навігацією, інформатикою.

Познайомимося по порядку із взаємодією у кожній галузі.

2.1.Навігація

Першим пунктом, що пояснює застосування і користь тригонометрії, виступає її зв'язок з навігацією. Під навігацією ми розуміємо науку, метою якої є вивчення та створення найбільш зручних та корисних способів навігації. Так, вчені розробляють нескладні навігації, що являють собою побудову маршруту з однієї точки в іншу, його оцінка та вибір найкращого варіанта з усіх запропонованих. Дані маршрути необхідні мореплавцям, які протягом своєї подорожі стикаються з безліччю труднощів, перешкод, питань курсу руху. Також навігація необхідна: льотчикам, які керують складними високотехнічними літаками, орієнтуються часом у дуже екстремальних ситуаціях; космонавтам, чия робота пов'язана з ризиком для життя, зі складною побудовою маршруту та його освоєнням. Вивчимо докладніше такі поняття та завдання. Як завдання можна надати таку умову: ми знаємо географічні координати: широту та довготу між пунктами А та В земної поверхні. Необхідно знайти найбільш короткий шлях між пунктами А і У вздовж земної поверхні (радіус Землі вважається відомим: R = 6371 км).

Ми можемо також уявити вирішення цієї проблеми, а саме: спочатку ми уточнюємо, що широтою пункту М земної поверхні називається величина кута, утвореного радіусом ОМ, де О – центр Землі, з площиною екватора: ≤ , причому севру від екватора широта вважається позитивною, а на південь – негативною. За довготу пункту М ми візьмемо величину двогранного кута, що проходить у площинах СОМ та СОН. Під З ми розуміємо Північний полюс Землі. Як Н ми розуміємо точку, що відповідає грінвічській обсерваторії: ≤ (на схід від грінвічського меридіана довгота вважається позитивною, на захід – негативною). Як ми вже знаємо, найкоротшою відстанню між пунктами А і В земної поверхні є довжиною найменшої з дуг великого кола, що з'єднує А і В. Даний вид дуги ми можемо назвати ортодромією. Перекладаючи з грецької, цей термін розуміється прямим кутом. Через це нашим завданням є визначення довжини сторони АВ сферичного трикутника АВС, де С розуміється північний поліс.

Цікавим прикладом можна описати таке. При створенні маршруту мореплавцями, потрібна точна і копітка робота. Так, для прокладання курсу корабля на карті, яка була виконана в проекції Герхарда Меркатора в 1569 році, була гостра необхідність визначити широту. Однак, при виході в море, в локаціях до XVII століття мореплавцями широта не вказувалася. Вперше застосував тригонометричні розрахунки у навігації Едмонд Гюнтер (1623).

З її допомогою тригонометрії, пілоти могли розраховувати на вітряні похибки, для найбільш точного і безпечного ведення літака. Для того, щоб здійснити ці обчислення, ми звертаємося до трикутника швидкостей. Цим трикутником виражаються утворений повітряної швидкості (V), вектор вітру (W), вектор шляхової швидкості(Vп). ПУ – колійний кут, УВ – кут вітру, КУВ – курсовий кут вітру (рис. 5).

Щоб ознайомитися з видом залежності між елементами навігаційного трикутника швидкостей, необхідно подивитись нижче:

Vп = V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ

Для вирішення навігаційного трикутника швидкостей використовуються лічильні пристрої, що використовують навігаційну лінійку та підрахунки в умі.

2.2.Алгебра

Наступною сферою взаємодії тригонометрії є алгебра. Саме завдяки тригонометричним функціям вирішуються дуже складні, що вимагають великих обчислень рівняння та завдання.

Як ми знаємо, у всіх випадках, де необхідно взаємодіяти з періодичними процесами та коливаннями, ми приходимо до використання тригонометричних функцій. При цьому немає значення, що це таке: акустика, оптика або хитання маятника.

2.3.Фізика

Крім навігації та алгебри, тригонометрія надає прямий вплив та вплив у фізиці. При зануренні об'єктів у воду вони не змінюють ні форми, ні обсягів. Повний секрет - зоровий ефект, який змушує наш зір приймати предмет по-іншому. Прості тригонометричні формули та значення синуса кута падіння та заломлення напівпрямої надають можливість вирахувати постійний показник заломлення при переході світлового променя зі сфери у сферу. Наприклад, веселка виникає через те, що сонячне світлозазнає заломлення в крапельках води, зважених у повітрі за законом заломлення:

sin α / sin β = n1 / n2

де: n1 є показником заломлення першого середовища; n2 є показником заломлення другого середовища; α-кутом падіння, β-кутом заломлення світла.

Попадання у верхні шари атмосфери планет заряджених елементів сонячного вітру обумовлюється взаємодією магнітного поляземлі з сонячним вітром.

Сила, що діє на заряджену частинку, що переміщається в магнітному область, називається силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частки та векторному добутку поля та швидкості переміщення частки.

Розкриваючи практичні сторони застосування тригонометрії у фізиці, наведемо приклад. Це завданнямає вирішуватися з використанням тригонометричних формул та способів розв'язання. Умови завдання: на похилій площині, Кут якої 24,5о, розташовується тіло масою 90 кг. Необхідно визначити, який силою має тіло, що давить на похилу площину (тобто яке тиск надає тіло з цього площину) (рис.6).

Позначивши осі Х і У, почнемо будувати проекції сил на осі, спочатку скориставшись цією формулою:

ma = N + mg, потім дивимося на малюнок,

Х: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N - mg cos24,50

підставляємо масу, знаходимо, що сила дорівнює 819 н.

Відповідь: 819 Н

2.4.Медицина, біологія та біоритми

Четвертою областю, де серйозний вплив та допомогу надає тригонометрія, є одразу дві області: медицина та біологія.

Одна з фундаментальних властивостей живої природи - це циклічність більшості процесів, що відбуваються в ній. Між рухом небесних тілі живими організмами Землі існує зв'язок. Живі організми не тільки вловлюють світло і тепло Сонця і Місяця, але й мають різні механізми, що точно визначають положення Сонця, що реагують на ритм припливів, фази Місяця і рух нашої планети.

Біологічні ритми, біоритми, - це більш менш регулярні зміни характеру та інтенсивності біологічних процесів. Здатність до таких змін життєдіяльності передається у спадок і виявлено практично у всіх живих організмів. Їх можна спостерігати в окремих клітинах, тканинах та органах, цілих організмах та популяціях. Біоритми поділяють на фізіологічні, мають періоди від часток секунди до декількох хвилин і екологічні,за тривалістю збігаються з будь-яким ритмом довкілля. До них відносять добові, сезонні, річні, приливні та місячні ритми. Основний земний ритм – добовий, обумовлений обертанням Землі навколо своєї осі, тому практично всі процеси в живому організмі мають добову періодичність.

Безліч екологічних факторівна нашій планеті, насамперед світловий режим, температура, тиск і вологість повітря, атмосферне та електромагнітне поле, морські припливи та відливи, під впливом цього обертання закономірно змінюються.

Ми на сімдесят п'ять відсотків складаємося з води, і якщо в момент повні води світового океану піднімаються на 19 метрів над рівнем моря і починається приплив, то вода, що знаходиться в нашому організмі, так само спрямовується у верхні відділи нашого тіла. І у людей з підвищеним тискомчасто спостерігаються загострення хвороби в ці періоди, а натуралісти, що збирають лікарські трави, точно знають, в яку фазу місяця збирати «вершки – (плоди)», а в яку – «коріння».

Ви помічали, що в певні періодиваше життя робить незрозумілі стрибки? Раптом звідки не візьмись – б'ють через край емоції. Підвищується чутливість, яка раптово може змінити повну апатію. Творчі та безплідні дні, щасливі та нещасні моменти, різкі стрибки настрою. Зауважено, що можливості людського організму змінюються періодично. Ці знання є основою «теорії трьох біоритмів».

Фізичний біоритм – регулює фізичну активність. Протягом першої половини фізичного циклу людина енергійна, і досягає кращих результатів у своїй діяльності (друга половина – енергійність поступається лінощі).

Емоційний ритм – у періоди його активності підвищується чутливість, покращується настрій. Людина стає збудливою до різних зовнішніх катаклізмів. Якщо в нього гарний настрійВін будує повітряні замки, мріє закохатися і закохується. При зниженні емоційного біоритму відбувається занепад душевних сил, зникає бажання, радісний настрій.

Інтелектуальний біоритм - він розпоряджається пам'яттю, здатністю до навчання, логічного мислення. У фазі активності спостерігається підйом, а другої фазі спад творчої активності, відсутні успіх і успіх.

Теорія трьох ритмів:

· Фізичний цикл -23 дні. Визначає енергію, силу, витривалість, координацію руху

· Емоційний цикл – 28 днів. Стан нервової системита настрій

· Інтелектуальний цикл – 33 дні. Визначає творчу здатністьособистості

Тригонометрія зустрічається й у природі. Рух риб у воді відбувається за законом синуса чи косинуса, якщо зафіксувати крапку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху. При плаванні тіло риби набуває форми кривої, яка нагадує графік функції y=tgx.

При польоті птиці траєкторія помаху крил утворює синусоїду.

Тригонометрія у медицині. В результаті дослідження, проведеного студентом іранського університету Шираз Вахідом-Різою Аббасі, медики вперше отримали можливість упорядкувати інформацію, що стосується електричної активності серця або, іншими словами, електрокардіографії.

Формула, що отримала назву тегеранської, була представлена широкому науковому загалу на 14-й конференції географічної медицини і потім - на 28-й конференції з застосування комп'ютерної техніки в кардіології, що відбулася в Нідерландах.

Ця формула являє собою комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії. Як стверджують медики, ця формула значно полегшує процес опису основних параметрів діяльності серця, прискорюючи тим самим постановку діагнозу і початок власне лікування.

Багатьом людям доводиться робити кардіограму серця, але мало хто знає, що кардіограма людського серця – графік синуса чи косинуса.

Тригонометрія допомагає нашому мозку визначати відстань до об'єктів. Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі та площиною зору. Такий висновок було зроблено після серії експериментів, учасникам яких пропонувалося подивитись навколишній світчерез призми, які збільшують цей кут.

Таке спотворення призводило до того, що піддослідні носії призм сприймали віддалені об'єкти як ближчі і не могли впоратися з найпростішими тестами. Деякі з учасників експериментів навіть нахилялися вперед, прагнучи вирівняти своє тіло поверхні землі, що перпендикулярно неправильно представляється. Проте через 20 хвилин вони звикли до спотвореного сприйняття, і всі проблеми зникли. Ця обставина вказує на гнучкість механізму, за допомогою якого мозок пристосовує зорову систему до зовнішніх умов, що змінюються. Цікаво зауважити, що після того, як призми було знято, деякий час спостерігався зворотний ефект - переоцінка відстані.

Результати нового дослідження, як можна припустити, виявляться цікаві інженерам, які конструюють системи навігації для роботів, а також фахівцям, які працюють над створенням максимально реалістичних віртуальних моделей. Можливі й застосування у галузі медицини, при реабілітації пацієнтів із ушкодженнями певних галузей мозку.

2.5.Музика

Музична сфера діяльності також взаємодіє із тригонометрією.

Представляю вашій увазі цікаву інформаціюпро якийсь метод, який точно забезпечує зв'язок між тригонометрією та музикою.

Цей метод аналізу музичних творів отримав назву геометрична теорія музики. З його допомогою основні музичні структури та перетворення перекладаються мовою сучасної геометрії.

Кожна нота в рамках нової теоріїпредставляється як логарифм частоти відповідного звуку (нота «до» першої октави, наприклад, відповідає числу 60, октава – числу 12). Акорд, таким чином, представляється як точка із заданими координатами в геометричному просторі. Акорди згруповані в різні «родини», які відповідають різним типам геометричних просторів.

При розробці нового методу автори використовували 5 відомих типів музичних перетворень, які раніше не враховувалися в теорії музики при класифікації звукових послідовностей – октавна перестановка (O), пермутація (P), транспозиція (T), інверсія (I) та зміна кардинальності (C) . Всі ці перетворення, як пишуть автори, формують так звані OPTIC-симетрії в n-мірному просторі та зберігають музичну інформацію про акорд – у якій октаві знаходяться його ноти, в якій послідовності вони відтворені, скільки разів повторюються та інше. З допомогою OPTIC-симетрій класифікуються подібні, але з ідентичні акорди та його послідовності.

Автори статті показують, що різні комбінації цих 5-ти симетрій формують безліч різних музичних структур, одні з яких вже відомі в теорії музики (послідовність акордів, наприклад, висловлюватиметься в нових термінах як OPC), інші є принципово новими поняттями, які можливо, візьмуть на озброєння композитори майбутнього.

Як приклад авторами наводиться геометричне уявлення різних типів акордів із чотирьох звуків – тетраедр. Сфери на графіку представляють типи акордів, кольори сфер відповідають величині інтервалів між звуками акорду: синій – малі інтервали, тепліші тони – «розріджені» звуки акорду. Червона сфера – найбільш гармонійний акорд з рівними інтервалами між нотами, який був популярним у композиторів ХІХ століття.

"Геометричний" метод аналізу музики, на думку авторів дослідження, може призвести до створення принципово нових музичних інструментівта нових способів візуалізації музики, а також внести зміни до сучасних методик викладання музики та способи вивчення різних музичних стилів (класики, поп-музики, рок-музики та ін.). Нова термінологія також допоможе більш поглиблено порівнювати музичні твори композиторів різних епох та представляти результати досліджень у зручнішій математичній формі. Іншими словами, пропонується виділити з музичних творів їхню математичну суть.

Частоти, що відповідають одній і тій самій ноті в першій, другій і т.д. октавах, ставляться, як 1:2:4:8… Згідно з переказами, що дійшли з давнини, першими, хто спробував зробити це, були Піфагор і його учні.

Діатонічна гама 2:3:5 (Рис.8).

2.6.Інформатика

Не оминула тригонометрія зі своїм впливом та інформатику. Так, її функції можна застосувати для точних розрахунків. Завдяки даному моменту, ми можемо наблизити будь-яку (у певному сенсі " хорошу " ) функцію, розклавши їх у ряд Фурье:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Процес підбору числа найбільш відповідним чином числа a0, a1, b1, a2, b2, ... можна у вигляді такої (нескінченної) суми представляти майже будь-які функції в комп'ютері з необхідною точністю.

Тригонометрія надає серйозну роль і допомогу у розвитку та у процесі роботи з графічною інформацією. Якщо потрібно змоделювати процес, з описом в електронному вигляді, з обертанням певного об'єкта навколо деякої осі. Виникає поворот деякий кут. Для визначення координат точок доведеться множити на синуси та косинуси.

Так, можна навести приклад Джастіна Віндела, програміста і дизайнера, що працює в Google Grafika Lab. Він опублікував демо, яке показує приклад використання тригонометричних функцій, щоб створити динамічну анімацію.

2.7.Сфера будівництва та геодезії

Цікавою галуззю, що взаємодіє з тригонометрією, є область будівництва та геодезії. Довжини сторін та величини кутів довільного трикутника на площині пов'язані між собою певними співвідношеннями, найважливіші з яких називають теоремами косінусів та синусів. Формули, що містять у собі а, b, c, мають на увазі, що літери представляються сторонами трикутника, які лежать відповідно проти кутів А, В, С. Ці формули дозволяють за трьома елементами трикутника – довжинами сторін та кутами – відновити решту трьох елементів. Вони застосовуються при вирішенні практичних завдань, наприклад, у геодезії.

Уся "класична" геодезія сформована на тригонометрії. Оскільки практично з найдавніших часів геодезисти захоплюються тим, що " вирішують " трикутники.

Процес зведення будівель, шляхів, мостів та інших будівель настає з пошукових та проектних робіт. Всі без винятку вимірювання на будівництві ведуть за допомогою геодезичних приладів, таких як тахеометр і тригонометричний нівелір. При тригонометричному нівелюванні встановлюють різницю висот між кількома точками земної поверхні.

2.8 Тригонометрія в мистецтві та архітектурі

Відколи людина стала існувати землі, основою поліпшення побуту та інших сфер життя стала наука. Основи всього, що створено людиною – це різні напрями у природничих та математичних науках. Одна з них – геометрія. Архітектура не єдина галузь науки, в якій використовуються тригонометричні формули. Більшість композиційних рішень та побудов малюнків проходила саме за допомогою геометрії. Але теоретичні дані мало що означають. Розглянемо приклад на побудову однієї скульптури французького майстра Золотого віку мистецтва.

Пропорційне співвідношення у побудові статуї було ідеальним. Однак при піднятті статуї на високий п'єдестал вона виглядала потворною. Скульптором не було враховано, що в перспективі до горизонту зменшується багато деталей і при погляді знизу вгору вже не створюється враження її ідеальності. Велось безліч розрахунків, щоб фігура з великої висоти виглядала пропорційно. В основному вони були засновані на методі візування, тобто приблизного виміру, на око. Однак коефіцієнт різниці тих чи інших пропорцій дозволили зробити фігуру більш наближеною до ідеалу. Таким чином, знаючи зразкову відстань від статуї до точки зору, а саме від верху статуї до очей людини і висоту статуї, можна розрахувати синус кута падіння погляду за допомогою таблиці, тим самим знайдемо точку зору (рис.9).

На малюнку 10 ситуація змінюється, так як статую піднімають на висоту АС і СР збільшуються, можна розрахувати значення косинуса кута С, по таблиці знайдемо кут падіння погляду. У процесі можна розрахувати АН, а також синус кута С, що дозволить перевірити результати за допомогою основного тригонометричного тотожності cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Порівнявши вимірювання АН у першому та другому випадки можна знайти коефіцієнт пропорційності. Згодом ми отримаємо креслення, а потім скульптуру, при піднятті якої візуально фігура буде наближена до ідеалу

Культові будівлі у всьому світі були спроектовані завдяки математиці, яка може вважатися генієм архітектури. Деякі відомі приклади таких будівель: Дитяча школа Гауді в Барселоні, Хмарочос Мері-Екс в Лондоні, Виноробня «Бодегас Ісіос» в Іспанії, Ресторан у Лос-Манантіалесі в Аргентині. Під час проектування цих будівель не обійшлося без тригонометрії.

Висновок

Вивчивши теоретичні та прикладні аспекти тригонометрії, я усвідомив, що ця галузь тісно пов'язана з багатьма науками. На самому початку тригонометрія була необхідна для створення та проведення вимірювань між кутами. Однак згодом простий вимір кутів переріс у повноцінну науку, що вивчає тригонометричні функції. Ми можемо позначити такі області, де відбувається тісний зв'язок тригонометрії і фізики архітектури, природи, медицини, біології.

Так, завдяки тригонометричним функціям в медицині була відкрита формула серця, що представляє собою комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, яка складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів і 33 основних параметрів, що включають можливість додаткових прорахунків при виникненні аритмії. Це відкриття допомагає лікарям виконувати більш кваліфіковано та якісно медичну допомогу.

Зазначимо також. що вся класична геодезія ґрунтується на тригонометрії. Оскільки фактично з давніх-давен геодезисти займаються тим, що "вирішують" трикутники. Процес будівництва будівель, доріг, мостів та інших споруд починається з розвідувальних та проектних робіт. Всі вимірювання на будівництві проводяться за допомогою геодезичних інструментів, таких як теодоліт та тригонометричний нівелір. При тригонометричному нівелюванні визначають різницю висот між кількома точками земної поверхні.

Знайомлячись із її впливом інших областях, ми можемо зробити висновок у тому, що тригонометрія активно впливає життєдіяльність людини. Зв'язок математики з навколишнім світом дозволяє "матеріалізувати" знання школярів. Завдяки цьому ми можемо адекватніше сприйняти та засвоїти знання та інформацію, яку нам викладають у школі.

Мета мого проекту виконана успішно. Мною було вивчено вплив тригонометрії у житті та розвиток інтересу до неї.

Для вирішення поставленої мети ми виконали такі завдання:

1. Познайомилися з історією становлення та розвитку тригонометрії;

2. Розглянули приклади практичного впливу тригонометрії у різних сферах діяльності;

3. Показали на прикладах можливості тригонометрії та її застосування в житті людини.

Вивчення історії виникнення цієї галузі допоможе викликати інтерес у школярів, сформувати правильний світогляд і підвищити загальну культуру старшокласника.

Дана робота буде корисна для учнів старших класів, які ще не побачили всієї краси тригонометрії і не знайомі з областями її застосування у навколишньому житті.

Список літератури

Глейзер Г.І.

Рибніков К.А.

Список літератури

О.М. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудніцин та ін. "Алгебра та початки аналізу" Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ, М., Просвітництво, 2013.

Глейзер Г.І.Історія математики у школі: VII-VIII кл. - М: Просвітництво, 2012.

Глейзер Г.І.Історія математики у школі: IX-X кл. - М: Просвітництво, 2013.

Рибніков К.А.Історія математики: Підручник. - М.: Вид-во МДУ, 1994. Олехнік Завдання з алгебри, тригонометрії та елементарних функцій / Олехник, С.М. в. - М: вища школа, 2016. – 134 c.

Олехнік, С.М. Завдання з алгебри, тригонометрії та елементарних функцій / С.М. Олехник. – К.: Вища школа, 2013. – 645 c.

Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрія та елементарні функції / М.К. Потапів. – К.: Вища школа, 2014. – 586 c.

Потапов, М.К. Алгебра. Тригонометрія та елементарні функції / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.І. Пасіченко. – К.: [не вказано], 2015. – 762 c.

Додаток 1

Рис.1Зображення піраміди. Обчислення нахилу b / h.

Кутомір Секед

У загальному вигляді єгипетська формула обчислення секеда піраміди виглядає

так:.

Давньоєгипетський термін « секед» позначав кут нахилу. Він був через висоту, розділену на половину основи.

"Довжина піраміди зі східної сторони становить 360 (ліктів), висота - 250 (ліктів). Обчислити потрібно нахил східної сторони. Для цього візьміть половину від 360, тобто 180. Розділіть 180 на 250. Ви отримаєте: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 ліктя. Врахуйте, що один лікоть дорівнює 7 ширинам долонь. Помножте тепер отримані числа на 7 таким чином: "

Рис.2Гномон

Рис.3 Визначення кутової висоти сонця

Рис.4 Основні формули тригонометрії

Рис.5 Навігація у тригонометрії

Рис.6 Фізика у тригонометрії

Рис.7 Теорія трьох ритмів

(Фізичний цикл -23 дні. Визначає енергію, силу, витривалість, координацію руху; Емоційний цикл – 28 днів. Стан нервової системи та настрій; Інтелектуальний цикл – 33 дні. Визначає творчу здатність особистості)

Мал. 8 Тригонометрія у музиці

Рис.9, 10 Тригонометрія в архітектурі

align=center>

Тригонометрія- мікророзділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій.
Існує безліч областей, у яких застосовуються тригонометрія та тригонометричні функції. Тригонометрія або тригонометричні функції використовуються в астрономії, в морській та повітряній навігації, в акустиці, в оптиці, в електроніці, в архітектурі та інших областях.

Історія створення тригонометрії

Історія тригонометрії, як науки про співвідношення між кутами та сторонами трикутника та інших геометричних фігур, охоплює понад два тисячоліття. Більшість таких співвідношень не можна висловити за допомогою звичайних операцій алгебри, і тому знадобилося ввести особливі тригонометричні функції, спочатку оформлялися у вигляді числових таблиць.
Історики вважають, що тригонометрію створили древні астрономи, трохи згодом її почали використовувати у архітектурі. Згодом сфера застосування тригонометрії постійно розширювалася, в наші дні вона включає практично все природні науки, техніку та низку інших областей діяльності.

Ранні віки

Від вавілонської математики веде початок звичне нам вимір кутів градусами, хвилинами і секундами (введення цих одиниць в давньогрецьку математику зазвичай приписують II століття до н. Е..).

Головним досягненням цього періоду стало співвідношення катетів і гіпотенузи в прямокутному трикутнику, яке пізніше отримало ім'я теореми Піфагора.

Стародавня Греція

Загальне та логічно зв'язне виклад тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецькій геометрії. Грецькі математики ще виділяли тригонометрію як окрему науку, їм вона була частиною астрономії.
Основним досягненням античної тригонометричної теорії стало рішення у загальному вигляді завдання «вирішення трикутників», тобто знаходження невідомих елементів трикутника, виходячи з трьох заданих його елементів (з яких хоча б один є стороною).
Прикладні тригонометричні завдання відрізняються великою різноманітністю - наприклад, можуть бути задані результати дій над перерахованими величинами (наприклад, сума кутів або відношення довжин сторін).
Паралельно з розвитком тригонометрії площини греки під впливом астрономії далеко просунули сферичну тригонометрію. У «Початках» Евкліда на цю тему є лише теорема про відношення обсягів куль різного діаметра, але потреби астрономії та картографії викликали швидкий розвитоксферичної тригонометрії та суміжних з нею областей - системи небесних координат, теорія картографічних проекцій, технології астрономічних приладів

Середньовіччя

У IV столітті після загибелі античної науки центр розвитку математики перемістився в Індію. Вони змінили деякі концепції тригонометрії, наблизивши їх до сучасних: наприклад, першими ввели у використання косинус.

Першим спеціалізованим трактатом з тригонометрії було твір середньоазіатського вченого (X-XI століття) "Книга ключів науки астрономії" (995-996 роки). Цілий курс тригонометрії містив головну працю Аль-Біруні - «Канон Мас'уда» (книга III). Крім таблиць синусів (з кроком 15") Аль-Біруні дав таблиці тангенсів (з кроком 1°).

Після того як арабські трактати були в XII-XIII століттях перекладені латиною, багато ідей індійських і перських математиків стали надбанням європейської науки. Очевидно, перше знайомство європейців з тригонометрією відбулося завдяки зиджу, два перекладу якого було виконано в XII столітті.

Першим європейським твором, цілком присвяченим тригонометрії, часто називають «Чотири трактати про прямі і звернені хорди» англійського астронома Річарда Воллінгфордського (близько 1320). Тригонометричні таблиці, частіше перекладні з арабської, але іноді й оригінальні, містяться в творах інших авторів XIV-XV століть. Тоді ж тригонометрія зайняла місце серед курсів університетів.

Новий час

Розвиток тригонометрії в Новий час став надзвичайно важливим не тільки для астрономії та астрології, але й для інших додатків, насамперед артилерії, оптики та навігації при далеких морських подорожах. Тому після XVI століття цією темою займалися багато видатних вчених, у тому числі Микола Коперник, Йоган Кеплер, Франсуа Вієт. Коперник присвятив тригонометрії два розділи у своєму трактаті «Про обертання небесних сфер» (1543). Незабаром (1551) з'явилися 15-значні тригонометричні таблиці Ретіка, учня Коперника. Кеплер опублікував працю «Оптична частина астрономії» (1604).

Вієт у першій частині свого «Математичного канону» (1579) помістив різноманітні таблиці, у тому числі тригонометричні, а в другій частині дав ґрунтовний та систематичний, хоча і без доказів, виклад плоскої та сферичної тригонометрії. У 1593 році Вієт підготував розширене видання цієї капітальної праці.
Завдяки працям Альбрехта Дюрера, на світ з'явилася синусоїда.

XVIII століття

Сучасний вигляд тригонометрії надав. У трактаті «Вступ до аналізу нескінченних» (1748) Ейлер дав визначення тригонометричних функцій, еквівалентне сучасному, і визначив зворотні функції.

Ейлер розглядав як допустимі негативні кути і кути, великі 360°, що дозволило визначити тригонометричні функції на всій числовій числовій прямій, а потім продовжити їх на комплексну площину. Коли постало питання поширенні тригонометричних функцій на тупі кути, знаки цих функцій до Ейлера нерідко вибиралися помилково; багато математиків вважали, наприклад, косинус і тангенс тупого кута позитивними. Ейлер визначив ці знаки для кутів у різних координатних квадрантах, виходячи із формул приведення.
Загальною теорією тригонометричних рядів Ейлер не займався і збіжність отриманих рядів не досліджував, але отримав кілька важливих результатів. Зокрема, він вивів розкладання цілих ступенів синуса та косинуса.

Застосування тригонометрії

За своїм праві ті, хто каже, що тригонометрія в реальному житті не потрібна. Ну, якими є її звичайні прикладні завдання? Виміряти відстань між недоступними об'єктами.
Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як техніка навігації, теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) та комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія і т.д.
Висновок:тригонометрія - величезна помічниця у нашому повсякденному житті.

Тригонометрія в астрономії:

Потреба у вирішенні трикутників найперше виявилася в астрономії; тому, протягом багато часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як із розділів астрономії.

Складені Гіппархом таблиці положень Сонця та Місяця дозволили передраховувати моменти настання затемнень (з помилкою 1-2 год). Гіппарх вперше почав використовувати в астрономії методи сферичної тригонометрії. Він підвищив точність спостережень, застосувавши наведення на світило хрест ниток в кутомірних інструментах — секстантах і квадрантах. Вчений склав величезний на той час каталог положень 850 зірок, розділивши їх по блиску на 6 ступенів (зіркових величин). Гіппарх запровадив географічні координати — широту та довготу, і його можна вважати фундатором математичної географії. (бл. 190 до н. е. - бл. 120 до н. е.)

Повне рішення задачі про визначення всіх елементів плоского або сферичного трикутників за трьома даними елементами, важливі розкладання sin пх і cos пх за ступенями cos х і sinx. Знання формули синусів і косінусів кратних дуг дало можливість Вієту вирішити рівняння 45-го ступеня, запропоноване математиком А. Рооменом; Вієт показав, що рішення цього рівняння зводиться до поділу кута на 45 рівних частин і що існують 23 позитивних кореня цього рівняння. Вієт вирішив завдання Аполлонія за допомогою лінійки та циркуля.
Розв'язання сферичних трикутників- одне із завдань астрономії Обчислювати сторони і кути будь-якого сферичного трикутника по трьох відповідним чином заданим сторонам або кутам дозволяють наступні теореми: (теорема синусів) (теорема косінусів для кутів) (теорема косинусів для сторін).

Тригонометрія у фізиці:

види коливальних явищ.

Гармонічне коливання - явище періодичної зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

Де х — значення величини, що змінюється, t — час, А — амплітуда коливань, ω — циклічна частота коливань, — повна фаза коливань, r — початкова фаза коливань.

Механічні коливання . Механічними коливаннями

Тригонометрія у природі.

Ми часто ставимо запитання

Одне з фундаментальних властивостей
- це більш менш регулярні зміни характеру та інтенсивності біологічних процесів.
Основний земний ритм- Добовий.

Тригонометрія у біології

Тригонометрія відіграє у медицині. З її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.

діатонічна гама 2:3:5

Тригонометрія в архітектурі

Страхова корпорація Swiss Re у Лондоні

Інтерпретація

Ми привели лише малу частину того, де можна зустріти тригонометричні функції. Ми з'ясували

Ми довели, що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою, що зустрічається в природі, медицині. Можна наводити безліч прикладів періодичних процесів живої і неживої природи. Усі періодичні процеси можна описати за допомогою тригонометричних функцій та зобразити на графіках

Ми думаємо, що тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери,

у яких вона відіграє важливу роль, розширюватимуться.

З'ясували, Що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.
Довели
Думаємо

Перегляд вмісту документа
«Данілова Т.В.-сценарій»

МКОУ «Ненецька загальноосвітня середня школа – інтернат ім. А.П.Пирерки»

Навчальний проект

" "

Данилова Тетяна Володимирівна

Вчитель математики

Обґрунтування актуальності проекту.

Тригонометрія - це розділ математики, що вивчає тригонометричні функції. Важко уявити, але з цією наукою ми стикаємося не лише на уроках математики, а й у нашому повсякденному житті. Ви могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона грає і в медицині, і що найцікавіше без неї не обійшлося навіть у музиці та архітектурі.
Слово тригонометрія вперше з'являється в 1505 в назві книги німецького математика Пітіскуса.
Тригонометрія – слово грецьке, й у буквальному перекладі означає вимір трикутників (trigonan – трикутник, metroo - вимірюю).
Виникнення тригонометрії було тісно пов'язане із землемірством, астрономією та будівельною справою.

Школяр у 14-15 років не завжди знає, куди піденавчатися і де працюватиме.
Для деяких професій її знання потрібне, т.к. дозволяє вимірювати відстань до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Принципи тригонометрії використовуються і в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) та комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел ( і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

Визначення предмета дослідження

3. Цілі проекту.

Проблемне питання
1. Які поняття тригонометрії найчастіше використовуються у реальному житті?
2. Яку роль грає тригонометрія в астрономії, фізиці, біології та медицині?
3. Як пов'язані архітектура, музика та тригонометрія?

Гіпотеза

Перевірка гіпотези

Тригонометрія (Від грец.trigonon - Трикутник,metro – метрія) –

Історія тригонометрії:

Стародавні люди обчислювали висоту дерева, порівнюючи довжину його тіні з довжиною тіні від жердини, висота якого була відома. За зірками обчислювали місцезнаходження корабля у морі.

Наступний крок у розвитку тригонометрії був зроблений індійцями в період з V до XII ст.

Сам термін косинус з'явився значно пізніше у роботах європейських вчених вперше наприкінці XVI ст. з так званого синусу доповнення, тобто. синуса кута, що доповнює цей кут до 90 °. «Синус доповнення» або (латиною) sinus complementi стали скорочено записувати як sinus co або co-sinus.

У XVII – XIX ст. тригонометрія стає одним із розділів математичного аналізу.

Вона знаходить велике застосування в механіці, фізиці та техніці, особливо при вивченні коливальних рухів та інших періодичних процесів.

Жан Фур'є довів, що будь-який періодичний рух може бути представлений (з будь-яким ступенем точності) у вигляді суми простих гармонійних коливань.

у систему математичного аналізу.

Де застосовується тригонометрія

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх сферах життєдіяльності людей. Слід зазначити застосування таких областях як: астрономія, фізика, природа, біологія, музика, медицина та ще.

Тригонометрія в астрономії:

Досягнення Вієта у тригонометрії
Повне рішення задачі про визначення всіх елементів плоского або сферичного трикутників за трьома даними елементами, важливі розкладання sin пх і cos пх за ступенями cos х і sinx. Знання формули синусів і косінусів кратних дуг дало можливість Вієту вирішити рівняння 45-го ступеня, запропоноване математиком А. Рооменом; Вієт показав, що рішення цього рівняння зводиться до поділу кута на 45 рівних частин і що існують 23 позитивних кореня цього рівняння. Вієт вирішив завдання Аполлонія за допомогою лінійки та циркуля.
Розв'язання сферичних трикутників- одне із завдань астрономії Обчислювати сторони і кути будь-якого сферичного трикутника по трьох відповідним чином заданим сторонам або кутам дозволяють наступні теореми: (теорема синусів) (теорема косінусів для кутів) (теорема косинусів для сторін).

Тригонометрія у фізиці:

У навколишньому світі доводиться зіштовхуватися з періодичними процесами, які повторюються через однакові проміжки часу. Ці процеси називаються коливальними. Коливальні явища різної фізичної природи підпорядковуються загальним закономірностям і описуються однаковими рівняннями. Існують різні види коливальних явищ.

Гармонічне коливання- явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

Де х - значення величини, що змінюється, t - час, А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, r - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливанняу диференціальному вигляді x'+ ω²x = 0.

Механічні коливання . Механічними коливанняминазивають рухи тіл, що повторюються точно через однакові проміжки часу. Графічне зображенняцієї функції дає наочне уявлення про перебіг коливального процесу у часі. Прикладами простих механічних коливальних систем можуть бути вантаж на пружині або математичний маятник.

Тригонометрія у природі.

Ми часто ставимо запитання "Чому ми іноді бачимо те, чого немає насправді?". Для дослідження запропоновано такі питання: «Як виникає веселка? Північне сяйво?», «Що таке оптичні ілюзії?» ,«Як тригонометрія може допомогти знайти відповіді на ці питання?».

Вперше теорія веселки була дана в 1637 Рене Декартом. Він пояснив веселку, як явище, пов'язане з відображенням та заломленням світла у дощових краплях.

Північне сяйво Проникнення верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети із сонячним вітром.

Сила, що діє на заряджену частинку, що рухається в магнітному полі, називається силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частки та векторному добутку поля та швидкості руху частки.

Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі та площиною зору.

До того ж у біології використовується таке поняття як синус сонний, синус каротидний та венозний чи печеристий синус.

Тригонометрія відіграє у медицині. З її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.

Одне з фундаментальних властивостейживої природи - це циклічність більшості процесів, що відбуваються в ній.

Біологічні ритми, біоритми

Основний земний ритм- Добовий.

Модель біоритмів можна збудувати за допомогою тригонометричних функцій.

Тригонометрія у біології

Які біологічні процеси пов'язані із тригонометрією?

Біологічні ритми, біоритми пов'язані з тригонометрією

Модель біоритмів можна збудувати за допомогою графіків тригонометричних функцій. Для цього необхідно ввести дату народження людини (день, місяць, рік) та тривалість прогнозу

Рух риб у воді відбувається за законом синуса чи косинуса, якщо зафіксувати крапку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху.

Виникнення музичної гармонії

Згідно з переказами, першими, хто спробував зробити це, були Піфагор і його учні.

Частоти, що відповідають одній і тій самій ноті в першій, другій і т.д. октавах, відносяться, як 1:2:4:8…

діатонічна гама 2:3:5

Тригонометрія в архітектурі

Дитяча школа Гауді у Барселоні

Страхова корпорація Swiss Re у Лондоні

Фелікс Кандела Ресторан у Лос-Манантіалесі

Інтерпретація

Ми привели лише малу частину того, де можна зустріти тригонометричні функції. Ми з'ясували, що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

Ми думаємо, що тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери,

у яких вона відіграє важливу роль, розширюватимуться.

З'ясували, Що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

Довели, Що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою, зустрічається в природі, музиці, астрономії та медицині.

Думаємо, Що тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери, в яких вона відіграє важливу роль, будуть розширюватися.

7. Література.

Програма Maple6, що реалізує зображення графіків

«Вікіпедія»

Навчання.ru

Math.ru «бібліотека»

Перегляд вмісту презентації
«Данілова Т.В.»

" Тригонометрія в навколишньому світі та житті людини "

Цілі дослідження:

Зв'язок тригонометрії із реальним життям.

Проблемне питання 1. Які поняття тригонометрії найчастіше використовуються у реальному житті? 2. Яку роль грає тригонометрія в астрономії, фізиці, біології та медицині? 3. Як пов'язані архітектура, музика та тригонометрія?

Гіпотеза

Більшість фізичних явищ природи, фізіологічних процесів, закономірностей у музиці та мистецтві можна описати за допомогою тригонометрії та тригонометричних функцій.

Що таке тригонометрія?

Тригонометрія (Від грец. Trigonon - трикутник, metro - метрія) -мікророзділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій.

Історія тригонометрії

Витоки тригонометрії беруть початок у стародавньому Єгипті, Вавилонії та долині Інду понад 3000 років тому.

Слово тригонометрія вперше зустрічається в 1505 в заголовку книги німецького математика Пітіскуса.

Вперше способи розв'язання трикутників, засновані на залежностях між сторонами та кутами трикутника, знайшли давньогрецькими астрономами Гіппархом і Птолемеєм.

Стародавні люди обчислювали висоту дерева, порівнюючи довжину його тіні з довжиною тіні від жердини, висота якого була відома.

За зірками обчислювали місцезнаходження корабля у морі.

Наступний крок у розвитку тригонометрії був зроблений індійцями в період з V до XII ст.

У на відміну від греків інд ійці стали розглядати та вживати у обчисленнях вже не цілу хорду ММ  відповідного центрального кута, лише її половину МР, т. е. синуса  - половини центрального кута.

Сам термін косинус з'явився значно пізніше в роботах європейських учених вперше наприкінці XVI ст. « синуса доповнення » , тобто. синуса кута, що доповнює даний кут до 90  . « Синус доповнення » або (латиною) sinus complementi стали скорочено записувати як sinus co або co-sinus.

Поряд із синусом індійці ввели до тригонометрії. косинус , Точніше, стали використовувати у своїх обчисленнях лінію косинуса. Їм були відомі також співвідношення cos  = sin (90  -  ) і sin 2  +cos 2  =r 2 , а також формули для синуса суми та різниці двох кутів.

У XVII – XIX ст. тригонометрія стає

одним із розділів математичного аналізу.

Вона знаходить велике застосування в механіці,

фізики та техніки, особливо при вивченні

коливальних рухів та інших

періодичних процесів.

Про властивості періодичності тригонометричних функцій знав ще Вієт, перші математичні дослідження якого належали до тригонометрії.

Доказав, що будь-яке періодичне

рух може бути

представлено (з будь-яким ступенем

точності) у вигляді суми простих

гармонійних коливань.

засновник аналітичної

теорії

тригонометричних функцій .

Леонард Ейлер

У "Введення в аналіз нескінченних" (1748 р)

трактує синус, косинус тощо. не як

тригонометричні лінії, обов'язково

пов'язані з колом, а як

тригонометричні функції, які він

розглядав як відносини сторін

прямокутного трикутника, як числові

величини.

Виключив зі своїх формул

R – цілий синус, приймаючи

R = 1, і спростив таким

способом запису та обчислення.

Розробляє вчення

про тригонометричні функції

будь-якого аргументу.

У XIX столітті продовжив

розвиток теорії

тригонометричних

функцій.

М.І.Лобачевський

«Геометричні розгляду,- пише Лобачевський,- необхідні доти на початку тригонометрії, поки вони не послужать до відкриття відмітної якості тригонометричних функцій ... Звідси робиться тригонометрія абсолютно незалежною від геометрії і має всі переваги аналізу».

Стадії розвитку тригонометрії:

Тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів.

Першими кроками тригонометрії було встановлення зв'язків між величиною кута та ставленням спеціально побудованих відрізків прямих. Результат – можливість вирішувати плоскі трикутники.

Необхідність табулювати значення тригонометричних функцій, що вводяться.

Тригонометричні функції перетворювалися на самостійні об'єкти досліджень.

У XVIII ст. тригонометричні функції були включені

у систему математичного аналізу.

Де застосовується тригонометрія

Тригонометрія в астрономії

Значних висот досягла тригонометрія і в індійських середньовічних астрономів.

Головним досягненням індійських астрономів стала заміна хорд

синусами, що дозволило вводити різні функціїпов'язані

зі сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Таким чином, в Індії було започатковано тригонометрію.

як вчення про тригонометричні величини.

Складені Гіппархом таблиці положень Сонця та Місяця дозволили передраховувати моменти настання затемнень (з помилкою 1-2 год). Гіппарх вперше почав використовувати в астрономії методи сферичної тригонометрії. Він підвищив точність спостережень, застосувавши наведення на світило хрест ниток в кутомірних інструментах - секстантах і квадрантах. Вчений склав величезний на той час каталог положень 850 зірок, розділивши їх по блиску на 6 ступенів (зіркових величин). Гіппарх запровадив географічні координати - широту та довготу, і його можна вважати засновником математичної географії. (бл. 190 до н. е. – бл. 120 до н. е.)

Гіппарх

Тригонометрія у фізиці

Механічні коливання

Гармонічні коливання

Гармонічні коливання

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

або

Узагальнене гармонійне коливання в диференціальному вигляді x'+ ω²x = 0.

Механічні коливання

Механічними коливаннями називають рухи тіл, що повторюються точно через однакові проміжки часу. Графічне зображення цієї функції дає наочне уявлення про перебіг коливального процесу у часі.

Прикладами простих механічних коливальних систем можуть бути вантаж на пружині або математичний маятник.

Математичний маятник

На малюнку зображені коливання маятника, він рухається кривою, званої косинусом.

Траєкторія кулі та векторні проекції на осі X і Y

З малюнка видно, що векторні проекції на осі Х і У відповідно рівні

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрія у природі

Оптичні ілюзії

природні

штучні

змішані

Теорія веселки

Веселка виникає через те, що сонячне світло зазнає заломлення в крапельках води, зважених у повітрі по закону заломлення:

sin α /sin β = n 1 /n 2

де n 1 =1, n 2 ≈1,33 – відповідно показники заломлення повітря та води, α – кут падіння, а β – кут заломлення світла.

Північне сяйво

Проникнення у верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети із сонячним вітром.

Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі та площиною зору.

До того ж у біології використовується таке поняття як синус сонний, синус каротидний та венозний чи печеристий синус.

Тригонометрія відіграє у медицині. З її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.

Одне з фундаментальних властивостейживої природи - це циклічність більшості процесів, що відбуваються в ній.

Біологічні ритми, біоритми– це більш менш регулярні зміни характеру та інтенсивності біологічних процесів.

Основний земний ритм- Добовий.

Модель біоритмів можна збудувати за допомогою тригонометричних функцій.

Тригонометрія у біології

Які біологічні процеси пов'язані із тригонометрією?

Тригонометрія відіграє у медицині. З її допомогою іранські вчені відкрили формулу серця - комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії.
Біологічні ритми, біоритми пов'язані із тригонометрією.

Модель біоритмів можна збудувати за допомогою графіків тригонометричних функцій.

Для цього необхідно запровадити дату народження людини (день, місяць, рік) та тривалість прогнозу.

Тригонометрія у біології

При плаванні тіло риби набуває форми кривої, яка нагадує графік функції y=tgx.

Виникнення музичної гармонії

Згідно з переказами, першими, хто спробував зробити це, були Піфагор і його учні.

Частоти, що відповідають

одній і тій самій ноті в першій, другій і т.д. октавах, відносяться, як 1:2:4:8…

діатонічна гама 2:3:5

У музики є своя геометрія

Тетраедр із різних типів акордів чотирьох звуків:

синій – малі інтервали;

тепліші тони - більш «розряджені» звуки акорду; червона сфера-найгармонічніший акорд з рівними інтервалами між нотами.

cos 2 З + sin 2 З = 1

АС- Відстань від верху статуї до очей людини,

АН- Висота статуї,

sin З- синус кута падіння погляду.

Тригонометрія в архітектурі

Дитяча школа Гауді у Барселоні

Страхова корпорація Swiss Re в Лондоні

y = f(λ)cos θ

z = f (λ) sin θ

Фелікс Кандела Ресторан у Лос-Манантіалесі

З'ясували, Що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

Довели, Що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою, зустрічається в природі, музиці, астрономії та медицині.

Думаємо, Що тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери, в яких вона відіграє важливу роль, будуть розширюватися.

Тригонометрія пройшла довгий шлях розвитку. І тепер, ми можемо з упевненістю сказати, що тригонометрія залежить від інших наук, інші науки залежать від тригонометрії.

Маслова Т.М. «Довідник школяра з математики»
Програма Maple6, що реалізує зображення графіків
«Вікіпедія»
Навчання.ru
Math.ru «бібліотека»
Історія математики з найдавніших часів до початку XIXстоліття у трьох томах// під ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970р. - Том 1-3 Е. Т. Белл Творці математики.
Попередники сучасної математики// під ред. С. Н. Ніро. Москва, 1983р. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
Розповіді про прикладну математику//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика та мистецтво// Москва, 1992р. Газета Математика. Додаток до газети від 1.09.98р.

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

середня загальноосвітня школа №10

із поглибленим вивченням окремих предметів

Проект виконав:

Павлов Роман

учень 10б класу

Керівник:

вчитель математики

Болдирєва Н. А

м. Єлець, 2012

1. Введення.

3. Світ тригонометрії.

· Тригонометрія у фізиці.

· Тригонометрія у планіметрії.

· Тригонометрія в мистецтві та архітектурі.

· Тригонометрія в медицині та біології.

3.2 Графічні уявлення про перетворення «мало цікавих» тригонометричних функцій на оригінальні криві (за допомогою комп'ютерної програми«Функції та графіки»).

· Криві в полярних координатах (розетки).

· Криві в декартових координатах (Криві Лісаж).

· Математичні орнаменти.

4. Висновок.

5. Список літератури.

Мета проекту - розвиток інтересу до вивчення теми «Тригонометрія» в курсі алгебри та початку аналізу через призму прикладного значення матеріалу, що вивчається; розширення графічних уявлень, що містять тригонометричні функції; застосування тригонометрії у таких науках, як фізика, біологія. Не останню роль вона грає і в медицині, і, що найцікавіше, без неї не обійшлося навіть у музиці та архітектурі.

Об'єкт дослідження - тригонометрія

Предмет дослідження - прикладна спрямованість тригонометрії; графіки деяких функцій з використанням тригонометричних формул.

Завдання дослідження:

1.Розглянути історію виникнення та розвитку тригонометрії.

2.Показати на конкретних прикладах практичні додатки тригонометрії в різних науках.

3.Розкрити на конкретних прикладах можливості використання тригонометричних функцій, що дозволяють «мало цікаві» функції перетворювати на функції, графіки яких мають досить оригінальний вигляд.

Гіпотеза – припущення: Зв'язок тригонометрії з навколишнім світом, значення тригонометрії у вирішенні багатьох практичних завдань, графічні можливості тригонометричних функцій дозволяють «матеріалізувати» знання школярів. Це дозволяє краще зрозуміти життєву необхідність знань, здобутих щодо тригонометрії, підвищує інтерес до вивчення цієї теми.

Методи дослідження - аналіз математичної літератури на цю тему; відбір конкретних завдань прикладного характеру на цю тему; комп'ютерне моделювання з урахуванням комп'ютерної програми. Відкрита математика«Функції та графіки» (Фізикон).

1. Введення

Одне залишилося ясно, що світ влаштований

грізно та чудово».

М. Рубцов

Тригонометрія - це розділ математики, у якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін трикутників, і навіть алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій. Важко уявити, але з цією наукою ми стикаємося не лише на уроках математики, а й у нашому повсякденному житті. Ви могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона грає і в медицині, і що найцікавіше без неї не обійшлося навіть у музиці та архітектурі. Значну роль розвитку навичок застосування практично теоретичних знань, отриманих щодо математики, грають завдання з практичним змістом. Кожного, хто вивчає математику, цікавить як і де застосовуються отримані знання. Відповідь це питання і дає дана робота.

2. Історія розвитку тригонометрії.

Слово тригонометрія склалося з двох грецьких слів: τρίγονον (тригонон-трикутник) та μετρειν (метрейн - вимірювати) у буквальному перекладі означає вимірювання трикутників.

Саме це завдання - вимірювання трикутників або, як прийнято тепер говорити, рішення трикутників, тобто визначення всіх сторін і кутів трикутника за трьома його відомими елементами (стороні і двом кутам, двом сторонам і куту або трьом сторонам) - з найдавніших часів становила основу практичних додатків тригонометрії.

Як і будь-яка інша наука, тригонометрія виросла з людської практики, у процесі вирішення конкретних практичних завдань. Перші етапи розвитку тригонометрії тісно пов'язані з розвитком астрономії. Великий вплив на розвиток астрономії і тісно пов'язаної з нею тригонометрії надали потреби мореплавства, що розвивається, для якого вимагалося вміння правильно визначати курс корабля у відкритому морі за становищем небесних світил. Значну роль у розвитку тригонометрії відіграла потреба у складанні географічних картта тісно пов'язана з цим необхідність правильного визначення великих відстаней на земній поверхні.

p align="justify"> Основне значення для розвитку тригонометрії в епоху її зародження мали роботи давньогрецького астронома Гіппарха(середина II століття е.). Тригонометрія як наука, у сучасному значенні цього слова був у Гіппарха, а й в інших учених давнини, оскільки вони ще мали поняття про функції кутів і навіть ставили у вигляді питання про залежність між кутами і сторонами трикутника. Але сутнісно вони, користуючись відомими їм засобами елементарної геометрії, вирішували завдання, якими займається тригонометрія. При цьому основним засобом отримання потрібних результатівбуло вміння обчислювати довжини кругових хорд на підставі відомих співвідношень між сторонами правильних трьох-, чотирьох-, п'яти- та десятикутника та радіусом описаного кола.

Гіппарх склав перші таблиці хорд, тобто таблиці, що виражають довжину хорди для різних центральних кутів у колі постійного радіусу. Це були по суті таблиці подвійних синусів половини центрального кута. Втім, оригінальні таблиці Гіппарха (як і майже все їм написане) до нас не дійшли, і ми можемо скласти собі про них уявлення головним чином з твору "Велика побудова" або (в арабському перекладі) "Альмагест" знаменитого астронома Клавдія Птолемея, Який жив у середині II століття н. е.

Птолемей ділив коло на 360 градусів, а діаметр – на 120 частин. Він вважав радіус рівним 60 частинам(60¢¢). Кожну з частин він ділив на 60¢, кожну хвилину на 60¢¢,секунду на 60 терцій (60¢¢¢) і т.д. у вигляді 60 частин радіусу (60ч), а сторону вписаного квадрата або хорду в 90° прирівнював числу 84ч51¢10². , рівної діаметру кола, він записував на підставі теореми Піфагора: (хорда a)2+(хорда|180-a|)2=(діаметру)2, що відповідає сучасній формулі sin2a+cos2a=1.

"Альмагест" містить таблицю хорд через півградуса від 0 ° до 180 °, яка з нашої сучасної точки зору представляє таблицю синусів для кутів від 0 ° до 90 ° через кожні чверть градуса.

В основі всіх тригонометричних обчислень у греків лежала відома ще Гіппарху теорема Птолемея: «Прямокутник, побудований на діагоналях вписаного в коло чотирикутника, дорівнює сумі прямокутників, побудованих на протилежних сторонах» (Тобто твір діагоналей дорівнює сумі творів протилежних сторін). Користуючись цією теоремою, греки вміли (за допомогою теореми Піфагора) по хордах двох кутів обчислити хорду суми (або хорду різниці) цих кутів або хорду половини даного кута, тобто вміли отримувати результати, які ми отримуємо тепер за формулами синуса суми (або різниці) двох кутів або половини кута.

Нові кроки у розвитку тригонометрії пов'язані з розвитком математичної культури народів Індії, Середньої Азіїта Європи (V-XII).

Важливий крок уперед у період з V по XII століття було зроблено індусами, які на відміну від греків почали розглядати і вживати в обчисленнях вже не цілу хорду ММ (див. креслення) відповідного центрального кута, а тільки її половину МР, тобто. те, що ми тепер називаємо лінією синуса a- половини центрального кута.

Поряд із синусом індуси ввели в тригонометрію косинус, точніше кажучи, почали використовувати у своїх обчисленнях лінію косинуса. (Сам термін косинус з'явився значно пізніше в роботах європейських вчених вперше наприкінці XVI ст. з так званого «синуса доповнення», тобто синуса кута, що доповнює даний кут до 90°. «Синус доповнення» або (латиною) sinus complementi стали скорочено записувати як sinus co чи co-sinus).

Їм були відомі також співвідношення cosa=sin(90°-a) і sin2a+cos2a=r2 , а також формули для синуса суми та різниці двох кутів.

Наступний етап у розвитку тригонометрії пов'язаний із країнами

Середньої Азії, Близького Сходу, Закавказзя (VII-XV ст.)

Розвиваючись в тісному зв'язку з астрономією і географією,- середньоазіатська математика мала яскраво виражений «обчислювальний характер» і була спрямована на вирішення прикладних завдань вимірювальної геометрії та тригонометрії, причому тригонометрія сформувалася в особливу математичну дисципліну значною мірою саме в працях середньоазіатських. З-поміж зроблених ними найважливіших успіхів слід насамперед відзначити запровадження всіх шести тригонометричних ліній: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секансу та косекансу, з яких лише перші дві були відомі грекам та індусам.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj жердини певної довжини (а=12) для j=1°,2 °,3°……

Абу-ль-Вафаз Хоросана, що жив у Х столітті (940-998), склав аналогічну «таблицю тангенсів», тобто обчислив довжину тіні b=a×=a×tgj, що відкидається горизонтальним жердиною певної довжини (а=60) на вертикальну стіну ( див. креслення).

Слід зазначити, що самі терміни "тангенс" (у буквальному перекладі - "що стосується") і "котангенс" походять з латинської мовиі з'явилися в Європі значно пізніше (XVI-XVII ст.). Середньоазіатські вчені називали відповідні лінії «тінями»: котангенс-«першою тінню», тангенс - «другою тінню».

Абу-ль-Вафа дав абсолютно точне геометричне визначення лінії тангенсу в тригонометричному колі і приєднав до ліній тангенсу та котангенсу лінії секансу та косекансу. Він же висловив (словесно) алгебраїчну залежність між усіма тригонометричними функціями і, зокрема, для випадку, коли радіус кола дорівнює одиниці. Цей надзвичайно важливий випадок було розглянуто європейськими вченими на 300 років пізніше. Нарешті Абу-ль-Вафа склав таблицю синусів через кожні 10¢.

У працях середньоазіатських вчених тригонометрія перетворилася з науки, що обслуговує астрономію, на особливу математичну дисципліну, що представляє самостійний інтерес.

Тригонометрія відокремлюється від астрономії і стає самостійною наукою. Це відділення зазвичай пов'язують з ім'ям азербайджанського математика. Насіреддіна Тусі ().

Вперше в європейській науці стрункий виклад тригонометрії дано в книзі «Про трикутники різних пологів», написаній Йоганном Мюллером, більш відомим у математиці під ім'ям Регіомонтану().Він узагальнює у ній методи розв'язання прямокутних трикутників і дає таблиці синусів з точністю до 0,0000001. При цьому чудово те, що він вважав радіус кола рівними, тобто висловив значення тригонометричних функцій в десяткових дробах, Перейшовши фактично від шестидесятирічної системи числення до десяткової.

Англійський вчений XIV ст. Брадвардін ()перший у Європі ввів у тригонометричні обчислення котангенс під назвою «прямої тіні» та тангенс під назвою «зворотної тіні».

На порозі XVII ст. У розвитку тригонометрії намічається новий напрямок-аналітичний. Якщо до цього головною метою тригонометрії вважалося рішення трикутників, обчислення елементів геометричних фігур та вчення про тригонометричні функції будувалося на геометричній основі, то XVII-XIX ст. тригонометрія поступово стає одним із розділів математичного аналізу. Про властивості періодичності тригонометричних функцій знав ще Вієт, Перші математичні дослідження якого належали до тригонометрії.

Швейцарський математик Йоганн Бернуллі ()вже застосовував символи тригонометричних функцій.

У першій половині ХІХ ст. французький вчений Ж. Фур'єдовів, що будь-який періодичний рух може бути представлений у вигляді суми простих гармонійних коливань.

Величезне значення історія тригонометрії мала творчість знаменитого петербурзького академіка Леонарда Ейлера(), він надав всій тригонометрії сучасного вигляду.

У своїй праці "Введення в аналіз" (1748 р.) Ейлер розробив тригонометрію як науку про тригонометричні функції, дав їй аналітичний виклад, вивівши всю сукупність тригонометричних формул з небагатьох основних формул.

Ейлер належить остаточне вирішення питання про знаки тригонометричних функцій у всіх чвертях кола, виведення формул приведення для загальних випадків.

Ввівши в математику нові функції - тригонометричні, стало доцільним порушити питання про розкладання цих функцій у нескінченний ряд. Виявляється, такі розкладання можливі:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Ці ряди дозволяють значно полегшити складання таблиць тригонометричних величин для знаходження їх з будь-якого ступеня точності.

Аналітичну побудову теорії тригонометричних функцій, розпочату Ейлером, було завершено в роботах , Гауса, Коші, Фур'є та інших.

«Геометричні розгляду,- пише Лобачевський,- необхідні доти на початку тригонометрії, поки вони не послужать до відкриття характерної якості тригонометричних функцій ... Звідси робиться тригонометрія абсолютно незалежною від геометрії і має всі переваги аналізу».

В наш час тригонометрія більше не сприймається як самостійна галузь математики. Найважливіша її частина-вчення про тригонометричні функції - є частиною більш загального, побудованого з єдиної точки зору вчення про функції, що вивчаються в математичному аналізі; інша частина - рішення трикутників - розглядається як глава геометрії.

3. Світ тригонометрії.

3.1 Застосування тригонометрії у різних науках.

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх галузях геометрії, фізики та інженерної справи.

Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Слід зазначити застосування тригонометрії у таких областях: техніка навігації, теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД), комп'ютерна томографія, фармацевтика, хімія, теорія сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія, геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

Тригонометрія у фізиці.

Гармонійні коливання.

Коли якась точка рухається по прямій лінії поперемінно то в один, то в інший бік, то кажуть, що точка робить коливання.

Одним із найпростіших видів коливань є рух осі проекції точки М, яка рівномірно обертається по колу. Закон цих коливань має вигляд x=Rcos (https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" ).

Зазвичай замість цієї частоти розглядають циклічну частотуw=,що показує кутову швидкість обертання, виражену в радіанах за секунду. У цих позначеннях маємо: x=Rcos(wt+a). (2)

Число aназивають початковою фазою коливання.

Вивчення коливань різного роду важливо вже по тому, що з коливальними рухами чи хвилями ми стикаємося дуже часто у навколишньому світі і з великим успіхом використовуємо їх (звукові хвилі, електромагнітні хвилі).

Механічні коливання.

Механічними коливаннями називають рухи тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові проміжки часу. Прикладами простих коливальних систем можуть бути вантаж на пружині або маятник. Візьмемо, наприклад, гирю, що підвішена на пружині (див. рис.) і штовхнемо її вниз. Гиря почне вагатися вниз і вгору..gif" align="left" width="132 height=155" "left" width="202 height=146" height="146"> Графік коливання (2) виходить з графіка коливання (1) зсувом вліво

на . Число a називають початковою фазою.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), де l-Довжина маятника, а j0-початковий кут відхилення. Чим довший маятник, тим повільніше він хитається. (Це добре видно на рис.1-7 приклад. VIII). На рис.8-16 додатки VIII добре видно, як зміна початкового відхилення впливає на амплітуду коливань маятника, період при цьому не змінюється. Вимірюючи період коливання маятника відомої довжини, можна обчислювати прискорення земного тяжіння g різних точках земної поверхні.

Розряд конденсатора.

Не тільки багато механічних коливань відбуваються за синусоїдальним законом. І в електричних ланцюгах виникають синусоїдальні коливання. Так у ланцюгу, зображеному у правому верхньому куткумоделі, заряд на обкладках конденсатора змінюється за законом q = CU + (q0 - CU) cos ωt, де С-ємність конденсатора, U - напруга на джерелі струму, L -індуктивність котушки, https://pandia.ru/text/78 /114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=">Завдяки моделі конденсатора, наявної в програмі « Функції та графіки» можна встановлювати параметри коливального контуру і будувати відповідні графіки g (t) і I(t) На графіках 1-4 добре видно як впливає напруга на зміну сили струму і заряду конденсатора, при цьому видно, що при позитивній напрузі заряд також набуває позитивних значень. , що з зміні ємності конденсатора(при зміні індуктивності котушки на рис. 9-14 докладання IX) і збереженні постійними інших властивостей змінюється період коливань, т. е. змінюється частота коливань сили струму в ланцюгу і змінюється частота заряду конденсатора..(див. додаток IX).

Як поєднати дві труби.

Наведені приклади можуть створити враження, що синусоїди трапляються лише у зв'язку з коливаннями. Однак, це не так. Наприклад, синусоїди використовуються при з'єднанні двох циліндричних труб під кутом один до одного. Щоб з'єднати дві труби таким чином, треба зрізати їх навскоси.

Якщо розгорнути зрізану навскіс трубу, то вона виявиться обмеженою зверху синусоїдою. У цьому можна переконатися, обгорнувши свічку папером, зрізавши її навскіс і розгорнувши папір. Тому, щоб отримати рівний зріз труби, можна спочатку обрізати металевий лист зверху синусоїдою і згорнути його в трубу.

Теорія веселки.

Вперше теорія веселки була дана в 1637 року Рене Декартом. Він пояснив веселку, як явище, пов'язане з відображенням та заломленням світла у дощових краплях.

Веселка виникає через те, що сонячне світло зазнає заломлення в крапельках води, зважених у повітрі за законом заломлення:

де n1=1, n2≈1,33 – відповідно показники заломлення повітря та води, α – кут падіння, а β – кут заломлення світла.

Північне сяйво

Сила, що діє на заряджену частинку, що рухається в магнітному полі, називається, силою Лоренця.Вона пропорційна заряду частки та векторному добутку поля та швидкості руху частки

Завдання тригонометрії з практичним змістом.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Визначення коефіцієнта тертя.

Тіло ваги Р покладено на похилу площину з кутом нахилу a. Тіло під дією власної ваги пройшло прискорено шлях S в t секунд. Визначити коефіцієнт тертя k.

Сила тиску тіла на похилу площину = kPcosa.

Сила, яка тягне тіло вниз, дорівнює F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Якщо тіло рухається по похилій площині, то прискорення а=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF; 2)

З рівностей (1) і (2) випливає, що width="129">> = gtga-.

Тригонометрія у планіметрії.

Основні формули при вирішенні задач з геометрії із застосуванням тригонометрії:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Співвідношення сторін та кутів у прямокутному трикутнику:

1) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку іншого катета на тангенс протилежного кута.

2) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус прилеглого кута.

3) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на косинус прилеглого кута.

4) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку іншого катета на котангенс кута, що прилягає.

Задача1:На бічних сторонах АВ та СD рівнобічної трапеціїABCD взяті точки М таN таким чином, що прямаMN паралельна до основ трапеції. Відомо, що в кожну з малих трапецій, що утворилися.MBCN таAMND можна вписати коло, причому радіуси цих кіл рівніr таR відповідно. Знайти підставиAD таBC.

Дано: ABCD-трапеція, AB=CD, MеAB, NеCD, MN||AD, у трапеції MBCN і AMND можна вписати коло з радіусом r і R відповідно.

Знайти: AD та BC.

Рішення:

Нехай O1 і O2 – центри вписаних у малі трапеції кіл. Пряма О1К||CD.

В ∆ O1O2K cosα = O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Оскільки O2FD прямокутний, то O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Т. до. AD=2DF=2R*ctg(α/2),

аналогічно BC = 2r* tg(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тоді AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), знаходимо відповідь.

Відповідь : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Задача2:У трикутнику ABC відомі сторони b, c та кут між медіаною та висотою, що виходять з вершини A. Обчислити площу трикутника ABC.

Дано: ∆ ABC, AD-висота, AE-медіана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Знайти: S∆ABC.

Рішення:

Нехай CE=EB=x, AE=y, AED=γ. За теоремою косінусів у ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); а в ∆ACE за теоремою косінусів c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Віднімаючи з 1 рівності 2 отримаємо c²-b²=4xy*cosγ(3).

Т. К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тоді розділивши 3 рівність на 4 отримаємо: (c²-b²)/S=4*ctgγ, але ctgγ=tgαб, отже S∆ABC= ( с²-b²)/4*tgα.

Відповідь: (с²- b² )/4*tg α .

Тригонометрія у мистецтві та архітектурі.

Архітектура не єдина галузь науки, в якій використовуються тригонометричні формули. Більшість композиційних рішень та побудов малюнків проходила саме за допомогою геометрії. Але теоретичні дані мало що означають. Хочу навести приклад на побудову однієї скульптури французького майстра Золотого віку мистецтва.

Пропорційне співвідношення у побудові статуї було ідеальним. Однак при піднятті статуї на високий п'єдестал вона виглядала потворною. Скульптором не було враховано, що в перспективі до горизонту зменшується багато деталей і при погляді знизу вгору вже не створюється враження її ідеальності. Велось безліч розрахунків, щоб фігура з великої висоти виглядала пропорційно. В основному вони були засновані на методі візування, тобто приблизного виміру, на око. Однак коефіцієнт різниці тих чи інших пропорцій дозволили зробити фігуру більш наближеною до ідеалу. Таким чином, знаючи зразкову відстань від статуї до точки зору, а саме від верху статуї до очей людини і висоту статуї, можна розрахувати синус кута падіння погляду за допомогою таблиці (теж саме ми можемо зробити і з нижньою точкою зору), тим самим знайдемо точку зору (рис.1)

Ситуація змінюється (рис2), так як статую піднімають на висоту АС і СР збільшуються, можна розрахувати значення косинуса кута С, за таблицею знайдемо кут падіння погляду. У процесі можна розрахувати АН, а також синус кута С, що дозволить перевірити результати за допомогою основної тригонометричної тотожності. cos 2a+sin 2a = 1.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Тригонометрія в медицині та біології.

Модель біоритмів

Модель біоритмів можна збудувати за допомогою тригонометричних функцій. Для побудови моделі біоритмів необхідно запровадити дату народження людини, дату відліку (день, місяць, рік) та тривалість прогнозу (у дні).

Рух риб у воді відбувається за законом синуса чи косинуса, якщо зафіксувати крапку на хвості, та був розглянути траєкторію руху. При плаванні тіло риби набуває форми кривої, яка нагадує графік функції y=tgx.

Формула серця

В результаті дослідження, проведеного студентом іранського університету Шираз Вахідом-Різої Аббасі,медики вперше отримали можливість упорядкувати інформацію, що стосується електричної активності серця або, іншими словами, електрокардіографії.
Формула, що отримала назву тегеранської, була представлена широкому науковому загалу на 14-й конференції географічної медицини і потім - на 28-й конференції з питань застосування комп'ютерної техніки в кардіології, що відбулася в Нідерландах. Ця формула являє собою комплексну алгебраїчно-тригонометричну рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів та 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії. Як стверджують медики, ця формула значно полегшує процес опису основних параметрів діяльності серця, прискорюючи тим самим постановку діагнозу і початок власне лікування.

Тригонометрія допомагає нашому мозку визначати відстань до об'єктів.

Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі та площиною зору. Строго кажучи, ідея "вимірювання кутів" не є новою. Ще художники Стародавнього Китаюмалювали віддалені об'єкти вище у полі зору, дещо нехтуючи законами перспективи. Сформулював теорію визначення відстані оцінки кутів арабський учений XI століття Альхазен. Після довгого забуття в середині минулого століття ідею реанімував психолог Джеймс Гібсон (James Gibson), який робив свої висновки на основі досвіду роботи з пілотами військової авіації. Однак після того про теорію

знову забули.

3.2 Графічні уявлення про перетворення «мало цікавих» тригонометричних функцій на оригінальні криві.

Криві у полярних координатах.

с. 16іс. 19 Розетки.

У полярних координатах вибираються одиничний відрізок e,полюс О та полярна вісь Ох. Положення будь-якої точки М визначається полярним радіусом ОМ та полярним кутом j, утвореним променем ОМ та променем Ох. Число r, що виражає довжину ОМ через е(ОМ = rе) і чисельне значення кута j, вираженого в градусах або радіанах, називаються полярними координатами точки М.

Для будь-якої точки, яка відрізняється від точки О, можна вважати 0≤j<2p и r>0. однак при побудові кривих, що відповідають рівнянням виду r=f(j), змінному j природно надавати будь-які значення (у тому числі і негативні, і перевищують 2p), а r може виявитися як позитивним, так і негативним.

Для того щоб знайти точку (j, r), проведемо з точки О промінь, що утворює з віссю Ох кут j і відкладемо на ньому (при r>0) або на його продовженні в протилежний бік (при r>0) відрізок ½ r ½е.

Все значно спроститься, якщо попередньо побудувати координатну сітку, що складається з концентричних кіл з радіусами е, 2е, 3е і т. д. (з центром в полюсі О) і променів, для яких j = 0 °, 10 °, 20 °, ... 340 °, 350 °; ці промені будуть придатні і при j<0°, и при j>360 °; наприклад, при j = 740 ° і при j = -340 ° ми потрапимо на промінь, для якого j = 20 °.

Дослідженню даних графіків допомагає комп'ютерна програма « Функції та графіки». Користуючись можливостями цієї програми, досліджуємо деякі цікаві графіки тригонометричних функцій.

1 .Розглянемо криві, задані рівняннями:r=a+sin3j

I. r=sin3j (трилисник ) (рис.1)

ІІ. r=1/2+sin3j (рис.2), ІІІ. r=1+ sin3j (рис.3), r=3/2+ sin3j (рис.4).

У кривої IV найменше значення r=0,5 та пелюстки мають незакінчений вигляд. Таким чином, при а >1 пелюстки трилистника мають незакінчений вигляд.

2.Розглянемо кривіпри а=0; 1/2; 1;3/2

При а=0 (рис.1), при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) пелюстки мають закінчений вигляд, при а=3/2 буде п'ять незакінчених пелюсток. .4).

3.У загальному випадку у кривоїr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), тому що в цьому секторі 0°≤≤180 °..gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> для однієї пелюстки знадобиться «сектор», що перевищує 360°.

На рис1-4 показаний вид пелюсток при = https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" height="41 src=">.

4.Рівняння, знайдені німецьким математиком-натуралістом Хабеніхтомдля геометричних форм, що зустрічаються у світі рослин. Наприклад, рівнянням r=4(1+cos3j) та r=4(1+cos3j)+4sin23j відповідають криві, зображені на рис.1.2.

Криві у декартових координатах.

Криві Лісаж.

Багато цікавих кривих можна збудувати і в декартових координатах. Особливо цікаво виглядають криві, рівняння яких дано у параметричному вигляді:

Де t-допоміжне змінне (параметр). Наприклад, розглянемо криві Лісажу, що характеризуються у загальному випадку рівняннями:

Якщо за параметр t взяти час, то фігури Ліссажу будуть результатом складання двох гармонійних коливальних рухів, що здійснюються у взаємно перпендикулярних напрямках. У випадку крива розташовується всередині прямокутника зі сторонами 2а і2в.

Розглянемо це на таких прикладах

I. x = sin3t; y=sin 5t (рис.1)

ІІ. x=sin 3t; y=cos 5t (рис.2)

ІІІ. x=sin 3t; y=sin 4t.(рис.3)

Криві можуть бути замкнутими та незамкненими.

Наприклад, заміна рівнянь I рівняннями: x = sin 3t; y=sin5(t+3) перетворює незамкнену криву на криву замкнуту.(рис.4)

Цікаві та своєрідні лінії, що відповідають рівнянням виду

у= arcsin (sin k (x-a)).

З рівняння y=arcsin(sinx) випливає:

1) та 2) siny = sinx.

У цьому двом умовам задовольняє функція у=х. Графіком її в інтервалі (-; https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" будемо мати у=p-х, так як sin p-x)=sinx і в цьому інтервалі

. Тут графік зобразиться відрізком НД.

Оскільки sinx –періодична функція з періодом 2p, то ламана АВС, побудована інтервалі(,) повториться інших ділянках.

Рівнянню y=arcsin(sinkx) буде відповідати ламана лінія з періодом width="79 height=48"

задовольняють координати точок, які лежать одночасно вище синусоїди (для них >sinx) і нижче кривої y=-sinx, тобто «область рішень» системи буде складатися із зафарбованих на рис.1 областей.

2.Розглянемо нерівності

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Для вирішення цієї нерівності спочатку будуємо графіки функцій: y = sinx; y=-sinx.

Потім зафарбовуємо області, де y sinx і одночасно y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-Sinx.

Цій нерівності задовольнятимуть області, зафарбовані на рис.2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Перейдемо до наступної нерівності:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))(y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+)))}<0

Для вирішення цієї нерівності спочатку будуємо графіки функцій: y = ± arcsin (sinx); y=±arcsin(sin(x+) )) .

Складемо таблицю можливих варіантів розв'язків.

1 множник має знак	2 множник має знак	3 множник має знак	4 множник має знак

Потім розглядаємо та зафарбовуємо рішення наступних систем.

)| та |y|>|sin(x-)|.

2) Другий множник менший за нуль, т..gif" width="17" height="41">)|.

3) Третій множник менший за нуль, тобто. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>| sinx | та |y|>|sin(x+Учбові дисципліни" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">навчальних дисциплінах, техніці, у побуті.

Використання моделі « Функції та графіки» значно розширило можливості проведення досліджень, дозволило матеріалізувати знання при розгляді додатків тригонометрії у фізиці. Завдяки цій програмі проведено лабораторні комп'ютерні дослідження механічних коливань на прикладі коливань маятника, розглянуто коливання електричного ланцюга. Використання комп'ютерної програми дозволило дослідити цікаві математичні криві, що задаються за допомогою тригонометричних рівняньта побудовою графіків у полярних та декартових координатах. Графічне розв'язання тригонометричних нерівностей призвело до розгляду цікавих математичних орнаментів.

5. Список використаної літератури.

1. ., Атанасов математичних завдань із практичним змістом: Кн. для вчителя.-М.: Просвітництво, с.

2. .Віленкін у природі та техніці: Кн. для позакласного читання IX-X кл.-М.: Просвітництво, 5с (Світ знань).

3. Доморяд гри та розваги. Держ. вид. фіз-мат. літ. М, 9стор.

4. .Кожур тригонометрії для технікумів. Держ. вид. техніко-теоретичної літ. М., 1956

5. Кн. для позакласного читанняз математики у старших класах. Держ. навчально-пед. вид. мін. Просв. РФ, М., с.

6. ,Тараканова тригонометрії. 10 кл.-М.:Дрофа,с.

7. Про тригонометрію і не тільки про неї: посібник для учнів 9-11 кл. -М.: Просвітництво, 1996-80с.

8. Шапіро завдань із практичним змістом у викладанні математики. Кн. для учителя.-М.: Просвітництво, 1990-96с.

Повідомлення на тему тригонометрію в медицині. Тригонометрія в навколишньому світі та житті людини

Кроки

Вивчіть основи тригонометрії

Застосування тригонометрії

Вивчайте матеріал заздалегідь

Історія створення тригонометрії

Ранні віки

Стародавня Греція

Середньовіччя

Новий час

XVIII століття

Застосування тригонометрії

Перегляд вмісту документа «Данілова Т.В.-сценарій»

Перегляд вмісту презентації «Данілова Т.В.»

Перегляд вмісту документа
«Данілова Т.В.-сценарій»

Перегляд вмісту презентації
«Данілова Т.В.»